2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题含解析

2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；
③；④其中错误命题的个数是（）
A．1个 B．0个 C．4个 D．2个
参考答案：
D
2. 将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).
A. 左移个单位
B. 右移个单位
C. 左移π个单位
D. 右移π个单位
参考答案：
C
分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数.
详解：由，令.
解得.
即对称中心为.
只需将左移个单位可得一个奇函数的图像，
故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.
3. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
略
4. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数
有极值点，则的最小值是
（）
A．0 B． C． D．-1
参考答案：
D
5. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若
的最小值为2，则其离心率为（）
A．B．C．2 D．3
参考答案：
B
6. 函数的图象大致为( )
参考答案：
D
7. 已知P是双曲线上一点，F1、F2
是左右焦点，⊿P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（）
A B C D
参考答案：
D
8. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）
A．12+B．12+23πC．12+24πD．12+π
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π?（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
9. （5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若?=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（）
A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离
参考答案：
A
【考点】：平面向量数量积的运算．
【专题】：直线与圆．
【分析】：根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A
（），，而由?=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方
程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系．
解：设A（），；
∴由得：
，设，则：
t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；
∴x1x2=4；
直线AB的斜率为k=；
∴直线AB的方程为：；
∴原点到该直线的距离为=；
∴直线AB与圆的位置关系为相交．
故选A．
【点评】：考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．
10. 已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B=（）A．{1} B．{x|1＜x＜4} C．{1,3} D．{1，2，3，4}
参考答案：
C
先解不等式，集合.由题意知集合A
表示奇数集，所以A∩B，故选C。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数。

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实
数k的取值范围是________．
参考答案：
(0,1)
函数f(x)的图象如图所示：
由上图可知0<k<1.
12. 已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，……这个数列的特点是从第二项
起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和等
于▲ .
参考答案：
答案：1
13. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差▲；
▲．
参考答案：
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
由，=12，得d=，=，则20.
【思路点拨】根据等差数列的通项公式和性质求出公差和。

14. 方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k= ．
参考答案：
1
考点：函数的图象；根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题．
分析：将方程lgx=4﹣2x的解的问题转化为函数图象的交点问题解决，先分别画出方程左右两边相应的函数的图象，观察两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可．
解答：解：分别画出等式：lgx=4﹣2x两边对应的函数图象：如图．
由图知：它们的交点x0在区间（1，2）内，
故k=1．
故答案为：1．
点评：本小题主要考查对数函数的图象，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．
15. 如图，A，B，C是直线上三点，P是直线外一点，AB=BC=1，∠APB=90°，
∠BPC=30°，则= ．
参考答案：
【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用．
【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有30°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=120°，CD=PD=2x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立
关于x的方程，解出x=，即BD=，从而得出PA=且PC=．最后利用数量积的公式加以计算，可得的值．
【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，
∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．
∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，
∵∠BPD=30°，BD=x，∴PD=2BD=2x，CD=PD=2x，
△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+30°=120°，BC=1，
由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC=1，
即x2+4x2﹣2x?2xcos120°=1，解之得x=，即BD=．
∴PA=2BD=，PC=4BD=，
可得==××（﹣）=﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题给出三角形的中线与一条边垂直且与另一边成30度角，求向量的数量积．着重考查了向量数量积计算公式、三角形中位线定义及其应用、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
16. 若的值为．
参考答案：
2
17. 函数的值域为.
参考答案：
(0,+∞)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）
设为各项不相等的等差数列的前n项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列{}的前n项和，求.
参考答案：
解：（1）设数列的公差为d，则由题意知解得（舍去）或所以.(5分)
（2）因为=，
所以=++…+=.（10分）
19. 已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．
参考答案：
（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．
（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g
（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g （x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x﹣lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令
并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数?（x）在
（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即
成立．
解：（1）在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，
得
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
=
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=35，（舍去），
②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增
∴，a=e2，满足条件．
③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．
令，，
当0＜x≤e时，?'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴
∴，即＞（
x+1）lnx ．
本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且AP=．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，
由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，
因为PR，RQ?平面ADE，
且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，
又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分
（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，
则由等体积法可得，
故，因此．…12分．
21. （12分）（2015秋?黄冈月考）在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（I）若向量与夹角为锐角，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区城（含边界）内，=m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．
参考答案：
考点：平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：（I）由题意求得和的坐标，令=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得实数a的取值范围．
（Ⅱ）由=m+n=（m+2n，2m+n），由，可得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．
解答：解：（I）由题意可得=（2﹣a，3﹣a），=（3﹣a，2﹣a），
若向量与夹角为锐角，则=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得a＜2或a＞3．（Ⅱ）∵a=1，=m+n=m（1，2）+n（2，1）=（m+2n，2m+n）（m，n∈R），
由，可得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图可知，
当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为：1．
点评：本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．
22. (本小题满分10分) 已知
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.
参考答案：
略。