Karhunen-Loeve变换及其在语音增强中的应用
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【关键词］Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌ０ｅｖｅ变换；Ｍａｔｌａｂ实现；语音增强
１．引言 数字信号处理（Ｄｉｇｉｔａｌ ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ＤｓＰ）是当前科学和工程最强有力的支持技术 之一。它在语音处理、数字通信、医学影像、 雷达、声纳、控制、石油勘探以及金融等广泛 领域中都有非常重要的应用。通常，数字信号 处理的过程可用图１来表示。
间为信号子空间。巩的生成子空间与信号子空
间正交。ｕ。研ｚ和以噬ｚ分别表示彳在信号子空
间和正交子空间上的投影。清晰语音在啦上的
能量为ｏ。因此，噬ｚ不含清晰语音信息，它在
估计清晰语音时无效。
４．２协方差矩阵的估计
Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ协方差矩阵在语音增强处 理中非常有效。我们由带噪语音ｚ的Ｋ个自相
图ｌ
若采样后的数字（离散）信号向量经过正 交变换后的协方差矩阵为一对角矩阵，且具有 最小均方误差，则该变换称为最佳变换，也称 Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换ｏ ＫＬＴ（Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ ｔｒａｎｓｆｏ珊）是建立在统计特性基础上的一种变 换，不仅具有相关性好的突出优点，而且是均 方误差（Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｅｒｒｏｒ，ＭＳＥ）意义下的最 佳变换。它在数据压缩技术中占有重要地位， 并在语音增强等领域中有非常重要的应用。
图２
一６２一
重ｊ鸯图
图３
说明：在Ｍａｔｌａｂ中调用函数ｋｌｔ（），求Ｋ —Ｌ变换矩阵和变换表达式将变得十分简便。 对信号数据进行Ｋ—Ｌ变换，变换后的样值更独 立和有序，便于在量化操作中有效压缩数据。 另外，在不同的问题中所采用的协方差矩阵也 不同。如在语音增强的信号子空间等方法中常 用的协方差矩阵是Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｔ０ｅｐｌｉｔｚ协方差矩 阵。此时只需修改协方差矩阵的算法即可。
ｃｏｖｘ＝Ｅ｛（ｘ—Ｅ｛ｘ｝）７（ｘ—Ｅ｛ｘ｝）｝
４亩ｘ７＝Ｉｃ ｘ—Ｅ｛ｘ｝７术Ｅ｛ｘ｝
△ １ ＿Ｊｖ
其中Ｅ…２亩ｉ章； 』Ｙ‘２ｌ
（２）求协方差矩阵ｃｏｖｘ的特征值分解
ｃｏｖＸ＝己厂ＡＵ
其中ｕ为Ｋ—Ｌ变换矩阵； （３）求得ｘ的ＫＬＴ的变换表达式 ｙ＝（ｘ—Ｅ｛Ｘ｝）Ｕ。
３．１．２函数程序（文件名：ｋｌｔ．ｍ）： ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ＝ｋｌｔ（Ｘ） ％ｘ是Ｋ维向量的Ｎ次采样值所组成的 矩阵； ％ｃｏｖｘ为向量的协方差矩阵； ％Ｙ＝ｋｌｔ（ｘ）将得出ｘ的Ｋ—Ｌ变换； ％ｋｌｔ（ｘ）将显示Ｋ—Ｌ变换矩阵ｕ； ％Ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｂｙ Ｚｈｏｕｘｉａ０１ｉｎｇ
４．４语音控制窗的信号斑ｒ方法 ４．４．１ 问题分析 令；＝Ｈｚ是ｙ的估计，其中Ｈ是Ｋ×Ｋ矩
阵。信号误差
△
ｒ＝；一ｙ＝（Ｈ—Ｉ）ｙ＋Ｈｗ＝ｒ，＋ｒ。，（４．３）
Ａ
￡，＝ｔｒ（Ｅ｛ｒ，ｒ；｝），
欲求滤波器日，使满足
（４．４）
．
憎￡，，且Ｅ（Ｊ ｕ“１２）ｓ仪－叮，２（ｋ），ｋ
＝ｌ，…，Ｋ
（４．５）
其中盯：（ｋ）是的ｕ：Ｒ。ｕ，第ｋ个对角元
＞＞ｎｐｉｘｅｌｓ＝ｒ木ｃ；
＞＞Ｘ＝ｒｅｓｈａｐｅ（ｘ，［ｎｐｉｘｅｌｓ ｎｂａｎｄｓ］）； ＞＞Ｙ＝ｋｌｔ（ｘ）；％调用Ｍａｔｌａｂ函数ｋｌｔ（） ＞＞ｋｌｔ（ｘ）％显示ＫＬＴ矩阵ｕ
Ｕ＝
０．４２９２ 一Ｏ．８１８３
Ｏ．３８２３
０．４６７１ —０．１６１２ —０．８６９４
０．７７３１ ０．５５１７ Ｏ．３１３１
（４．１７）
４．５．２算法描述
令ｚ。＝ｕ：ｚ，定义
Ｒ，。＝ＢＲ：。一Ａ。，
（４．１８）
其中Ｂ是一个常数。如果前８个窗是噪音
Ａ＝
Ｍ１２
●
●
Ｕ １ｎ
Ｍ２２
●
●
址 ２ｎ
●
●
．．．
“州
Ｍ以
●
●
Ｕ ｎｎ
从而可得Ｋ一￡变换的变换表达式为
ｙ＝Ａ（戈一ｍ。），
其中ｍ；＝Ｅ｛戈｝ Ｋ—Ｌ变换的关键在于矩阵的特征值分解。
矩阵的特征值分解有多种方法，如ＱＲ法和Ｊａ—
ｃｏｂｉ法等。矩阵的特征值分解在Ｍａｔｌａｂ中用一
个简单的指令即可实现。因此，Ｍａｔｌａｂ是实现
图l?采样后的数字离散信号向?经过正交变换后的协方差矩阵为一对角矩阵且具有最小均方误差则该变换称为最佳变换也称karhunenloeve变换okltkarhunenloevetransfo珊是建立在统计特性基础上的一种变换?仅具有相关性好的突出优点而且是均方误差meansquareerrormse意义下的最佳变换
０．２；０．３ Ｏ．２ ０．３；０．２ ０．２ ０．３］的Ｋ—Ｌ变换。 程序及运行结果： ＞＞Ａ＝［１．０ ０．５ ０．３；ｏ．５ ｏ．３ ０．２；ｏ．３
０．２ ０．３；０．２ ０．２ ０．３］； ＞＞Ｙ＝ｋｌｔ（Ａ）
Ｙ＝
一０．００２１ ０
０．０１９４ 一０．０１７３
０．０２５０ —０．０７５０
Ｏ．０２５０ ０．０２５０
由于信号和和噪音是独立的，因此Ｒ：＝Ｒ，
＋Ｒ。。Ｒ，的幅度空间是由Ｒ，的非０特征值的 特征向量生成的空间，我们称其为信号子空
间。令
尺，＝玑Ａ，彬，
（４．１）
为Ｒ，的特征值分解。其中玑。是信号的碰ｒ矩 阵。因此，该方法称为基于碰丁的方法。令玑
＝［以，％］，其中ｕ，表示Ｒ，的正特征值的
特征向量组成的Ｋ×Ｍ矩阵。记玑的生成子空
都存在，称矩阵Ｂ＝（６ｉ）ｎ×ｎ为ｎ维随 机向量戈的协方差矩阵。
其中“Ｅ”是求期望，“ｃ删”是求协方差。 显然，协方差矩阵曰具有以下性质： 性质１曰为对称矩阵； 性质２ 对任意实向量￡（ｆ。，￡２，…， ￡，。），有
ｆＢｆ７≥０：
性质３曰的对角线上的元素６ｉ为并ｉ的方 差，即
６ｉ＝Ｄ（戈ｉ）＝盯２（戈ｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ； 性质４曰的对应于不同特征值的特征向量 必正交。 ２．２ Ｋａｒｈｕｎｅｎ一【ｏｅｖｅ变换 根据线性代数理论，可以求出协方差矩阵
Ｋ—Ｌ变换的有效工具。
３．ＫＬＴ的Ｍａｔｌａｂ实现
３．１编写Ｍａｄａｂ函数耽（） 为在计算机上方便地实现Ｋ—Ｌ变换，笔者 编写了Ｍａｔｌａｂ函数姚（），文件名为胁．ｍ。 ３．１．１算法描述： 设Ｋ维随机向量戈的第ｉ个采样值为 戈ｉ＝ （石ｉｌ，石恐，…，ｚ掘）７，ｉ＝１，２，
…．Ⅳ
ｘ＝［菇ｔ，…，戈Ⅳ］７ 则求向量的Ｋ—Ｌ变换的步骤如下 （１）求向量戈的协方差矩阵ｃｏｖｘ
素。另外，要求矩阵Ｈ具有形式
Ｈ＝ｕ，Ｑｕ：，
（４．６）
其中Ｑ为对角矩阵。令ｑ姓表示Ｑ的第ｋ个
对角元素，由（４．５）、（４．６）式得
ｑｋｋ≤仅ｉ， 则
（４．７）
８，＝ｔｒ（Ｅ｛ｒｙｅ｝）＝墨，入，（ｋ）’（１－ｑ“）２，
因此
（４．８）
ｑｋｋ＝ｍ流（１，仅－），
（４．９）
４．４．２算法描述
第一步：用４．２中方法估计带噪语音向量ｚ
的协方差矩阵Ｒ；，并假设噪音向量ｗ的协方差
矩阵Ｒ。已知（可由噪音窗估计）。则
Ｒ，＝Ｒ。一Ｒ。，
（４．１０）
第二步：求Ｒ。的特征值分解食，＝
ｕ，Ａ，Ｕ，。，令Ｒ，的严格大于Ｏ的Ｍ个特征值为
入，（１），…，入，（Ｍ）。令ｕ，＝［ＵＩ，Ｕ：］，则
Ｋ×Ｍ矩阵ｕ，为
Ｕｌ＝｛ｕ，ｋ：入，（Ｋ）＞０｝，
（４．１１）
关系数估计出协方差矩阵Ｒ：。令乙表示ｚ在时
刻ｆ的采样值。时刻．ｔ的第而个自相关系数Ｒ：
（忌）由Ｋ（２ｒ一１）个样本点（包括了前（ｒ一
尺ｚ（尼）２瓦氯阳一再－１）川犁…，后 １）Ｋ个样本点和后Ⅸ个样本点）求出，
１ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ＋Ⅸ一＾
＝Ｏ，１，…，Ｋ一１
ｚ的协方差矩阵为
咒（０）
兄（１）
Ｒ（１） 足＝
Ｒ（０）
…咒（Ｋ—１） …咒（Ｋ一２）
４．ＫＩＪ在语音增强中的应用 ＫＬＴ不仅在数据压缩技术中占有重要地位， 在语音增强中也有重要应用。基于信／噪ＫＬＴ方 法的的语音增强在处理有色噪声方面有较好的 效果。 ４．１ 理论背景 令），，叫以及ｚ＝ｙ＋叫分别为清晰语音、加 性噪音、带噪语音信号的Ｋ维列向量。Ｋ×Ｋ矩 阵Ｒ。表示Ｋ维列向量ｓ的协方差矩阵。；是的 估计，食。是Ｒ。的估计。Ａ。是矩阵Ａ的共轭转 置。打（爿）表示４的对角线元素的和。尺。＝
％２８ Ｍａｒｃｈ．２００６
ｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＞１，ｅｒｒｏｒ（’Ｗｒｏｎｇ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｕｔｐｕｔ ａ曙ｕｍｅｎｔｓ．’）；ｅｎｄ
ｉｆ ｎａｒｇｉｎ＞ｌ，ｅⅡ０ｒ（７Ｗｒｏｎｇ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｉｎｔｐｕｔ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ．’）；ｅｎｄ
［Ｎ Ｋ］＝ｓｉｚｅ（ｘ）； ｍｅａｎＸ＝ｍｅａｎ（Ｘ）；
本文在第二部分中介绍了ＫＬＴ的数学背景，
第三部分给出了ＫＬＴ的Ｍａｔｌａｂ实现，第四部分
介绍了ＫＬＴ在语音增强中的应用——基于钐噪
ＫＬＴ方法的语音增强。
２．ＫＬＴ的数学背景
２．１协方差矩阵 定义：给定维随机向量石＝（石，，ｚ：，…， 戈。）７，若 ６。ｉ＝ｃｏ秽（戈。，戈，）
＝Ｅ｛［菇‘一Ｅ（茗ｉ）］［ｚｊ—Ｅ（ｘ，）］｝， ｉ，Ｊ＝１，２，…，ｎ
作者简介：周小玲，湖南茶陵人，广州铁路职业技术学院讲师，理学学士，中山大学应用数学专业在读硕士。
一６０—
万方数据
Ｂ的乃个特征值和相应的特征向量。假定Ａｉ（ｉ ＝１，２，…，ｎ）是按递减顺序排列的特征值， 其相应特征向量为
ｕｉ＝ （ｕｉｌ， Ⅱ芘， …，“拥）７ 则Ｋ一￡变换矩阵Ａ定义为
Ｍ１ｌ
“２１
， （４２）
．Ｒ（Ｋ一１） Ｒ（Ｋ一２） … 咒（０） ４．３窗分类 带噪语音窗被分为语音控制窗和噪音控制
窗两类。如果盯（Ｒ：）＞（ｍａｘ（１０删脚，１）
＋０．３）ｆ坎。，则该窗为语音控制窗，否则为噪 音控制窗。其（ｍａｘ（１０８ＮⅣ加，１）＋０．３）中 值由经验确定，信噪比ｓＮＲ可取平均值。
对于语音控制窗，使用信号脱丁矩阵。对 于噪音控制窗，使用噪音碰ｒ矩阵。
ｃｏｖＸ＝Ｘ’木Ｘ／Ｎ—ｍｅａｎＸ’：Ｉｃ ｍｅａｎＸ：
％［ｕ ｓ Ｖ］＝ｓｖｄ（ｃｏｖｘ）； ［ｕ Ｄ］＝ｅｉｇ（ｃｏｖｘ）；
ｆｏｒ ｉ＝１：Ｋ ． ｚ（：，ｉ）＝Ｘ（：，ｉ）一ｍｅａｎＸ（ｉ）；
ｅｎｄ
Ｙ１＝Ｚ木Ｕ：
ｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＝＝１，Ｙ＝Ｙ１；ｅｌｓｅｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＝＝０，
ｄｉｓｐｌａｙ（Ｕ）；ｅｎｄ 注：％引导的是注释语句。 ３．２函数ｋｌｔ（）应用举例 例１：求４×３矩阵［１．ｏ ０．５ ｏ．３；０．５ ０．３
一０．５３８５ ０
０．２２２８ ０．３１５８
例２：从文件’ｎｏｗｅｒｓ．ｔｉｆ’中读取图象数据，对 其作Ｋ—Ｌ变换，并建立反变换重构图象，与原图 进行对比。
一６ｌ—
万方数据
程序及运行结果： ＞＞Ｘ＝ｉｍｒｅａｄ（’ｎｏｗｅｒｓ．ｔｉｆ’）；
６９ｕｒｅ；％创建图形窗 ｓｕｂｐｌｏｔ（１，１，１）；％创建子图 ＞＞ｉｍｓｈｏｗ（Ｘ）； ＞＞ｔｉｔｌｅ（’原图７）； ＞＞Ｘ＝ｉｍ２ｄｏｕｂｌｅ（Ｘ）； ＞＞［ｒ ｃ ｎｂａｎｄｓ］＝ｓｉｚｅ（ｘ）；％保存形状
以以。矿是Ｒ。的特征值分解。Ａ。（后）．是Ａ。的第 １｜｝个对角线元素（特征值），“。。表示相应的特征
向量。 基于信号子空问的语音增强方法在信号应
用领域已较普遍。但对于有色噪声，该方法需 要先进行噪声白化处理，而且该方法不适用于
窄带噪声。本文介绍的基于舻噪靓丁方法的语
万方数据
音增强，很好地克服了上述缺点。
＞＞ Ｕ＝『Ｏ．４２９２ ０．４６７１ Ｏ．７７３ｌ； 一
０．８１８３ 一Ｏ．１６１２ ０．５５１７： ０．３８２３ 一Ｏ．８６９４
０．３１３１］； ％反变换并重构图象 ＞＞Ｙ＝ｒｅｓｈａｐｅ（Ｙ，［ｎｐｉｘｅｌｓ ｎｂａｎｄｓ］）；
＞＞Ｙ１＝Ｙ丰Ｕ’：
＞＞Ｙｌ＝ｒｅｓｈａｐｅ（Ｙ１，［ｒ ｃ ｎｂａｎｄｓ］）； ＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ（Ｉ，ｌ，１）； ＞＞ｉｍｓｈｏｗ（ａｂｓ（Ｙ１））； ＞＞ｔｉｔｌｅ（’重构图’）； 图２和图３分别为“原图”和“重构图” 的图象：
一６３—
万方数据
４．５噪音控制窗的噪音碰ｒ方法 ４．５．１ 问题分析 令Ｒ。的特征值分解为
Ｒ。＝ｕ。Ａ。ｕ：，
（４．１４）
欲求滤波器Ｈ，使满足
■抑８，，且Ｅ（Ｉ ｕ乱ｒ。Ｉ ２）≤ｏ【。入。（ｋ）
并要求Ｈ具有形式 Ｈ＝ｕ。Ｑｕ：，
（４．１５） （４．１６）
其中Ｑ为对角矩阵。类似地，
ｑｋｋ＝ｍ讥（１，ｄ手），
第三步：确定Ｑ，从而求出Ｈ。令
ｚＴ＝ｕ：ｚ＝ｕ：ｙ＋ｕ：ｗ＝ｍＴ＋ｗＴ，
（４．１２）
令仃乙（ｋ）是Ｒ。，的第ｋ个对角元素，类
似 仅文。献『［：唧５］（、 ｛一唧［６梨］卜，）我 ，丽们ｋ几：取ｌｂ，１２’，厶……，』Ｍ
【
Ｏ，
其它
（４．１３）
其中ｖ是先验参数。由于仅。ｓ ｌ，由
（４．９）式，得ｑ”“＝仅｝，则 Ｈ＝ｕ，Ｑｕ：。
Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换及其在语音增强中的应用
周小玲
（广州铁路职业技术学院，广东广州５１０４３０）
［摘要］Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｉ脱ｖｅ变换（ＫＬＴ）是建立在统计特性基础上的一种变换，其相关性好，且为
均方误差（ＭｓＥ）意义下的最佳变换。ＫＬＴ不仅在数据压缩技术中占有重要地位，在语音增强领域中也 有重要应用。本文探讨了Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换的Ｍａｔｌａｂ实现，并介绍了它在语音增强中的应用。
１．引言 数字信号处理（Ｄｉｇｉｔａｌ ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ＤｓＰ）是当前科学和工程最强有力的支持技术 之一。它在语音处理、数字通信、医学影像、 雷达、声纳、控制、石油勘探以及金融等广泛 领域中都有非常重要的应用。通常，数字信号 处理的过程可用图１来表示。
间为信号子空间。巩的生成子空间与信号子空
间正交。ｕ。研ｚ和以噬ｚ分别表示彳在信号子空
间和正交子空间上的投影。清晰语音在啦上的
能量为ｏ。因此，噬ｚ不含清晰语音信息，它在
估计清晰语音时无效。
４．２协方差矩阵的估计
Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ协方差矩阵在语音增强处 理中非常有效。我们由带噪语音ｚ的Ｋ个自相
图ｌ
若采样后的数字（离散）信号向量经过正 交变换后的协方差矩阵为一对角矩阵，且具有 最小均方误差，则该变换称为最佳变换，也称 Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换ｏ ＫＬＴ（Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ ｔｒａｎｓｆｏ珊）是建立在统计特性基础上的一种变 换，不仅具有相关性好的突出优点，而且是均 方误差（Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｅｒｒｏｒ，ＭＳＥ）意义下的最 佳变换。它在数据压缩技术中占有重要地位， 并在语音增强等领域中有非常重要的应用。
图２
一６２一
重ｊ鸯图
图３
说明：在Ｍａｔｌａｂ中调用函数ｋｌｔ（），求Ｋ —Ｌ变换矩阵和变换表达式将变得十分简便。 对信号数据进行Ｋ—Ｌ变换，变换后的样值更独 立和有序，便于在量化操作中有效压缩数据。 另外，在不同的问题中所采用的协方差矩阵也 不同。如在语音增强的信号子空间等方法中常 用的协方差矩阵是Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ Ｔ０ｅｐｌｉｔｚ协方差矩 阵。此时只需修改协方差矩阵的算法即可。
ｃｏｖｘ＝Ｅ｛（ｘ—Ｅ｛ｘ｝）７（ｘ—Ｅ｛ｘ｝）｝
４亩ｘ７＝Ｉｃ ｘ—Ｅ｛ｘ｝７术Ｅ｛ｘ｝
△ １ ＿Ｊｖ
其中Ｅ…２亩ｉ章； 』Ｙ‘２ｌ
（２）求协方差矩阵ｃｏｖｘ的特征值分解
ｃｏｖＸ＝己厂ＡＵ
其中ｕ为Ｋ—Ｌ变换矩阵； （３）求得ｘ的ＫＬＴ的变换表达式 ｙ＝（ｘ—Ｅ｛Ｘ｝）Ｕ。
３．１．２函数程序（文件名：ｋｌｔ．ｍ）： ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ＝ｋｌｔ（Ｘ） ％ｘ是Ｋ维向量的Ｎ次采样值所组成的 矩阵； ％ｃｏｖｘ为向量的协方差矩阵； ％Ｙ＝ｋｌｔ（ｘ）将得出ｘ的Ｋ—Ｌ变换； ％ｋｌｔ（ｘ）将显示Ｋ—Ｌ变换矩阵ｕ； ％Ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｂｙ Ｚｈｏｕｘｉａ０１ｉｎｇ
４．４语音控制窗的信号斑ｒ方法 ４．４．１ 问题分析 令；＝Ｈｚ是ｙ的估计，其中Ｈ是Ｋ×Ｋ矩
阵。信号误差
△
ｒ＝；一ｙ＝（Ｈ—Ｉ）ｙ＋Ｈｗ＝ｒ，＋ｒ。，（４．３）
Ａ
￡，＝ｔｒ（Ｅ｛ｒ，ｒ；｝），
欲求滤波器日，使满足
（４．４）
．
憎￡，，且Ｅ（Ｊ ｕ“１２）ｓ仪－叮，２（ｋ），ｋ
＝ｌ，…，Ｋ
（４．５）
其中盯：（ｋ）是的ｕ：Ｒ。ｕ，第ｋ个对角元
＞＞ｎｐｉｘｅｌｓ＝ｒ木ｃ；
＞＞Ｘ＝ｒｅｓｈａｐｅ（ｘ，［ｎｐｉｘｅｌｓ ｎｂａｎｄｓ］）； ＞＞Ｙ＝ｋｌｔ（ｘ）；％调用Ｍａｔｌａｂ函数ｋｌｔ（） ＞＞ｋｌｔ（ｘ）％显示ＫＬＴ矩阵ｕ
Ｕ＝
０．４２９２ 一Ｏ．８１８３
Ｏ．３８２３
０．４６７１ —０．１６１２ —０．８６９４
０．７７３１ ０．５５１７ Ｏ．３１３１
（４．１７）
４．５．２算法描述
令ｚ。＝ｕ：ｚ，定义
Ｒ，。＝ＢＲ：。一Ａ。，
（４．１８）
其中Ｂ是一个常数。如果前８个窗是噪音
Ａ＝
Ｍ１２
●
●
Ｕ １ｎ
Ｍ２２
●
●
址 ２ｎ
●
●
．．．
“州
Ｍ以
●
●
Ｕ ｎｎ
从而可得Ｋ一￡变换的变换表达式为
ｙ＝Ａ（戈一ｍ。），
其中ｍ；＝Ｅ｛戈｝ Ｋ—Ｌ变换的关键在于矩阵的特征值分解。
矩阵的特征值分解有多种方法，如ＱＲ法和Ｊａ—
ｃｏｂｉ法等。矩阵的特征值分解在Ｍａｔｌａｂ中用一
个简单的指令即可实现。因此，Ｍａｔｌａｂ是实现
图l?采样后的数字离散信号向?经过正交变换后的协方差矩阵为一对角矩阵且具有最小均方误差则该变换称为最佳变换也称karhunenloeve变换okltkarhunenloevetransfo珊是建立在统计特性基础上的一种变换?仅具有相关性好的突出优点而且是均方误差meansquareerrormse意义下的最佳变换
０．２；０．３ Ｏ．２ ０．３；０．２ ０．２ ０．３］的Ｋ—Ｌ变换。 程序及运行结果： ＞＞Ａ＝［１．０ ０．５ ０．３；ｏ．５ ｏ．３ ０．２；ｏ．３
０．２ ０．３；０．２ ０．２ ０．３］； ＞＞Ｙ＝ｋｌｔ（Ａ）
Ｙ＝
一０．００２１ ０
０．０１９４ 一０．０１７３
０．０２５０ —０．０７５０
Ｏ．０２５０ ０．０２５０
由于信号和和噪音是独立的，因此Ｒ：＝Ｒ，
＋Ｒ。。Ｒ，的幅度空间是由Ｒ，的非０特征值的 特征向量生成的空间，我们称其为信号子空
间。令
尺，＝玑Ａ，彬，
（４．１）
为Ｒ，的特征值分解。其中玑。是信号的碰ｒ矩 阵。因此，该方法称为基于碰丁的方法。令玑
＝［以，％］，其中ｕ，表示Ｒ，的正特征值的
特征向量组成的Ｋ×Ｍ矩阵。记玑的生成子空
都存在，称矩阵Ｂ＝（６ｉ）ｎ×ｎ为ｎ维随 机向量戈的协方差矩阵。
其中“Ｅ”是求期望，“ｃ删”是求协方差。 显然，协方差矩阵曰具有以下性质： 性质１曰为对称矩阵； 性质２ 对任意实向量￡（ｆ。，￡２，…， ￡，。），有
ｆＢｆ７≥０：
性质３曰的对角线上的元素６ｉ为并ｉ的方 差，即
６ｉ＝Ｄ（戈ｉ）＝盯２（戈ｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ； 性质４曰的对应于不同特征值的特征向量 必正交。 ２．２ Ｋａｒｈｕｎｅｎ一【ｏｅｖｅ变换 根据线性代数理论，可以求出协方差矩阵
Ｋ—Ｌ变换的有效工具。
３．ＫＬＴ的Ｍａｔｌａｂ实现
３．１编写Ｍａｄａｂ函数耽（） 为在计算机上方便地实现Ｋ—Ｌ变换，笔者 编写了Ｍａｔｌａｂ函数姚（），文件名为胁．ｍ。 ３．１．１算法描述： 设Ｋ维随机向量戈的第ｉ个采样值为 戈ｉ＝ （石ｉｌ，石恐，…，ｚ掘）７，ｉ＝１，２，
…．Ⅳ
ｘ＝［菇ｔ，…，戈Ⅳ］７ 则求向量的Ｋ—Ｌ变换的步骤如下 （１）求向量戈的协方差矩阵ｃｏｖｘ
素。另外，要求矩阵Ｈ具有形式
Ｈ＝ｕ，Ｑｕ：，
（４．６）
其中Ｑ为对角矩阵。令ｑ姓表示Ｑ的第ｋ个
对角元素，由（４．５）、（４．６）式得
ｑｋｋ≤仅ｉ， 则
（４．７）
８，＝ｔｒ（Ｅ｛ｒｙｅ｝）＝墨，入，（ｋ）’（１－ｑ“）２，
因此
（４．８）
ｑｋｋ＝ｍ流（１，仅－），
（４．９）
４．４．２算法描述
第一步：用４．２中方法估计带噪语音向量ｚ
的协方差矩阵Ｒ；，并假设噪音向量ｗ的协方差
矩阵Ｒ。已知（可由噪音窗估计）。则
Ｒ，＝Ｒ。一Ｒ。，
（４．１０）
第二步：求Ｒ。的特征值分解食，＝
ｕ，Ａ，Ｕ，。，令Ｒ，的严格大于Ｏ的Ｍ个特征值为
入，（１），…，入，（Ｍ）。令ｕ，＝［ＵＩ，Ｕ：］，则
Ｋ×Ｍ矩阵ｕ，为
Ｕｌ＝｛ｕ，ｋ：入，（Ｋ）＞０｝，
（４．１１）
关系数估计出协方差矩阵Ｒ：。令乙表示ｚ在时
刻ｆ的采样值。时刻．ｔ的第而个自相关系数Ｒ：
（忌）由Ｋ（２ｒ一１）个样本点（包括了前（ｒ一
尺ｚ（尼）２瓦氯阳一再－１）川犁…，后 １）Ｋ个样本点和后Ⅸ个样本点）求出，
１ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ＋Ⅸ一＾
＝Ｏ，１，…，Ｋ一１
ｚ的协方差矩阵为
咒（０）
兄（１）
Ｒ（１） 足＝
Ｒ（０）
…咒（Ｋ—１） …咒（Ｋ一２）
４．ＫＩＪ在语音增强中的应用 ＫＬＴ不仅在数据压缩技术中占有重要地位， 在语音增强中也有重要应用。基于信／噪ＫＬＴ方 法的的语音增强在处理有色噪声方面有较好的 效果。 ４．１ 理论背景 令），，叫以及ｚ＝ｙ＋叫分别为清晰语音、加 性噪音、带噪语音信号的Ｋ维列向量。Ｋ×Ｋ矩 阵Ｒ。表示Ｋ维列向量ｓ的协方差矩阵。；是的 估计，食。是Ｒ。的估计。Ａ。是矩阵Ａ的共轭转 置。打（爿）表示４的对角线元素的和。尺。＝
％２８ Ｍａｒｃｈ．２００６
ｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＞１，ｅｒｒｏｒ（’Ｗｒｏｎｇ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｕｔｐｕｔ ａ曙ｕｍｅｎｔｓ．’）；ｅｎｄ
ｉｆ ｎａｒｇｉｎ＞ｌ，ｅⅡ０ｒ（７Ｗｒｏｎｇ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｉｎｔｐｕｔ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ．’）；ｅｎｄ
［Ｎ Ｋ］＝ｓｉｚｅ（ｘ）； ｍｅａｎＸ＝ｍｅａｎ（Ｘ）；
本文在第二部分中介绍了ＫＬＴ的数学背景，
第三部分给出了ＫＬＴ的Ｍａｔｌａｂ实现，第四部分
介绍了ＫＬＴ在语音增强中的应用——基于钐噪
ＫＬＴ方法的语音增强。
２．ＫＬＴ的数学背景
２．１协方差矩阵 定义：给定维随机向量石＝（石，，ｚ：，…， 戈。）７，若 ６。ｉ＝ｃｏ秽（戈。，戈，）
＝Ｅ｛［菇‘一Ｅ（茗ｉ）］［ｚｊ—Ｅ（ｘ，）］｝， ｉ，Ｊ＝１，２，…，ｎ
作者简介：周小玲，湖南茶陵人，广州铁路职业技术学院讲师，理学学士，中山大学应用数学专业在读硕士。
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万方数据
Ｂ的乃个特征值和相应的特征向量。假定Ａｉ（ｉ ＝１，２，…，ｎ）是按递减顺序排列的特征值， 其相应特征向量为
ｕｉ＝ （ｕｉｌ， Ⅱ芘， …，“拥）７ 则Ｋ一￡变换矩阵Ａ定义为
Ｍ１ｌ
“２１
， （４２）
．Ｒ（Ｋ一１） Ｒ（Ｋ一２） … 咒（０） ４．３窗分类 带噪语音窗被分为语音控制窗和噪音控制
窗两类。如果盯（Ｒ：）＞（ｍａｘ（１０删脚，１）
＋０．３）ｆ坎。，则该窗为语音控制窗，否则为噪 音控制窗。其（ｍａｘ（１０８ＮⅣ加，１）＋０．３）中 值由经验确定，信噪比ｓＮＲ可取平均值。
对于语音控制窗，使用信号脱丁矩阵。对 于噪音控制窗，使用噪音碰ｒ矩阵。
ｃｏｖＸ＝Ｘ’木Ｘ／Ｎ—ｍｅａｎＸ’：Ｉｃ ｍｅａｎＸ：
％［ｕ ｓ Ｖ］＝ｓｖｄ（ｃｏｖｘ）； ［ｕ Ｄ］＝ｅｉｇ（ｃｏｖｘ）；
ｆｏｒ ｉ＝１：Ｋ ． ｚ（：，ｉ）＝Ｘ（：，ｉ）一ｍｅａｎＸ（ｉ）；
ｅｎｄ
Ｙ１＝Ｚ木Ｕ：
ｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＝＝１，Ｙ＝Ｙ１；ｅｌｓｅｉｆ ｎａｒｇｏｕｔ＝＝０，
ｄｉｓｐｌａｙ（Ｕ）；ｅｎｄ 注：％引导的是注释语句。 ３．２函数ｋｌｔ（）应用举例 例１：求４×３矩阵［１．ｏ ０．５ ｏ．３；０．５ ０．３
一０．５３８５ ０
０．２２２８ ０．３１５８
例２：从文件’ｎｏｗｅｒｓ．ｔｉｆ’中读取图象数据，对 其作Ｋ—Ｌ变换，并建立反变换重构图象，与原图 进行对比。
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程序及运行结果： ＞＞Ｘ＝ｉｍｒｅａｄ（’ｎｏｗｅｒｓ．ｔｉｆ’）；
６９ｕｒｅ；％创建图形窗 ｓｕｂｐｌｏｔ（１，１，１）；％创建子图 ＞＞ｉｍｓｈｏｗ（Ｘ）； ＞＞ｔｉｔｌｅ（’原图７）； ＞＞Ｘ＝ｉｍ２ｄｏｕｂｌｅ（Ｘ）； ＞＞［ｒ ｃ ｎｂａｎｄｓ］＝ｓｉｚｅ（ｘ）；％保存形状
以以。矿是Ｒ。的特征值分解。Ａ。（后）．是Ａ。的第 １｜｝个对角线元素（特征值），“。。表示相应的特征
向量。 基于信号子空问的语音增强方法在信号应
用领域已较普遍。但对于有色噪声，该方法需 要先进行噪声白化处理，而且该方法不适用于
窄带噪声。本文介绍的基于舻噪靓丁方法的语
万方数据
音增强，很好地克服了上述缺点。
＞＞ Ｕ＝『Ｏ．４２９２ ０．４６７１ Ｏ．７７３ｌ； 一
０．８１８３ 一Ｏ．１６１２ ０．５５１７： ０．３８２３ 一Ｏ．８６９４
０．３１３１］； ％反变换并重构图象 ＞＞Ｙ＝ｒｅｓｈａｐｅ（Ｙ，［ｎｐｉｘｅｌｓ ｎｂａｎｄｓ］）；
＞＞Ｙ１＝Ｙ丰Ｕ’：
＞＞Ｙｌ＝ｒｅｓｈａｐｅ（Ｙ１，［ｒ ｃ ｎｂａｎｄｓ］）； ＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ（Ｉ，ｌ，１）； ＞＞ｉｍｓｈｏｗ（ａｂｓ（Ｙ１））； ＞＞ｔｉｔｌｅ（’重构图’）； 图２和图３分别为“原图”和“重构图” 的图象：
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万方数据
４．５噪音控制窗的噪音碰ｒ方法 ４．５．１ 问题分析 令Ｒ。的特征值分解为
Ｒ。＝ｕ。Ａ。ｕ：，
（４．１４）
欲求滤波器Ｈ，使满足
■抑８，，且Ｅ（Ｉ ｕ乱ｒ。Ｉ ２）≤ｏ【。入。（ｋ）
并要求Ｈ具有形式 Ｈ＝ｕ。Ｑｕ：，
（４．１５） （４．１６）
其中Ｑ为对角矩阵。类似地，
ｑｋｋ＝ｍ讥（１，ｄ手），
第三步：确定Ｑ，从而求出Ｈ。令
ｚＴ＝ｕ：ｚ＝ｕ：ｙ＋ｕ：ｗ＝ｍＴ＋ｗＴ，
（４．１２）
令仃乙（ｋ）是Ｒ。，的第ｋ个对角元素，类
似 仅文。献『［：唧５］（、 ｛一唧［６梨］卜，）我 ，丽们ｋ几：取ｌｂ，１２’，厶……，』Ｍ
【
Ｏ，
其它
（４．１３）
其中ｖ是先验参数。由于仅。ｓ ｌ，由
（４．９）式，得ｑ”“＝仅｝，则 Ｈ＝ｕ，Ｑｕ：。
Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换及其在语音增强中的应用
周小玲
（广州铁路职业技术学院，广东广州５１０４３０）
［摘要］Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｉ脱ｖｅ变换（ＫＬＴ）是建立在统计特性基础上的一种变换，其相关性好，且为
均方误差（ＭｓＥ）意义下的最佳变换。ＫＬＴ不仅在数据压缩技术中占有重要地位，在语音增强领域中也 有重要应用。本文探讨了Ｋａｒｈｕｎｅｎ—Ｌｏｅｖｅ变换的Ｍａｔｌａｂ实现，并介绍了它在语音增强中的应用。