届高三数学第22练利用导数研究函数零点问题练习含

第 22 练利用导数研究函数零点问题
训练目标(1) 利用导数办理与函数零点有关的题型；(2) 解题步骤的
(1) 利用导数谈论零点的个数；(2) 利用导数证明零点的唯一训练题型
数借助导数求参数范围．
(1)侧重数形结合；(2) 借助零点存在性定理办理零点的存在性
解题策略
性办理零点的唯一性问题；(3) 注意参变量分别.
x
2
1.设 a>1，函数 f ( x)＝(1＋ x )e－ a.
(1)求 f ( x)的单调区间；
(2)证明： f ( x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
13
－ kx，其中实数k 为常数．
2．函数f ( x) ＝x
3
(1)当 k＝4时，求函数的单调区间；
(2) 若曲线y＝ f ( x)与直线y＝ k 只有一个交点，求实数k 的取值范围．
(1) 当a＝－ 1 时，求函数 f ( x)的极值；
(2) 若函数F( x)＝ f ( x )＋1没有零点，求实数 a 的取值范围．
2
x
4. 设函数f(x) ＝ (x＋ )ln x，(x) ＝x .已知曲线y＝f(x) 在点(1
a g e
2x－y＝ 0 平行．
(1)求 a 的值；
(2) 可否存在自然数k ，使得方程 f ( x)＝ g( x)在( k，k＋1)内存在唯一的k；若是不存在，请说明原由．
x
5．已知函数f ( x) ＝ ( x＋a)e
，其中 e 是自然对数的底数，a∈R.
(1) 求函数 f ( x)的单调区间；
2
(2) 当a<1 时，试确定函数g( x)＝ f ( x－ a)－ x 的零点个数，并说明原由．
答案精析
1． (1) 解
x2
x
2x f ′（x)＝2x e＋ (1 ＋x )e＝ ( x＋ 2x＋ 1)e
2x
＝( x＋ 1) e ， ? x∈ R，f′（x ) ≥０恒成立．∴ f ( x)的单调递加区间为( －∞，＋∞) ．
(2) 证明∵f (0)
2a
－ a，＝ 1－a，f ( a) ＝ (1 ＋a )e
∵ a>1，∴ f (0)<0
a
， f ( a)>2 a e－ a>2a－ a＝ a>0，
∴f (0)· f ( a)<0，∴ f ( x)在(0， a)上有一个零点，
又∵ f ( x)在(－∞，＋∞)上递加，
∴f ( x)在(0， a)上仅有一个零点，
∴f ( x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
2
2．解(1) 因为 f ′（x)＝ x －k，
2
当 k＝4时， f ′（x )＝ x －4，
2
令 f ′（x )＝ x －4＝0，
所以 x1＝2， x2＝－2.
f ′（x)、 f ( x)随 x 的变化情况以下表：
x(－∞，－2)－2(－2，2)
f ′（x )＋0－
f ( x)?极大值?极
所以 f ( x )的单调递加区间是( －∞，－2) ， (2 ，＋∞ ) ；单调递减区间是
x
( －∞，－
k )
－
k
( －
k ，
k )
g ′（ )
＋
－
x
( ) ?
极大值
?
极
g x
g ( x ) 有且仅有一个零点等价于
g ( －
2
k k － k <0，解得 0<
k )<0 ，即
3
9
.
综上所述， k 的取值范围是
k <4
3．解
(1) 当 a ＝－ 1 时， f ( x － x ＋ 1
f ′（ )＝
x － 2
) ＝
x
，
x .
e
x
e
由 f ′（x ) ＝ 0，得 x ＝ 2.
当 x 变化时， f ′（x ) ， f ( x ) 的变化情况以下表：
x
( －∞， 2)
2 (2 ，＋
f ′（ )
－
＋
x
f ( x )
?
极小值 ?
1
f ( x ) 无极大值．
所以，函数
f ( x ) 的极小值为 f (2) ＝－ e 2，函数 x x － a ( x － 2)
(2) F ′（x ) ＝ f ′（x ) ＝ a e － ( ax － a )e ＝
2x x
.
e
e
当 a <0 时， F ′（x ) ， F ( x ) 随 x 的变化情况以下表：
x
( －∞， 2)
2 (2 ，＋
F ′（x )
－
＋
F( x)?极小值?。