广东七校2015届高三数学上学期第一次联考试题文科含答案

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广东七校 2015 届高三数学上学期第一次联考试题（文科含答案）
广东七校 2015 届高三数学上学期第一次联考试题（文科含答案）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分为
150 分，考试用时为120 分钟 . 第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四
个选项中，只有一项为哪一项切合题目要
求的． 1 、已知全集，会集，，则等于（） A. B. C. D. 2、已知为虚数单位，复数的模（） B.
C． D.3 3、在等差数列中，已知，则（） A.
7 B. 8 C. 9 D. 10 4、设是两个非零向量，则“ ”是“ 夹角为锐角”的（） A. 充分不用要条件 B. 必需不充分条件 C. 充分必需条件
D.既不充分也不用要条件 5 、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”竞赛现
场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最
高分和一个最低分后，所剩数据的均匀数和方差分别为（）和 B.85 和 1.6 C. 85和 D.5 和、假如直
线与平面满足：那么必有（） A. B. C. D. 7、以以下列图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A ．B ．C．D．
8、定义运算“”为：两个实数的“ ”运算原理以以下列
图，若输
人，则输出（） A. －2 B．0 C、2 D.4 9、在长为 12厘米的线段上任取一点，现作一矩形 , 邻边长分别等于线段的长 ,则该矩形面积大于 20 平方厘米的概率为（） A. B. C. D. 10、如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为若的面积为，则与满足关系式（） A.B. C. D.第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分，此中 14～15 题是选做题，考生只需选做此中一题，两题全答的，只以第 14 小题计分． 11 ．函数，则＿＿＿ 12.若目标函数在拘束条件下仅在点处获得最小值，则实数的取值范围是 . 13.已知，，且，则． 14. （坐标系与参数方程）在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是15．（几何证明选讲）如图，点B在⊙O上，M
为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O 于N，，若⊙O的半径为，OA= OM，则MN的长为三、解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16 ．（本题满分12 分）已知向量，，设函数 . （Ⅰ）求函数单调增区间；（Ⅱ）若，求函
数的最值，并指出获得最值时的取值 .
17、（本题满分 12 分）某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷
检查中，随机抽取了 100 份问卷进行统计，获得相关的数据以下表：节
能意识弱节能意识强总计 20 至 50 岁 45 9 54 大于 50 岁 10 36
46 总计 55 45 100 （1）由表中数据直观剖析，节能意识强弱能否与人
的年龄相关？（2）若全小区节能意识强的人共有 350 人，则预计这
350 人中，年龄大于 50 岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽 5 人，再是这 5 人中任取 2 人，求恰有 1 人年龄在
20 至 50 岁的概率。

18、（本题满分 14 分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点 O是对角线与的交点 , 是的中点 , . （1）求证：平面 ; （2）平面
平面（3）当四棱锥的体积等于时, 求的长 .
19、（本题满分 14 分）已知等差数列的公差为 , 且 , （1）求数列的通
项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去此中一项后，剩下三项
按本来序次恰为等比数列的前 3 项, 记的前项和为 , 若
存在 ,使对任意总有恒成立,务实数的取值范围
20、（本题满分14 分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点 (1) 求证：成等比数列； (2) 设，，试问能否为定值，假如，求出此定值；若不是，请说明原由．
21、（本题满分 14 分）设函数（），． (1) 若函数图象上的点到直
线距离的最小值为，求的值； (2) 关于的不等式的解会集的整数恰
有 3 个，务实数的取值范围； (3) 关于函数与定义域上的
任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的
“分界线”．设，，试一试究与能否存在“分界线”？若存在，求
出“分界线”的方程；若不存在，请说明原由．
2015 届七校考文科数学答案ACDBBABADCB11．12. 13. 14、1 15、2 三、解答：本大共 6 小，共 80 分，解答写出文字明、明程或演算步． 16 ．（12 分）解：（Ⅰ） 2 分当， Z ， 3 分即，Z，即， Z ，函数增，5 分所以，函数的增区是，（ Z）；6 分（Ⅱ）当，，， 8 分当，原函数获得最小 0，此， 10 分当，原函数获得最大，此
. 12 分 17 、（12 分）解（ 1）因 20 至 50 的 54 人有 9 人能意，大于50 的 46 人有 36 人能意，与相差大，所以能意弱与年相关⋯⋯3 分（2）年大于 50 的有
（人）⋯⋯6 分（列式 2 分，果 1 分） (3) 抽取能意的 5 人中, 年在 20 至 50
的有人⋯⋯⋯⋯7 分年大于 50 的有 4
人⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分 5 人分 , 从 5 人中任取 2 人, 全部可能状况有 10 种, 列以下⋯10 分表示事件“ 5 人中任取 2 人，恰有 1 人年在 20 至 50 ”，中的基本领件有共 4
种⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分故所求概率⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18、
（14分）解:（1）在中，、分是、的中点, 是的中位
，，⋯⋯⋯⋯1分面，面⋯⋯3分面⋯⋯4分（2）底面是菱形，，⋯⋯5分面，面，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分面，面，，⋯⋯7分面⋯⋯8分面，⋯⋯9分面面⋯⋯ 10 分（3）因底面是菱形，，所以⋯⋯ 11 分四棱的高，，得⋯⋯ 12
分面，面，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分在中, .⋯⋯⋯⋯14
分 19 、（14 分）解： (1)由得，所以，从而
----------------------------6分(2)由意知等比数列的公
比，，随减，增数列，得又，故，若存在,使
任意有，得-------14分 20 ．（14 分）解：(1) 明：直的方程：，立方程可得得①，，，，②，而，∴，即成等比数列． (2) 由，得，，即得：，由(1) 中②代入得，故定且定－ 1. 21 ．（14 分）解：（1）因，所以，令得：，此
，⋯⋯⋯⋯2分点到直的距离，即，解之
得．⋯⋯⋯⋯4分（2）解法一：不等式的解会集的整数恰有 3 个，等价于恰有三个整数解，
故，⋯⋯⋯⋯6 分令，由且，所以函数的一个零点在区，另一个零点必定在区
，⋯⋯⋯⋯8分故解之得．⋯⋯⋯⋯ 10 分解法二：恰有三个整数解，故，即，⋯⋯⋯⋯6分，所以，又因
，⋯⋯⋯⋯8分所以，解之
得．⋯⋯⋯⋯ 10 分（3），．所
以当，；当，．所以，获得最小，与的象
在有公共点．⋯⋯⋯⋯12分与存在“分界”，方程，即，由在恒成立，在恒成立．所以成
立，因
此．下边
明恒成立．，．所以当，；当，．所以获得最大，成立．故所求“分界”方程
：．⋯⋯⋯⋯14分。