课标版文数《5年高考3年模拟》A版 §8.3 空间点、线、面的位置关系 精品课件
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栏目索引
解题导引 依据点、线、面位置关系的判定逐项判断 的序号 结论 得到正确命题
解析 对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条 直线未必垂直,因此①不正确.对于②,依据结论“由空间一点向一个二
面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这
个二面角的平面角相等或互补”可知②正确.对于③,分别与两条平行 直线平行的两个平面未必平行,因此③不正确.对于④,由n∥β得在平面β 内必存在直线n1平行于直线n;由m⊥α,α∥β得m⊥β,则m⊥n1;又n1∥n,因 此有m⊥n,④正确.综上所述,所有正确命题的序号是②④. 答案 ②④
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方法点拨
在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱
锥等来帮助思考. 例2 (2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB 和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是 ( B )
A.相交 C.异面 B.平行 D.以上都有可能
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解题导引 连SG1交AB于M,连SG2交AC于N,连MN 利用重心的性质得M、N 分别为AB与AC的中点 得G1G2∥MN,MN∥BC 由公理4得G1G2∥BC
解析 连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.由题 意知SM为△SAB的中线,且SG1= SM,SN为△SAC的中线,且SG2= SN,∴
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例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1
的中点.
求证:(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
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证明 (1)如图,分别连接EF、A1B、D1C.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥A1B,EF= A1B.
题真假时应注意命题等价性的转化,从而简化判断过程.
例1 (2017广东五校联考,14)已知m,n是两条不同的直线,α、β为两个不 同的平面,有下列四个命题: ①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n; ②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. 其中所有正确命题的序号是 .
又∵A1D1������ BC,∴四边形A1D1CB是平行四边形. ∴A1B������ CD1,∴EF∥CD1. ∴EF与CD1确定一个平面α. ∴E、F、C、D1∈α,
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故E、C、D1、F四点共面. (2)由(1)知EF∥CD1,且EF= CD1, ∴四边形CD1FE为梯形, ∴CE与D1F相交,设交点为P(如图所示), ∴P∈CE,∵CE⊂面ABCD,∴P∈面ABCD, 同理,P∈面A1ADD1. 又面A1ADD1∩面ADCB=AD,∴P∈AD, 故CE、D1F、DA三线共点.
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高考文数第八章 立体几何Fra bibliotek栏目索引
§8.3
空间点、线、面的位置关系
知识清单
考点 空间点、线、面的位置关系 1.平面的基本性质
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2.点、线、面的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系
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(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两
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2 3 2 3
在△SMN中, 1 = 2 ,∴G1G2∥MN.
易知MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC, 因此可得G1G2∥BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.
SG SM
SG SN
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方法 2 证明点共线、线共点及点线共面的方法
1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分 线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合 法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各 点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他 直线经过该点.
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栏目索引
拓展延伸 利用平移法求异面直线所成角的途径: ①利用图中已有的平行线平移; ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线; ③补形平移.
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方法技巧
方法 1 判断空间点、线、面位置关系的方法
在判断空间直线、平面的位置关系问题时,常采用画图法(尤其是画一 般长方体和正方体),实物判断法(如墙角等),定理性质证明法等.判断命
个角⑤ 相等或互补 .
(4)两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角为θ,则θ
∈⑥
0, 2
.
当两条异面直线所成的角为 时,这两条异面直线互相垂直.
2
(5)直线与平面的位置关系
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解题导引 依据点、线、面位置关系的判定逐项判断 的序号 结论 得到正确命题
解析 对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条 直线未必垂直,因此①不正确.对于②,依据结论“由空间一点向一个二
面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这
个二面角的平面角相等或互补”可知②正确.对于③,分别与两条平行 直线平行的两个平面未必平行,因此③不正确.对于④,由n∥β得在平面β 内必存在直线n1平行于直线n;由m⊥α,α∥β得m⊥β,则m⊥n1;又n1∥n,因 此有m⊥n,④正确.综上所述,所有正确命题的序号是②④. 答案 ②④
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方法点拨
在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱
锥等来帮助思考. 例2 (2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB 和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是 ( B )
A.相交 C.异面 B.平行 D.以上都有可能
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解题导引 连SG1交AB于M,连SG2交AC于N,连MN 利用重心的性质得M、N 分别为AB与AC的中点 得G1G2∥MN,MN∥BC 由公理4得G1G2∥BC
解析 连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.由题 意知SM为△SAB的中线,且SG1= SM,SN为△SAC的中线,且SG2= SN,∴
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例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1
的中点.
求证:(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
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证明 (1)如图,分别连接EF、A1B、D1C.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥A1B,EF= A1B.
题真假时应注意命题等价性的转化,从而简化判断过程.
例1 (2017广东五校联考,14)已知m,n是两条不同的直线,α、β为两个不 同的平面,有下列四个命题: ①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n; ②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. 其中所有正确命题的序号是 .
又∵A1D1������ BC,∴四边形A1D1CB是平行四边形. ∴A1B������ CD1,∴EF∥CD1. ∴EF与CD1确定一个平面α. ∴E、F、C、D1∈α,
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故E、C、D1、F四点共面. (2)由(1)知EF∥CD1,且EF= CD1, ∴四边形CD1FE为梯形, ∴CE与D1F相交,设交点为P(如图所示), ∴P∈CE,∵CE⊂面ABCD,∴P∈面ABCD, 同理,P∈面A1ADD1. 又面A1ADD1∩面ADCB=AD,∴P∈AD, 故CE、D1F、DA三线共点.
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§8.3
空间点、线、面的位置关系
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考点 空间点、线、面的位置关系 1.平面的基本性质
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2.点、线、面的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系
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(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两
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在△SMN中, 1 = 2 ,∴G1G2∥MN.
易知MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC, 因此可得G1G2∥BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.
SG SM
SG SN
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方法 2 证明点共线、线共点及点线共面的方法
1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分 线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合 法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各 点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他 直线经过该点.
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拓展延伸 利用平移法求异面直线所成角的途径: ①利用图中已有的平行线平移; ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线; ③补形平移.
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方法技巧
方法 1 判断空间点、线、面位置关系的方法
在判断空间直线、平面的位置关系问题时,常采用画图法(尤其是画一 般长方体和正方体),实物判断法(如墙角等),定理性质证明法等.判断命
个角⑤ 相等或互补 .
(4)两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角为θ,则θ
∈⑥
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当两条异面直线所成的角为 时,这两条异面直线互相垂直.
2
(5)直线与平面的位置关系