数学竞赛中的图论问题

数学竞赛中的图论问题
2-6数学竞赛中的图论问题（P ．221）
⼀、基本思想
引例欧拉7桥问题
把所考察的对象作为顶点（v ），把对象之间是否具有我们所关⼼的某种关系作为了连线的的条件（e ），这样，就可以把⼀个具体问题抽象为图的研究．
在解数学竞赛题中的好处：
（1）把抽象的问题转化为直观的问题；
（2）把复杂的逻辑关系转化为简明的数量关系．
⼆、基本内容
有图、顶点、边、简单图、完全图、连通图、树、⼆分图、竞赛图等14个定义，12条定理：
定义１设集合{}12(),,,p V G v v v =≠?，{}12(),,,q E G e e e =是()V G 中某些元素对的⽆序集合，则称()()(),G V G E G 为图，⼜称()V G 为图G 的顶点集合，其元素叫做顶点；称()E G 图G 的边集合，其元素叫做边．若(),u v V G
∈，边e 是⽆序顶点对(),u v ，则记
e uv vu ==，且称u 与v 是边e 的端点，e 与顶点,u v 关联，也说顶点u 与v 邻接（或相邻）．有公共端点的边12,e e 称为邻边，也说
12,e e 邻接．
例如
顶点：()V G =｛⼩王，⼩李，⼩张，⼩赵，⼩陈，⼩刘｝，边：1e =｛⼩王，⼩李｝，2e =｛⼩李，⼩赵｝，3e =｛⼩陈，⼩刘｝， 12,e e 相邻.
定义2 图G 中所含顶点的数⽬称为图的阶数，记为V （也⽤G 来表⽰）；⼜⽤E 表⽰图G 的边数（也⽤G 来表⽰）．通常⽤(),G p q 表⽰p 个顶点，q 条边的图G ；若,p q 都是有限数的图称为有限图，否则称为⽆限图．如果对于图(),G V E 与()''',G V E ，有'',V V E E ??，则称'G 是G 的⼦图．
定义 3 两顶点间⾄多连⼀条边且每边的两个端点相异的图称为简单图；图中任何两个顶点都邻接的简单图称为完全图，p 阶完全图记为.p K
定理1 p K 的边数为()12
p p E -=．定义４图G 中与顶点u 关联的边数称为顶点u 的度，记为()d u ．如果u 的度数是奇数，则称u 为奇顶点；如果u 的度数是偶数，则称u 为偶顶点．
定理２任何⼀个图的总度数等于边数的2倍，
()2u V
d u E ∈=∑．
推论任何图中奇顶点的个数是偶数．
定义５图G 中点边交错的⾮空有限序列011231k k k u e u e u u e u -叫做以0,k u u 为端点的途径．若途径中所有的i e 都不相同，则
叫做0k u u -链；若链中所有的i u 都不相同则叫做0k u u -通路，k 称为通路的长；若0,k u u 重合，则叫做回路或圈．k 为奇（偶）数的回路称为奇（偶）回路．
定义６经过图G 中每条边的链称为欧拉链，两端重合的欧拉链称为欧拉环游图（欧拉回路），有欧拉环游的图称为欧拉图（简称E 图）
直观的说，欧拉图就是从⼀个顶点出发⽽每边通过⼀次⼜能回到出发顶点的图（⼀笔画）．
定理3 连通图G 为欧拉图的充要条件是G 中没有奇顶点．推论如果连通图G 有2k 个奇顶点，那么图G 可以⽤k 笔画成．
定义７包含图G 每⼀个顶点的通路称为哈密尔顿通路，有哈密尔顿通路的图称为哈密尔顿图．
定理4 设G 是⼀个p 阶简单图()3p ≥，若G 中任意两个顶点,u v 的度数满⾜()()d u d v
p +≥，则G 是哈密尔顿图．定义８连通⽽⽆回路的图称为树，树上度数为1的顶点称为叶（悬挂点）．
定理5 如果树T 的顶点数不⼩于2，那么树T 上⾄少有两
个叶．
定理6 设图G有p个顶点，q条边，则下列说法彼此等价：（1）G是树；
（2）G的任意两个顶点间有且仅有⼀条通路；
（3）G连通，且1
=-；
q p
（4）G⽆回路，且1
=-；
q p
（5）G⽆回路，但连接任何两个⾮邻接顶点,u v所得新图，有且仅有⼀个回路；
（6）G连通，但舍弃任何⼀条边后便不连通．
定义9 图()
G V E的顶点集V若能分成两个⾮空⼦集12,V V，
,
使得任何边e的⼀个端点属于
V，另⼀个端点属于2V，则G为
1
⼆分图．
定理7 图G为⼆分图的充要条件是G不含奇回路．
定义10 设图()
G V E为简单图，M是E的⼀个⾮空⼦集，
,
若M中任何两边都不相邻，则称M为图G的⼀个匹配（⼜称对集）．若M边之端点包括G中⼀切顶点，则称M为G的⼀个完备匹配．M中每⼀边的两个端点称为相配．
定义11 在图的边上⽤箭头标注出⽅向就得到⼀个有向图，称为定向．完全图的⼀个定向称为竞赛图．
定理8 每个竞赛图都有单向哈密尔顿通路．
定义12 若⼀个图G可以画在平⾯上，使得任何两条边都不在⾮顶点处相交，则称图G为平⾯图．图的边所包围的
⼀个区域，其内部既不包含图的顶点，也不包含图的边，这样的区域为图G 的⼀个⾯．为了⽅便，把平⾯图G 的外部⽆限区域也作为⼀个⾯，称为外部⾯，其他⾯则称为图G 的内部⾯．
定理9 设G 是⼀个简单连通平⾯图，()(),V G p E G q
=
=，⾯数为f （包括外部⾯），则2p q f -+=．定理10 ⼀个连通的平⾯简单图G ，若有v 个顶点()3,v e ≥条边，则36e v ≤-．
定义13 ⽤红蓝两种颜⾊对完全图p K 的边任意染⾊，使每
条边都染上某⼀种颜⾊，若总会出现红⾊边m K 或蓝⾊边n K 时，则记p 的最⼩值为(),r m n ，称(),r m n 为关于,m n 的拉姆赛数．定理11 ()()()()
()3,36,3,49,3,514,3,618,3,723,r r r r r ===== ()3,936,r =()4,418.r =
定义14 ⽤n 种颜⾊对完全图p K 的边任意染⾊，使每条边
都染上某⼀种颜⾊，若总会出现同⾊三⾓时，则记p 的最⼩值为()3,3,
,3n r 个，简记为n r ，称n r 为拉塞姆数．
定理12 设12,,,n S S S 是集合{}1,2,,n r 的任意分划，
则存在⼀个,1n i i r ≤≤，使i S 中有⽅程x y z +=的根．
三、主要⽅法
不是图论知识的直接套⽤，⽽是图论基本思想的常识应⽤．
构造法、
反证法
数学归纳法
抽屉原理
染⾊⽅法
极端原理
四、例题选讲
例1-1 有5个课外活动⼩组，每2个⼩组⾥有⼀个相同的同学，每个同学恰好在两个⼩组⾥出现，问这5个⼩组⾥共有多少个同学？
解把⼩组对应为点，“每2个⼩组⾥
有⼀个相同的同学”就连⼀条线，每两点
都有连线；⼜由于“每个同学恰好在两个
⼩组⾥出现”，故每两点都连且只连⼀条
线，得5阶完全图，图中变的条数就是同学个数，得10个同学.
例1-2 有n 个药箱，每两个药箱⾥有⼀种相同的药，每种药恰好在两个药箱⾥出现，问共有多少种药？
解把药箱对应为点，“两个药箱⾥有1种相同的药”就连⼀条线，每两点都有连线；⼜由于“每种药恰好在两个药箱⾥出现”，故每两点都连且只连⼀条线，得（n 阶完全图）
2n N C ．
例2 证明：在任何⼀群⼈中，与奇数个⼈互相握⼿（互相认识）的⼈有偶数个．
证明记这群⼈为n 个点，“互相握⼿”就在对应的两点连⼀条线，共有e 条，每个⼈认识的⼈数为点的“度数”，记为12,,
,n d d d ，则 122n d d d e +++=，
2i i d d e +=∑∑奇偶
，
2i i d
e d =-∑∑奇偶
为偶数 i
d ∑奇
是偶数个奇数之和．
例3-1 (1947，匈⽛，例2-4-1）证明：在任意6个⼈中，总可以找到3个⼈互相认识，或互相不认识，并且这种情况⾄少出现2个．
例3-2 （1976，波兰）平⾯上有6个点，任何3点都是⼀个不等边三⾓形的顶点，则这些三⾓形有⼀个的最短边⼜
是另⼀个三⾓形的最长边．
提要：把每个三⾓形的最短边染成红⾊，
存在红⾊三⾓形，
红⾊三⾓形的最长边为所求．
例4 在边⼆染⾊的K 5中没有单⾊三⾓形的充要条件是它可分解为⼀红⼀蓝两个圈，每个圈恰由5条边组成．证明充分性是显然的．
考虑必要性，在K 5中每点恰引出4
条线段，如果从其中某点A 1能引出三
条同⾊线段A 1A 1，A 1A 3，A 1A 4，记为
同红，则考虑△A 2A 3A 4，若当中有红边
i j A A （24i j ≤≤≤），则存在红⾊三⾓形1i j A A A 是同蓝⾊三⾓形，
均⽆与单⾊三⾓形⽭盾．所以，从每点引出的四条线段中恰有两条红⾊两条蓝⾊，整个图中恰有5条红边、5条蓝边．现只看红边，它们组成⼀个每点度数都是2的偶图，可以构成⼀个或⼏个圈，但是每个圈⾄少有3条边，故5条红边只能构成⼀个圈，同理5条蓝边也构成⼀个圈．例 5 求最⼩正整数n ，使在任何n 个⽆理数中，总有3个数，其中每两数之和都仍为⽆理数．
解取4个⽆理数
，显然不满⾜要求，故
5n ≥．设,,,,a b c d e 是5个⽆理数，视它们为5个点，若两数之和
为有理数，则在相应两点间连⼀条红边，否则连⼀条蓝边．这就得到⼀个⼆染⾊5k ．只须证图中有蓝⾊三⾓形，分两步：
（1）⽆红⾊三⾓形．若不然，顶点所对应的3个数中，两两之和均为有理数，不妨设,,a b b c c a +++都是有理数，有1[()()()]2
a a
b b
c c a =+-+++ 但⽆理数≠有理数，故5k 中⽆红⾊三⾓形．
（2）有同⾊三⾓形，若不然，由上例知，5k 中有⼀个红
圈，顶点所对应的5个数中，两两之和均为有理数，设,,,,a b b c c d d e e a +++++为有理数，则
1[()()()()()]2
a a
b b
c c
d d
e e a =+-+++-+++ 但⽆理数≠有理数，故5k 中⽆5条边组成的红圈，从⽽有
同⾊三⾓形．
这时，同⾊三⾓形必为蓝⾊三⾓形，其顶点所对应的3个⽆理数，两两之和仍为⽆理数．
综上所述，最⼩的正整数5n =.
例6-1 某⾜球邀请赛有,,,A B C D 4个城市参加，每市派出红黄两⽀球队，根据⽐赛规则，每两之间球队⾄多赛⼀场，并且同⼀城市的两⽀球队之间不进⾏⽐赛.⽐赛若⼲天后进⾏统计，发现除A 市红队外，其他各队⽐赛过的场次各不相同.问A 市黄队赛过多少场.
（找黄队，求c 场次）
解因为“同⼀城市的两⽀球队之间不进⾏⽐赛”，所以
每⼀个球队最多赛6场；有因为“除A 市红队外，其他各队⽐赛过的场次各不相同”，所以，其他各队赛过的场次分别为0，1，2，3，4，5，6共7种情况.
⽤12345678,,,,,,,A A A A A A A A 表⽰8⽀球
队，两队之间进⾏了⽐赛就连1条边，
其中1234567,,,,,,A A A A A A A 分别赛了6，5，4，
3，2，2，1，0场.
由于
1A 赛了6场，应有6条引线，
记为121314151617,,,,,A A A A A A A A A A A A ，由于1A 与
8A 没有引线，故1A ，8A 属于同⼀城市.
同理， 27,A A 属于同⼀城市， 36,A A 属于同⼀城市，45,A A 属于同⼀城市.
45,A A 属于同⼀城市且都赛过3
场，由于“除A 市红队外，其他各
队⽐赛过的场次各不相同”，所以
45,A A 就是A 市的两⽀球队，得A 市黄
队赛过3场.
例6-2 李明夫妇最近参加了⼀次集会，同时出席的还有三对夫妻．⼀见⾯，⼤家互相握⼿，当然夫妻之间不握⼿，也没有⼈与同⼀个⼈握两次从⼿．握⼿完毕后，李明统计了包括妻⼦在内的7个⼈握⼿的次数，发现恰好数字发互不相同．请问．李明的妻⼦握了⼏次⼿?
例6-3 （P.225例2-115）
作业：1 习题2-6第1
2．习题2-6第11题（P．235）。