高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》技巧及练习题附答案

新《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．已知函数()322
f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）
A ．4或3-
B ．4或11-
C ．4
D ．3-
【答案】C 【解析】
分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求． 详解：∵3
2
2
()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．
由题意得2
(1)320
(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩， 即2
239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或4
11a b =⎧⎨=-⎩
． 当33
a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =． 故选C ．
点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．
（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．
2．函数()2
sin f x x x x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
因为()()()()()2
2sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；
()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成
立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，
()()12f x f x ∴>，
所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --
【答案】A 【解析】
【分析】
由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】
由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称
又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数
()()()()()()()()()1281241240
f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2
123422f f f f e e +++=+
()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+
故选：A 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
4．三个数0.20.4
0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.2
0.43<4log 0.5<
B ．0.40.2
0.43<log 0.5<4
C ．0.4
0.20.4log 0.534<<
D ．0.2
0.40.4log 0.54
3<<
【答案】D 【解析】
由题意得，12
0.2
0.4
5
5
0.4
0log
0.514
43
3<<<==== D.
5．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
6．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）
A ．1(1,)2
- B ．1(,1)(,)2
-∞-+∞U C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又()
()2210f x f x -+>，
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-，
∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
7．函数()1ln f x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当
1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】
当2x =时，1
10x x
-
=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13
02
x x -
=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1
y x x
=-
单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
8．已知函数()()11
10x x e f x x e
++-=<与()()1ln x x
g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．11,e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.
【详解】
由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1
1
1
1e e 10e
x x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,
则方程()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,
即方程
()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,
()()
11e 1
e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,
令()=e 1x
m x x --，则()=e 10x
m x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1x
m x x --在
()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，
即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,
当0x >时,则()()101x e
ϕϕ>=-, 所以11e
a >-, 故选:D 【点睛】
本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.
9．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x
y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于
t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a
x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x
y t =- ，
因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
10．已知()2
ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据,,a b c 与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案. 【详解】
因为3
23e e <<，所以31ln 32
<<， 则3
ln3
22
3336,33ln 36,(ln 3)3a b c <=<=<=+>=<，
所以c a b <<.
故选：B 【点睛】
本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题.
11．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1
=m
i i x =∑
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22
m
m ⨯
=；当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯
+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么
函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+.
12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，
()21f x x =-，则（ ）
A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫
=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22
4log 3log 03f f ⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()133log 2log 20f f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即
()()20f x f x +-=，
即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，
因为当[]0,1x ∈时，()2
1f x x =-单调递减，
因为5110222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=--=-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
， 因为2
41
0log 132<<<，所以241log 32f f ⎛
⎫
⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
， 所以，123
14log 2log 23f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫>->- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.
13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
14．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
．
13
+ B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++
2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 3f x f π⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
15．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)
x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
【答案】C 【解析】
试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质
16．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，
不等式()2
21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．22t -≤≤
B ．11
22
t -
≤≤
C ．2t ≥或2t ≤-或0t =
D ．12
t ≥或12t ≤-或0t = 【答案】C
【解析】
【分析】 ()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成
立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2
121f t at -≤--即可. 【详解】
∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =，
∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，
又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()2
21f x t at ≤--成立， ∴()2
2111t at f --≥-=-， 即220t at -≥，
①0t =时，不等式成立；
②0t >时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥； ③0t <时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤- 故选：C.
【点睛】
本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.
17．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ）
A ．x -y ＝0
B ．x -y -2＝0
C ．x +y -2＝0
D ．3x -y -2＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
【详解】
当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
18．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]
()x a,b ,[f x ]m min ∈≥
19．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()cos sin x x '=
B ．()1ln 2x x '=
C ．()333log x x e '=
D ．()22x x x e xe '= 【答案】B
【解析】
分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =
⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25 【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知32lg 2lg 3
n ≥
⨯-，由此计算得到结果. 【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭
， 即324.0220.30100.4771
n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .
【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。