高中数学二项式中系数问题的求解策略

高中数学二项式中系数问题的求解策略
二项式中的系数和二项式系数比较容易混淆，二项式系数有具体的规律，解决比较容易，而关于系数的求解是二项式中的重点和难点。

这类题型的解题方法比较灵活，对观察力的要求也很高。

现在就此类问题的解答技巧，谈几种常见的方法。

一应用通项和组合，直接求解。

例题1求展开式中的系数
解法一：
故展开式中含的项为故展开式中的系数为240
解法二：
要使指数为1，只有才有可能，
即
故的系数为
解法三：
由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为
剖析：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用
二巧妙赋值，灵活求解。

例题2若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()
A．2B．0C．－1 D．－2
解析：.(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009，令x＝12，则(1－2×12)2009＝a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0，其中a0＝1，所以a12＋a222＋…＋a200922009＝－1. 选C
例题3已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值．
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
解析：(1)由已知Cm1＋2Cn1＝11，∴m＋2n＝11，
x2的系数为Cm2＋22Cn2＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)(11－m2－1)＝(m－214)2＋35116.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
剖析：在对二项式进行赋值时，主要考虑如何赋值能得到所需要的系数，通常赋值有0、1、-1、12等不同的数值。

三适时转化，准确求解。

例题4（1）求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+……（1+x）n中含x2的项的系数。

（2）已知：（1-2x）8=a0+a1x+a2x2+……a8x8 求：a0+a1+a2+……&#6156 4;a8的值
解析：（1）解一：利用等比数列的求和，将原式转化为：
【（1+x）n+1 –（1+x）】/x
要得到含x2的项，则需要（1+x）n+1中得到含x3的项，所以其系数为Cn+13
解二：也可以有第二个括号起，每个括号里取出含x2项后，合并同类项得到结果：C22+C32+C42+……Cn2=Cn+13
（2）解一：通过分析原题看出；a1，a3，a5，a7为负值，所以a0+a1+a2+……&#6156 4;a8 = a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8 ，然后令x = -1 即可得到结果。

解二：还可以将本题转化为这样一个问题：已知（1+2x）8=b0+b1x+b2x2+…… +b8x8 求：b0+b1+b2+…… +b8的值，此题和原来的题目结果是完全相等的，所以令x=1就得到答案。

四变量换元，简化求解。

例题5若(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2•(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99.
解：令x－1＝t，则x＝t＋1，于是已知恒等式可变为(2t＋3)100＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a100t100，
又令f(t)＝(2t＋3)100，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12[f(1)－f(－1)]
＝12[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝12(5100－1)．
例题6若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为
解析：.设x－2＝t，则x＝t＋2，
原式化为(2＋t)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3，∴a2＝C32•2＝6，
剖析：换元的主要目的是达到与标准二项式结构一样，更容易应用有关公式来计算。

作者单位：山东寿光现代中学。