江苏省无锡市第一中学2019届高三第一学期期初考试数学试题理科(含答案)

无锡市第一中学2018-2019学年度期初试卷
高 三 数 学（理科）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．
上） 1.已知集合}01{≥-=x x A ，}3,2,1,0{=B ，则=B A ▲ ． 2.已知复数i i z -=-2)2(（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．
3.一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ．
4.已知数列4,,121a a ，是等差数列，数列4,,,1321b b b ，成等比数列，且321,,b b b 均为实数，
则
=+2
2
1b a a ▲ ． 5.运行如图所示的算法语句，则输出的结果为 ▲ ． 6.设0,1a a >≠，函数21
()x x f x a
++=有最大值，则不等式
log (1)0a x ->的解集为 ▲ ．
7.已知直线b x y +=
2
1
是曲线x y ln =的一条切线，
则实数b 的值是 ▲ ． 8.已知32)6
sin(
=
+απ
，则=-)23
2cos(απ ▲ ． 9.已知正四棱锥的底面边长为24，高为3，则此正四棱锥的表面积为 ▲ ．
10.函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω，πϕ
<）的图象如右图所示，则该函数的
解析式为=y ▲ ．
11.若函数a x x x f +-=4)(2
有四个不同的零点，则实数a 的取
值范围是 ▲ ．
12.已知)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，4
ln
2)(x
x f x +=，记)3(-=n f a n ，则数列}{n a 的前6项的和为 ▲ ．
2
12002Print S I While S I I S S I End While I
←←≤←+←⨯
13.已知直线1+-=x y 与椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）相交于B A ,两点，且线段AB
的中点M 在直线l ：02=-y x 上，椭圆C 的右焦点F 关于直线l 的对称点在圆422=+y x 上，则椭圆C 的方程是 ▲ ．
14.设实数x ，y 满足14
22
=-y x ，则xy x 232-的最小值是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）
已知函数2
1
cos cos sin 3)(2-
-=
x x x x f ，R x ∈． （1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别c b a ,,且3=c ，0)(=C f ，若
A C A sin 2)sin(=+，求a 和b 的值．
16.（本题满分14分）
在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ； （2）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ．
A F
C
B
D
C B 1
1
1
E
1 1 1 A
已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入
12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完．每吨的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>-+≤<-=.15,95701
10800,150,3
1112)(2x x x x x x R （1）求该企业年总利润y (万元)关于年产量x (吨)的函数关系式：
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大?
18.（本题满分16分）
如图，椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点)2
3
1(，P ，其左、右焦点分别为21,F F ，
离心率2
1
=
e ，N M ,是椭圆右准线l 上的两个动点，且021=⋅F F ． （1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值．
已知x
e a x x
f 2
ln )(-++
=（其中0>a ，e 是自然对数的底数）． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若不等式a x f ≥)(对于0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．
20.（本题满分16分）
已知数列}{n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列}{n a 前n 项和为n S ，且满足43a S =，4532a a a +=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n a 前k 2项和k S 2；
（3）在数列}{n a 中,是否存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，请说明理由．
无锡市第一中学2018-2019学年度期初试卷
高 三 数 学（理科）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．
上） 1.}3,2,1{；2.5；3.
65；4.25；5.7；6.)2,1(；7.12ln -；8.9
1
-；9.34832+；10.)62sin(2π
+x ；11.)4,0(；12.4
3
ln 8+；13.14822=+
y x ；14.246+； 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）
已知函数2
1
cos cos sin 3)(2-
-=
x x x x f ，R x ∈． （1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别c b a ,,且3=c ，0)(=C f ，若
A C A sin 2)sin(=+，求a 和b 的值．
解：（1）1)6
2sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=π
x x x x f ，0)(max =x f ，最小正周期为π；
（2）由0)(=C f 得，3
π
=C ，由A C A s i n 2)s i n (=+知，a b 2=，又3=c ，在A B C
∆中用余弦定理，解得3=a ，32=b ．
16.（本题满分14分）
在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （3）求证：B 1F ⊥平面ADF ； （4）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ．
A F
C B 1
1
1
E
1 1 1
（1）证明：∵AB = AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ．
在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，
∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． ∵BC B 1B = B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1． ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ．
在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F = CD = a ，B 1C 1 = CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌ Rt △FC 1B 1．
∴∠CFD = ∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． ∵AD FD = D ，∴B 1F ⊥平面AFD ． （2）∵B 1F ⊥平面AFD ，
∴111
3
B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△
=11132AD DF B F ⨯⨯⨯⨯=
（3）连EF ，EC ，设EC AF M =，连DM ，
2AE CF a ==，∴四边形AEFC 为矩形，M ∴为EC 中点． D 为BC 中点，//MD BE ∴．
MD ⊂平面ADF ，．BE ⊄平面ADF ，//BE ∴平面ADF 17.（本题满分14分）
已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入
12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完．每吨的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
>-+≤<-=.15,95701
10800,150,3
1112)(2x x x x x x R （1）求该企业年总利润y (万元)关于年产量x (吨)的函数关系式：
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大? 解：（1）由题意=
+-=)12200()(x x xR y ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>++-≤<--15).12110800(1030150,200311003x x x x x x （2）当150≤<x 时，2003
11003--=x x y ，2
100x y -='
)10,0(∈x 时，]15,10(,0∈>'x y 时0<'y ，∴函数在(0，10)递增，在(10，15)递减，
∴当且仅当10=x 时，y 有最大值3
1400；
当15>x 时，)121
10800(1030x x y ++-=
=
++x x 121
10800
70812)1(12110800
212)1(12110800=-+⋅+≥+++x x x x ， 3227081030)12110800
(1030=-≤++-=∴x x y ，
当且仅当)1(121
10800+=+x x ，即29=x 时，y 取最大值322．
3
1400322<
，∴当且仅当10=x 时，y 有最大值31400．
故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大利润为
3
1400万元．
18.（本题满分16分）
如图，椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点)2
3
1(，P ，其左、右焦点分别为21,F F ，
离心率2
1
=
e ，N M ,是椭圆右准线l 上的两个动点，且021=⋅F F ． （3）求椭圆的方程； （4）求MN 的最小值；
解：（1）由题意：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+===+，22222,2,1491c b a c a b a 解得42=a ，32=b ，
所求椭圆方程为13
42
2=+y x ； （2）由（1）知)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设点),4(1y M ，),4(2y N ，则
),5(11y M F =，),3(22y N F =，∴0152121=+=⋅y y N F M F ，即1521-=y y ， 1522212121=≥+=-=y y y y y y MN （当且仅当1521==y y 时取等号），
∴MN 的最小值为152． 19.（本题满分16分）
已知x
e a x x
f 2
ln )(-++
=（其中0>a ，e 是自然对数的底数）． （1）当2=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若不等式a x f ≥)(对于0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．
解：（1）当2=a 时，x e x x f +
=ln )(，所以2
21)('x e
x x e x x f -=-=， 由0)('<x f 得，),0(e x ∈，所以函数)(x f 的减区间为),0(e ，增区间为)(∞+，e ． （2）由题意a x
e a x x
f ≥-++
=2
ln )(对于0>x 恒成立， 02ln ≥--++ax e a x x 等价于对于0>x 恒成立，
设ax e a x x x g --++=2ln )(，则由01ln )('=-+=a x x g 得，1-=a e x ， 列表知1111
min 22)1()()(------+=--++-==a a a a e e a ae e a e a e
g x g ，
令1
2)(---+=x e
e x x t ，则由01)('1
=-=-x e
x t 得，1=x ，所以)(x t 在)1,0(单调递
增，在),1(+∞上单调递减，)(x t 在1=x 时取得极小值． 所以，当)1,0(∈a ，)(x g 的最小值01
)2(12)0()(>--=--=>e
e e e e t a t ； 当),1[+∞∈a ，)(x g 的最小值)2(02)(1
t e e a a t a =≥--+=-，得]2,1[∈a ；
综上，]2,0(∈a 20.（本题满分16分）
已知数列}{n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列}{n a 前n 项和为n S ，且满足43a S =，4532a a a +=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n a 前k 2项和k S 2；
（3）在数列}{n a 中,是否存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由题意知
q d 2)1(21=+++，且q d d 22211+=+++，解得2=d ，3=q ，
所以⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅-==-,
2,32,12,12k n k n n a n
n *N k ∈； （2）k k k k k k S 313
1)
31(22)121(22+-=--+⋅-+=
； （3）假设存在连续的三项21,,++m m m a a a ，按原来的顺序成等差数列，
若k m a a 2=，则由122++=+m m m a a a 得，)12(232321+=⨯+⨯-k k
k ，
即12341+=⨯-k k ，左边为偶数，右边为奇数，不符合题意，舍去； 若12-=k m a a ，则由122++=+m m m a a a 并化简得，13-=k k ， 令13)(-=
k k k f ，则0321)()1(<-=-+k
k k f k f ， 所以 >>)2()1(f f ，而1)1(=f ，此时1=k ，1=m ， 综上，仅存在连续三项321,,a a a 符合题意．。