《概率统计》学习指导(1-5页)

第一章随机事件及其概率
第一节随机现象及其统计规律性
一、随机现象：在自然界及人类社会中广泛存在着这样一类现象：在基本条件不变的情况下，一系列观察或试验会
得到不同的结果。

这类现象称为随机现象。

为了研究随机现象，必须引入如下两个基本概念：
1．如果一个试验在相同的条件下可以重复进行，但事先不能准确预言它的结果，这个试验就称为一个随机试验。

注：①随机试验的涵义是广泛的，可以指科学试验，也可以指对某一现象的观察。

②随机试验通常简称为“试验”，用E、E1、E2等表示。

2．设E是个随机试验，A表示E的一个既有可能发生又有可能不发生的结果，则A称为E的一个随机事件。

注：①随机事件通常简称为“事件”，用A、B、C、A1、A2、A3等表示。

②“必然事件”与“不可能事件”可理解为两个特殊的随机事件，分别用Ω及Ф表示。

二、随机现象的统计规律性：在大量次观察或试验中，随机现象一定会表现出某种较强的规律性，称为随机现象的
统计规律性。

概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

而随机现象的统计规律性最主要地表现为随机事件的频率稳定性，具体说明如下（可通过抛硬币的试验来理解）：
1．什么是随机事件的频率：设E是个随机试验，A是E的某个事件，n表示试验的总次数，n A表示这n次试验中A发生的次数，则n A/n称为这n次试验中A发生的频率，记为f n (A)，即f n (A)=n A/n。

2．什么是随机事件的频率稳定性：当试验的次数n较小时，事件A发生的频率具有较大的不确定性；但随着试验次数n的无限增大，事件A发生的频率将表现出越来越强的稳定性，即f n (A)越来越集中地在某个常数附近摆动。

出现这种现象不是偶然的，而是必然的，是由事物的某种本质特性（如硬币的均匀性）所决定的。

第二节事件之间的关系及运算
一、事件可理解为由若干样本点组成的集合：设E是个随机试验，A表示E的一个事件。

1．E的一个基本结果称为E的一个“样本点”；E的所有样本点构成的集合称为E的“样本空间”。

注：①这两个概念又分别称为基本事件与基本空间。

②E的样本空间的描述方式往往并不是唯一的。

2．所谓“将事件A表示为集合”，就是“将事件A表示为所有导致A发生的样本点的集合”。

因此，随机事件
3．必然事件表示为集合就是样本空间，也就是全集，今后都用同一记号Ω表示；不可能事件表示为集合是空集，今后都用同一记号φ表示。

★基本例题1.1：对下列每一小题，写出E的样本空间Ω，并将有关事件表示为集合。

①E表示“随意掷一粒均匀骰子”，A={点数为奇}，B={点数≥4}，C={点数≤6}，D={点数＞6}。

②E表示“随意掷三枚均匀硬币”，A={恰有一枚正面朝上}，B={至少二枚正面朝上}，C={三枚都正面朝上}。

③袋中装有4只白球和2只黑球，E表示“从袋中先后各取一球”，A={第一次摸出的是黑球}，B={第二次摸出
的是黑球}，C={两次摸出的都是黑球}。

（见课本P.8例6）
二、事件之间的关系及运算：见如下表格。

主要应理解有关符号在概率论及集合论场合的含义。

此外还应记住如下基本公式：B A B A A A A A A A A =-Ω=Φ=Ω=ΦΦ=Ω=Ω⊂⊂Φ；；；；；；； 交换律、结合律、分配律、摩根律见课本P.10，皆可推广到多个事件的情形。

★基本例题1.2：见P.11例7、8。

第三节 概率的直接计算
设E 为一随机试验，A 是E 的一个随机事件，则A 发生的可能性大小用一个介于0和1之间的数来度量，这个数称为A 发生的概率，记为P(A)。

由于实际情况千变万化，不可能规定P(A)的统一计算公式，只可能在某些特定场合下，对P(A)规定尽可能合理的计算公式。

本节将介绍其中的三个，它们可用来直接计算随机事件的概率。

一、概率的统计定义（也称概率的统计含义）：n n A P A
n ∞→=lim )(。

此式从严格的数学意义上来说是不对的，
仅用来帮助理解：（1）这个定义给我们提供了计算概率的一个方法：)()(大n n
n A P A =。

实际中的各种百分率（如发芽率，次品率，命中率等）都可视作随机事件的频率，且它们一般都是在n 较大的情形下统计出来的，因此这些百分率都可以理解为概率。

（2）若从理论上计算出事件A 发生的概率，这个概率在实际中就可以理解为百分率。

二、概率的古典定义：早期研究的概率模型称为古典概型。

若随机试验E 的样本空间Ω是由有限个等可能发生的样本点所组成的，则称E 是个古典概型试验。

此时，E 的一个事件A 发生的概率是：
★基本例题1.3：计算基本例题1.1中所有事件发生的概率。

本题较简单。

但稍微复杂的古典概型问题一般都要用到排列组合的基本知识，并且很多题目对考虑技巧的要求是比较高的。

★基本例题1.4：（1）12件产品中有7件正品与5件次品，现从中任取4件，问：①“恰好取出2件正品”的概率是多少？②“取出的前2件是正品，后2件是次品”的概率是多少？（2）同样是这12件产品，任取4次，每次取后放回，求以上的两个概率。

本题说明：①可以通过“假想编号”及“假想填空”等手段将实际问题转化为抽象的数学问题再加以解决。

②要注意搞清有关对象是否可重复选取。

③要注意搞清所考虑的问题是否与顺序有关。

★基本例题1.5：⑴证明结论：设有n 个签，其中有k 个好签，现有m 个人来抽签（1≤m ≤n ），每人抽一个，则“第i 个人抽到好签”的概率是k /n （1≤i ≤m ）。

⑵10件产品中有8件正品与2件次品，现从中任取3件，每次取后不放回，求“第3次取得正品”的概率。

（很多其它问题与抽签问题完全类似，可直接利用第⑴小题结论）
★基本例题1.6：⑴将n 个人随意地分到N 个房间里（每间房可以分进多人），求“恰有n 间房，每间各有一人”的概率。

⑵某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率（生日相同指几月几日出生相同）。

★基本例题1.7：见课本P.16例13。

由于样本空间的描述方式往往不是唯一的，故常可一题多解，例如本题。

★基本例题1.8：①先后掷10次骰子，求“至少出现1个6点”的概率；②从一副52张扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。

本题说明：若直接计算一个事件发生的概率不太方便，可以考虑先计算它的对立事件发生的概率。

★基本例题1.9：现实生活中也可以经常试着给自己出一些古典概型方面的问题，例如：①安徽省电脑福利彩票“15选5”玩法：购买1注能中一等奖、二等奖的概率分别是多少？②包括中国队在内的10支球队用抽签的方式，随机均分成A 、B 两组各自进行循环赛。

中国队希望能同时避开另外两个最强的对手，问这一愿望实现的概率有多大。

③10本书随意放在书架上，求其中的3本书放在一起的概率。

④从5双不同的鞋子中任取4只，一双鞋子也没有取到的概率是多少？
三、概率的几何定义：如果随机试验E 可以抽象为在点集Ω中随机、等可能地取点，则称E 是一个几何概型试验。

此时，“所取之点落入Ω的一个子集A 之中”的概率为：μ(A)/μ(Ω)。

这里μ(A)表示点集A 的“测度”，即点集A 的长度、面积或体积。

★基本例题1.10：⑴向某圆内随意投掷一点，求该点落入圆的某一内接正方形内的概率。

⑵某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，求乘客候车时间不超过2分钟的概率。

第四节 概率的基本性质
概率当然需要一个统一定义，但统一定义中不可能规定概率的统一计算公式，只能规定概率应满足的基本性质。

这个统一定义就是“概率的公理化定义”，见课本P.12。

无论概率的具体计算公式如何给出，它都必须满足定义中的三条基本性质。

这三条基本性质是不加证明的，是公理；概率所应满足的其它性质可由这几条公理推出，是定理。

不过无论是公理还是定理，从解题的角度来说都是一样重要的。

我们将概率的有关性质集中于下：
记忆上述公式可以采用这样的方法：设想在文氏图中，Ω面积为1，P(A)即A 之面积。

★基本例题1.11：见课本P.18–19例16、17、18。

由课本对例18的解答可见，利用有关公式解决古典概型实际应用题规范的书写步骤是：①明确随机试验E 的内容；②用字母A 、B 、C 等表示有关事件；③将已知条件用概率论的语言表示；④明确所要求的是什么事件发生的概率，写出计算公式；⑤代入已知数据，求得结果。

第二章 条件概率与独立性
第一节 条件概率
一、条件概率的含义及求法：设A 、B 是某一随机试验的两个随机事件。

在B 已经发生的前提下，A 发生的概 率记为P(A|B)，称为“在B 发生的前提下，A 发生的条件概率”。

与此相对，P(A)是一种“无条件概率”。

★基本例题2.1：10件产品中包括8件正品与2件次品。

现从中无放回地任取2件，设A ＝{第1次取得正品}，B ＝{第2次取得正品}，求：)A |P(B A)|P(B P(B)，，。

0。

条件概率的计算方法有两种：①根据条件概率的计算公式来求；②根据条件概率的含义来求（也就是在“缩减的样本空间”中直接求概率）。

后者一般比前者要简单一些。

★基本例题2.2：⑴见P.24例1；⑵见P.25例2；⑶见P.39第4题（掷骰子问题）。

二、概率的乘法公式：⑴二个事件的情形：)|()()()|()()(B A P B P AB P A B P A P AB P ==
，或。

⑵多个事件的情形：)|()|()|()()(121213121321-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A A P 。

概率的乘法公式适合于计算若干个事件同时发生的概率。

★基本例题2.3：（1）见P.25例3；（2）将分别写有M 、A 、X 、A 、M 的五张卡片随机排成一行，正好排成MAXAM 的概率是多少？（3）袋中装有4只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第5次摸球时摸到黑球的概率是多少？
“完备事件组”的定义：见P.26。

简而言之，设B 1，B 2，…B n 是E 的n 个事件，若在一次试验中，E 的这n 个事件必然会有一个发生，但又不可能有任何二个同时发生，就称这n 个事件是E 的一个完备事件组。

三、全概率公式与贝叶斯公式：设B 1，B 2，…B n 是E 的一个完备事件组，A 是E 的一个事件，则：
（1）)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= （此为全概率公式）；
（2）)
()|()()()()|(A P B A P B P A P A B P A B P i i i i ==（其中i =1，2，… n ；此为贝叶斯公式）。

在以上的讨论中我们假定B 1，B 2，…B n 的概率均大于0。

全概率公式与贝叶斯公式在实际中有着广泛的应用。

如果我们发现某一事件A 的发生总是伴随着一组完备事件之一发生，那就很可能要用到这两个公式。

使用时，关键要明确E 、A 、B 、B 、…、B 的实际含义。

第二节 独立性
一、 两个事件相互独立：设E 是个随机试验，A 、B 都是E 的事件，则：
1 ★基本例题2.5：见P.32例12。

2．结论：②见P.32推论2；①若P(A)与P(B)都不是0与1，则以下四个式子都与P(AB)＝P(A)P(B)等价：
)A |P(B P(B)A)|P(B P(B))B |P(A P(A)B)|P(A P(A)=⇔=⇔=⇔=
3．解决实际问题的思路：由结论①可知：“A 与B 相互独立”意思就是“A 与B 中任何一个事件发生的概率都不受另一事件是否发生而影响”。

在解决实际问题时，通常是先根据这个含义，从直观上判断出两个事件应是相互独立的，再根据上述定义及结论来解题。

★基本例题2.6：见P.33例13。

如果问的是“仅有一人击中目标”的概率呢？
二、 多个事件相互独立：设E 是个随机试验，A 、B 、C 、A 1、A 2、…、A n 都是E 的事件，则：
1．定义：①A 、B 、C 相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)。

②A 1、A 2、…A n 相互独立⇔A 1、A 2、…A n 中任意k 个事件同时发生的概率总等于这k 个事件概率的乘积
（2≤k ≤n ）。

注意：多个事件“相互独立”必“两两相互独立”，但反之不一定。

2．结论：①A 1、A 2、…A n 相互独立⇒B 1、B 2、…B n 相互独立（B i 是A i 或A i ， i =1，2，…n ）。

②若A 1、A 2、…A n 相互独立，且这n 个事件发生的概率都是p ，则：P （A 1∪A 2∪…∪A n ）= 1–(1–p)n。

3．解决实际问题的思路：同两个事件的情形类似，“n 个事件相互独立”意思就是“这n 个事件中的任意一个发生的概率都不受其它一个或多个事件是否发生而影响”。

解决实际问题时，通常是先根据这个含义，从直观上判断出n 个事件应是相互独立的，再根据上述定义及结论来解题。

★基本例题2.7：⑴P.25例3（改为“放回抽样”）。

⑵P.34例14（可利用上述结论②）。

⑶P.34例15。

三、随机试验的独立性：
1．有关概念：①设E 1、E 2、…E n 是n 个随机试验，A 1是E 1的任一事件，A 2是E 2的任一事件，…A n 是E n 的任一事件。

若A 1、A 2、…A n 总是相互独立的，就称这n 个试验是相互独立的，意思就是这n 个试验互不影响。

例如：“抛一枚硬币”、“掷一粒骰子”、“进行一次射击”这几个随机试验是相互独立的。

②若n 个随机试验相互独立，且内容完全相同，就称这n 次试验是“n 次独立重复试验”，意思就是将同样一个随机试验独立地、重复地做n 次。

比如：“抛掷n 枚硬币”、“进行n 次射击”、“进行n 次有放回抽样”、“某种电脑型彩票先后n 次开奖”等都可视为“n 次独立重复试验”。

也称“n 重伯努利试验”。

2．重要结论：设E 是个随机试验，A 是E 的一个事件，P(A)＝p ＞0。

①若将E 独立地、重复地做n 次，则在这n 次独立重复试验中，A 恰好发生k 次的概率是：k n k k n q p C -
（其中p q -=1）。

（课堂上仅就n=4、k=2的情形证明）（实际应用在下章学了二项分布之后再谈） ②即使p 很小，只要将E 独立、重复地一直做下去，A 迟早是要发生的。

即：小概率事件迟早要发生。

第一节 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念：设E 是个随机试验，X 是个变量。

如果X 取一个值代表E 的一个具体结果，X 取不同值代表E 的不同结果，则称X 为随机试验E 的一个随机变量。

简言之，随机变量是用来表示随机试验结果的变量。

今后，随机变量一般用大写字母X ，Y ，Z 等表示。

几点说明：①不论随机试验的结果是否与数字有关，其结果都可以用随机变量来表示。

②与普通变量不同的是，随机变量的取值有个“可能性大小”的问题。

③引入随机变量之后，随机事件就可以用关于随机变量的某数学表达式来表示。

④随机变量可以分为两大类：离散型，连续型。

前者只能取一些彼此孤立的点；后者可取之值连成数轴上的区间。

⑤研究随机变量，主要是要研究其“分布”，也就是要弄清：第一，它能取哪些值；第二，它取不同值的可能性大小如何。

如果将随机变量X 视为数轴上的一个随机点，研究其分布，也就是要弄清：第一，X 可能落在数轴上的哪些地方；第二，X 落在数轴上不同地方的可能性大小如何。

事实上，只要P{X ∈I}（I 为任一区间）总可计算，则X 的分布状况就完全搞清了。