自相似性的由来分形理论及其发展历程

⾃相似性的由来分形理论及其发展历程
分形理论及其发展历程
被誉为⼤⾃然的⼏何学的分形(Fractal)理论，是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。

它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在⼀定条件下、过程中、在某⼀⽅⾯(形态，结构，信息，功能，时间，能量等)表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。

⼀、分形⼏何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)1975年⾸先提出的，但最早的⼯作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始⼈康托(G.Cantor，德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意⼤利数学家⽪亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的⼀类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了像地毯和海绵⼀样的⼏何图形。

这些都是为解决分析与拓扑学中的问题⽽提出的反例，但它们正是分形⼏何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利⼲(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应⽤于⾮整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特⾥亚⾦(L.S.Pontryagin)等引⼊盒维数。

1934年，贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提⽰了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其⼏何的研究领域中做出了主要贡献，从⽽产⽣了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这⼀领域的研究⼯作没有引起更多⼈的注意，先驱们的⼯作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例⽽流传开来。

⼆、1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在⼤⼩尺度间的对称性。

同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与⽆误差传输在时间上按康托集排列。

在对尼罗河⽔位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。

他总结⾃然界中很多现象从标度变换⾓度表现出的对称性。

他将这类集合称作⾃相似集，其严格定义可由相似映射给出。

他认为，欧⽒测度不能刻画这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张⽤维数来刻画这类集合。

1975年，曼德尔布罗特⽤法⽂出版了分形⼏何第⼀部著作《分开：形状、机遇和维数》。

1977年该书再次⽤英⽂出版。

它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形⼏何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格⼤于其拓扑维数的集合，总结了根据⾃相似性计算实验维数的⽅法，由于相似维数只对严格⾃相似这⼀⼩类集有意义，豪斯道夫维数虽然⼴泛，但在很多情形下难以⽤计算⽅法求得，因此分形⼏何的应⽤受到局限。

1982年，曼德尔布罗特的新著《⾃然界的分形⼏何》出版，将分形定义为局部以某种⽅式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它⽐豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。

为避免这⼀缺陷，1982年特⾥科特(C.Tricot)引⼊填充维数，1983年格拉斯伯格(P.Grassberger)和普罗克西娅(I.Procaccia)提出根据观测记录的时间数据列直接计算动⼒系统吸引⼦维数的算法。

1985年，曼德尔布罗特提出并研究⾃然界中⼴泛存在的⾃仿射集，它包括⾃相似集并可通过仿射映射严格定义。

1982年德⾦(F.M.Dekking)研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌⼊⽅法⽣成，范围更⼴泛，但维数研究⾮常困难。

德⾦获得维数上界。

1989年，钟红柳等⼈解决了德⾦猜想，确定了⼀⼤类递归集的维数。

随着分形理论的发展和维数计算⽅法的逐步提出与改
进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应⽤并越来越⼴泛。

建⽴简便盛⾏的维数计算⽅法，以满⾜应⽤发展的需要，还是⼀项艰巨的任务。

⾃然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。

确定性的古典分形集加⼊随机性，就会产⽣出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。

1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这⼀随机过程时，将其推⼴到与分形有关的分数布朗运动。

1974年他⼜提出了分形渗流模型。

1988年，柴叶斯(j.T.Chayes)给出了详细的数学分析。

1984年，扎乐(U.Zahle)通过随机删除⽽得到⼗分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟⾃然现象。

三、动⼒系统中的分形集是近年分形⼏何中最活跃和引⼈⼊胜的⼀个研究领域。

动⼒系统的奇异吸引⼦通常都是分形集，它们产⽣于⾮线性函数的迭代和⾮线性微分⽅程中。

1963年，⽓象学家洛伦兹(E.N.Lorenz)在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第⼀个奇异吸引⼦，它是⼀个典型的分形集。

1976年，法国天⽂学家伊侬(M.Henon)考虑标准⼆次映射迭代系统时获得伊侬吸引⼦。

它具有某种⾃相似性和分形性质。

1986年劳威尔(uwerier)将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极。