《平方根》教材详解

教材详解第十三章实数
第一节平方根
【教学目标】
1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质.
2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根.
3. 会用科学计算器求一个非负数的算术平方根.
重点1.算术平方根的概念及表示方法
2. 平方根的概念及其性质
难点：平方根的概念及其性质
【教学导入】
教学导入一问题1解设正方形纸片的边长为x cm依题意有：x2= 25,求出满足x2= 25的x值, 就可得正方
形纸片的边长.
问题2解设圆的半径为R em,依题意有：n R2=16n，即R2=16，求出满足R2 =16的R的
值即可求出圆的半径.
教学导入二情境导入
请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面
积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm ?如果这
块画布的面积是12dm 2?这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？
这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容•这节课我们先学习有关算术平方根的概念. 教学导入三情境导入：
问题：
要剪出一块面积为25em的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
你能用方程表示这个问题吗？试试看.
2.课前热身
根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论：
(1) 这种运算(x2=25)是已知什么？求什么？
(2) 这种运算与平方运算之间存在怎样的关系？
教学导入四创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是49?
2 、平方得81的数有几个？分别是什么？
3 、一对互为相反数的平方有什么关系？
交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数
【知识点】
知识点1：平方根的概念及其性质
概念：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根•这就是说，如果x2= a，那么x叫做a的平方根•例：3和一3是9的平方根，简记为土3是9的平方根.
表示：正数a 的平方根可表示为士 需，读作“正负根号 a ”，其中“ 2 '‘是根指数，当根指数是 2
时可省略不写，“「”读作“根号” ，“ a ”是被开方数.例如：2的平方根可表示为士 、、2 • 性质：
(1 ) 一个正数a 有两个平方根，其中一个是“J ： ”，另一个为“一禹”，它们互为相反数； (2 ) 0的平方根
是。

；
(3 )负数没有平方根.
温馨提示：1.被开方数a 是非负数(非负数即指正数和零)，2.平方与开方是互逆运算关系 例1:求下列各数的平方根.
(1) ( -3)2 = 9, (一 3)2 = 9，所以(-3)2 的平方根是土 3;
.,,15
64
8 2
64 才「、「 15 “十、” 口 8
(2) 因为1
= ，(二)2 = ，所以1 的平万根是土
49
49
7
49
49
7
(3) 因为02=0,所以0的平方根是0 (4) 因为(士 1)2=1,所以1的平方根是土 1. 求一个正数的平方根
，就是根据平方根的定义，看这个正数是哪两个互为相反数的数的平方。

知识点2:算术平方根的概念及表示方法。

概念：一般地，如果一个正数
x 的平方等于 a ,即x 2 = a ,那么这个正数 x 叫做a 的算术
平方根.a 的算术平方根记为-.a ，读作“根号 a ” , a 叫做被开方数.
表示方法：非负数a 的算术平方根表示为 爲，读作“根号a ”.例如：42 = 16 , 16的算术平 方根是 4，表示
为了丽 J 16 = 4 .
性质：(I )正数a 的算术平方根为>a ;
(2 ) 0的算术平方根是 o ，即0 = 0; (3 )负数没有算术平方根。

例2：求下列个数的算数平方根
(1) 256
(2). 625
(3) 412 - 40 2
分析：根据算术平方根的意义解答即可.
解答：(1)因为16 2 = 256 所以256的算术平方根是16,即256 =16
(2)因为625 = 25,又因为52 = 25,所以625的算术平方根是 5.
(3) 因为.41 2 -40 2 = . 81 = 9,又因为32 = 9，所以..41 2 - 402的算术平方根是 3
知识点3 :平方根与算术平方根的区别与联系
1. 区别.(I )定义不同；
(2 )个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平
方根只有一个；
(3 )表示方法不同，正数a 的平方根表示为士 ■ a ，正数a 的算术平方根表示为 >a ； (4 )取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正、一负.
2. 联系：(1 )具有包含关系，平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根中的正的那一个；
(1 ) (-3)2 ；
15
(2 )1 -
49 (3) 0 ,
(4) 1
分析：根据平方根的意义及性质解答，带分数
15
1 一首先化成假分数 49
64 49
(2)存在条件相同，平方根和算术平方根只有非负数才有；
（3 ） 0的平方根与算术平方根都是0 •
【易错易误点】
1、对平方根的定义理解不准确，导致偏差
例1.下列说法中：①9的平方根是3；②、、2是2的平方根；③乞是..16的平方根.④土 , 9是
9的平方根；⑤0的平方根是0其中正确的是：（）
A.①②③
B.②③④
C.②③④⑤
D.①②③④⑤
错解：选择D。

分析：由于对平方根的定义理解不准确，导致上述的错误。

怎样才能准确理解平方根的定义？
可以这样去理解：
2 L
如果x =a，那么，x叫做a的平方根，记作土a。

由此，我们可以断定如下说法都是正确的：
①a的平方根是土 a :②.、a是a的平方根；③-•、a是a的平方根；④土... a是a的平方根；
其中a是非负数。

此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。

根据上面的理解，所以，说法①是错误的。

其余说法都是正确的。

正解：选择C。

2、对平方根的表示法中的“土”理解不准确，导致偏差
例2、“ 36的平方根是土 6 ” ,下列各式正确的是（）
25 5
①.36 =± 6 ②土、36 =± 6 ③、36=6 ④-…
:25 5 \ 25 5 : 25 5 25 5
A.①②③
B.②③④
C.③④
D.①②③④
错解：选择D o
分析：对于非负数的平方根，在用数学表达式表示时，有三种方式是正确的：
①“±,±型”，即在等号的两边要同时出现“土”这个符号。

如土-.9 =± 3；
②“ +, +型”，即在等号的两边要同时出现“ +”这个符号。

如+、.. 9 =+3,或者.9 =3,
③““-,-型”，记在等号的两边要同时出现“-”这个符号，如-J9=-3.
也就是说，在用数学表达式表达时，等号两边数的性质符号是一致的，否则，就不正确。

根据这一标准，去判断，
① 是错误的。

其余都是正确的。

正解：选择B o
3、忽视被开方数的意义，导致错误
例3、下列运算过程，
①-8 是-64 的平方根；②…-64 =-（-8）=8 :③—22=-箱22=-2 :④ ±- 64 =± （-8）= ± 8
正确的个数：（）
（A）0 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个
错解：选择B或选择C 或选择D
分析：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就 没有什么意义。

①②④的被开方数都是-64，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；
2
③的被开方数是-2 =-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算； 所以，上面的说法
都是错误，即正确的个数为
0.
正解：选择A 。

4、乱用运算律或者公式，导致偏差
例4、下列运算中，
①、.10 2 -82 = .. 102 - 82 =10-8=2 ；
错误的有 （
）
（A ） ①②
（B ） ③④ （C ）①②③
错选：选择 A 或选择B 或选择D 分析:
在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符合公式，还是带分数的 形式，在运算时，必须把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数, 要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性。

①的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误； ② 的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；
③ 的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有④严格按照运算
的要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的。

因此，①②③都是错误的。

正解：选C o
5、对 a2的化简把握不准，导致偏差
例5、下列等式正确的是（
）；
A. 64 = ± 8 ；
B. （一5）2 = — 5；
C.、8? =8
D.』（—16 ）2 = 16 错解：选择A 或B 或D o 分析：对于 a 2型的计算，必须清楚a 的正负性，当a 是正数时，其结果a,即当a > 0时，；a 2 =a ； 当a v 0时，..a 2 =-a ;当a=0时，〔a 2 =0；这里也要注意等号两边数的性质符号的一致性。

根据上面的要求，所以，只有选项 C 是正确的。

当然，同学们也可以先把被开方数进行化简计
算，化成最简形式，后开平方。

（D ） ②③④
③
5
=1 -；
12
正解：选择C。

6、对算术平方根的定义理解不准，导致错误
例6、计算下列各式并观察：
①8100^= ，②，81「= ，③..0.81「= ，④..0.0081 = _________________ ，
通过上述各式，你能发现什么样的规律，用自己的语言叙述出来。

_ ___ 2 ; ___________ 2 _____________ 2__________________ 2错解：①,8100 =90，②,81 =9，③•. 0.81 =0. 9，④0.0081 = 0. 09 ，
被开方数每缩小100倍，其算术平方根的底数就缩小10倍。

分析：出现这种错误，是对算术平方根的数学符号表示法的意义理解不准，导致的。

式子a的意义是,
求数a的算术平方根，再细致的说法就是，求一个数，并且这个数的平方等于a。

所以，算术平方根是平方幕中的底数。

明白了这一点，上面的错误就自然克服了。

正解：①、8100—=90，②、81「=9，③■. 0.81 =0. 9，④•. 0.0081 一=0. 09
规律：被开方数每缩小100倍，其算术平方根就缩小10倍。

7、不会处理系数与底数的关系，导致偏差
例7、求下列x的值：
2
4(x -1) =25
错解：4 (x-1 ) =± . 25 =± 5,
所以，4 (x-1 ) =5 或者 4 (x-1 ) =-5 ,
21 卡11
x= ,或x=-
4 4
分析：由于没有处理好系数与算术平方根的关系，导致错误。

这类问题的正确解法是:
①等式的两边同时除以平方幕的系数，把系数化成1；
②求右边数的平方根；
③建立两个等式，分别求出
正解：等式的两边同时除以4,得:
2 25
(x -1)=
4
所以,
：25 5 x-1= ±v 丁=± ；，
所以,
5
X-仁或者x-1=-
所以,
7
x=,
2
或x=
所以,
x的值。