2017届广州市高三(二模)数学(文)

2017届广州市高三第二次调研考试试题〔二〕
数学〔文科〕 2017.4
一、选择题：本大题共12小题，每题5分。

只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21,Z B b b n n ==-∈，则A B =∩〔 〕
A ．{}1,3-
B ．{}0,3
C ．{}1,0,3-
D ．{}1,0,3,5-
2、假设复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则z =〔 〕
A ．46i +
B ．42i +
C ．42i --
D ．26i +
3、已知命题p ：R x ∀∈，220x ax a ++≥〔R a ∈〕，命题q ：*0N x ∃∈，2
210x -≤， 则以下命题中为真命题的是〔 〕 A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝⌝∧
4、执行如下列图的程序框图，则输出的S 值为〔 〕
A ．4
B ．3
C ．2-
D ．3-
5、函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
6、在区间[]1,5-上随机地取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率为〔 〕
A ．23
B ．12
C ．38
D ．1
3
7、已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的
取值集合为〔 〕
A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
8、已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线2
2y x =上运动，则→
→•AC AB 的最小值为〔 〕
A ．2
B ．12
C ．2-
D ．1
2
-
9、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的
截面，则这个截面的面积为〔 〕 A 35 B 35
C ．92
D ．98
10、数列{}n a 满足22a =，()
1
21n n n a a +++-()11n
=+-〔*N n ∈〕
，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则100S 〔 〕
A ．5100
B ．2550
C ．2500
D ．2450
11、已知函数()2sin 4f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭〔0ω>〕的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，
则ω的取值范围为〔 〕
A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1725,44ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．[)4,6ππ 12、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，
则该三棱锥的体积为〔 〕
A ．83
B ．163
C ．32
3
D ．16
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13、已知双曲线22
212
x y a -
=〔0a >〕的离心率为2，则a 的值为 ． 14、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，222
2144n n n a a a +++=，则数列{}n a 的
通项公式n a = ．
15、《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》
共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二； 五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知 它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品
16、已知函数()33,,
x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩0,
0,x x ≥<，假设()()318f a f a -≥，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题 〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕
17、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=.
〔Ⅰ〕求角B 的大小；
〔Ⅱ〕假设BC 边上的高等于1
4
a ，求cos A 的值.
18、某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名
学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：
〔Ⅰ〕在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；
〔Ⅱ〕估计这50名学生身高的方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕； 〔Ⅲ〕现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.
19、如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，
22EB FD a ==.
〔Ⅰ〕求证：EF AC ⊥； 〔Ⅱ〕求三棱锥E FAC -的体积.
20、已知定点()0,1F ，定直线l ：1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.
〔Ⅰ〕求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线1l ，2l ，
两条切线相交于点P ，求PAB 外接圆面积的最小值.
21、已知函数()21
ln 2
f x a x x =-.
〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕假设函数()()4g x f x x =+存在极小值点0x ，且()2
001202
g x x a -
+>，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为
,
2sin x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩〔θ为参数〕，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. 〔Ⅰ〕求线段AB 的长；
〔Ⅱ〕已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的
最大面积.
23、选修4-5：不等式选讲
〔Ⅰ〕已知1a b c ++=，证明：()()2
2
11a b ++++()2
1613
c +≥
； 〔Ⅱ〕假设对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
2017年广州市普通高中毕业班综合测试〔二〕
文科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB 二、填空题
13．1
22n + 15．23 16．[)1,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥
⎝
⎦
三、解答题
17．解：〔Ⅰ〕因为cos sin b C b C a +=， 由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==得， sin cos sin sin B C B C +sin A =.
因为A B C π++=，
所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+.
即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+. 因为sin 0C ≠， 所以sin cos B B =.
因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4
B π
=
.
〔Ⅱ〕设BC 边上的高线为AD ，则14
AD a =
. 因为4
B π
=
，则14BD AD a ==
，34
CD a =.
所以AC ==
，AB =.
由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅5=-.
18．解：〔Ⅰ〕这50名学生身高的频率分布直方图如以下列图所示：
〔Ⅱ〕由题意可估计这50名学生的平均身高为
150816020170161806
50
x ⨯+⨯+⨯+⨯=
164=.
所以估计这50名学生身高的方差为
2s =()()()()2222
81501642016016416170164618016450
-+-+-+-
80=.
所以估计这50名学生身高的方差为80.
〔Ⅲ〕记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B .
从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，{},,a b A ,{},,a b B ,
{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,
{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本领件.
其中至少抽到1名女生的情况有：{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,
{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本领件.
所以至少抽到1名女生的概率为
164205
=. 19．解：〔Ⅰ〕证明：连接BD ，
因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC FD ⊥.
因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .
因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面. 因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥. 〔Ⅱ〕设AC
BD O =，连接EO ，FO .
由〔Ⅰ〕知，AC ⊥平面BDFE ， 所以AC ⊥平面FEO .
因为平面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -， 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+.
因为正方形ABCD 的边长为a ，2EB FD ==，
所以FO a ==，EO a ==
.
取BE 的中点G ，连接DG ，则FE DG ==2
a =
.
所以等腰三角形FEO 的面积为12FEO
S
=234a =. 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+1
1
33
FEO
FEO
S
AO S CO =⨯+⨯
1
3
FEO
S AC =⨯21334
a =⨯=3
.
所以三棱锥E FAC -的体积为
3
.
设(),M x y
=1y +. 化简得24x y =.
所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. 〔Ⅱ〕设AB l ：1y kx =+， 代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，124x x ⋅=-.
所以AB =()21241x x k ⋅-=+.
因为C ：2
4x y =，即24x y =，所以2
x
y '=.
所以直线1l 的斜率为112x k =
，直线2l 的斜率为222
x k =. 因为12
1214
x x k k =
=-， 所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.
所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，
所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
21．解：〔Ⅰ〕因为函数()21
ln 2
f x a x x =-，所以其定义域为()0,+∞.
所以()a
f x x x
'=-2x a x -=-.
当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减.
当0a >时，()
f x '
=(x x x
+-.
当x >()0f x '<，函数()
f x 在区间
)
+∞上单调递减.
当0x <<时，()0f x '>，函数(
)f x 在区间(上单调递增.
Middle
(
，单调递减区间为)
+∞. 〔Ⅱ〕因为()()4g x f x x =+21ln 42
a x x x =-+， 所以()4a g x x x
'=-+=24x x a x ---〔0x >〕. 因为函数()g x 存在极小值点，所以()g x '在()0,+∞上存在两个零点1x ，2x ，且120x x <<. 即方程240x x a --=的两个根为1x ，2x ，且120x x <<，
所以1212
1640,40,0.a x x x x a ∆=+>⎧⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得40a -<<.
则()24x x a g x x --'=-=()()12x x x x x
---. 当10x x <<或2x x >时，()0g x '<，当12x x x <<时，()0g x '>，
所以函数()g x 的单调递减区间为()10,x 与()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x . 所以1x x =为函数()g x 的极小值点0x .
由20
040x x a --=
，得02x =由于()2001202
g x x a -+>等价于2000ln 420a x x x a -++>. 由20
040x x a --=，得2004x x a -=，所以0ln 0a x a +>. 因为40a -<<，所以有0ln 10x +<，即01e
x <.
因为02x =
12e
<. 解得241e e
a >-+. 所以实数a 的取值范围为241,0e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
. 22．解：〔Ⅰ〕曲线C 的普通方程为22
1124
x y +=.
Middle 将直线20x y --=代入22
1124
x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.
所以点()0,2A -，()3,1B ， 所以
AB
==〔Ⅱ〕在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入22
1124
x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2
264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.
易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.
且点()3,1P -到直线
l 的距离为d
==.
PAB 的最大面积为192
S AB d =⨯⨯=. 23．解：〔Ⅰ〕证明：因为1a b c ++=，
所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613
c +≥， 即证明22213
a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2
a b c ++()2ab bc ca -++ ()2
a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2
a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213
a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613
c +≥
.
Middle 〔Ⅱ〕设()f x =21x a x -+-，
则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,
11,,2131,.2
x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12
a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32
a ≤-. 当12
a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,2
11,,2
31,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩
此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52
a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
∪.。