第4章 向量组的线性相关性 复习题

第4章 向量组的线性相关性 复习题
1、设.-23-)043()110()011(32121321v v v v v v v v T T T +===及，求，，，，，，，，
2、设，其中)(5)(2)(3321αααααα+=++-T T )105110()3152(21，，，，，，，==αα，
，，，，T )1114(3-=α求.α
3、已知向量组；，，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=103221033210:321αααA ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=314411202112:321βββ，，B ，证明B 组能由A 组线性表示，但A 组不能由B 组线性表示.
4、试问下列向量β能否由其余向量线性表示？若能，写出其线性表示式：
（1）；，，，，，T
T 2T 1)43()01()21(=-==βαα
（2）).121()08-2()201(T T 2T T 1-===，，，，，，，，βαα 5、设有向量.01111111112321⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λλβλαλαλα，，，试问当λ取何值时， （1）一？线性表示，且表达式唯，，可由321αααβ
（2）唯一？线性表示，但表达式不，，可由321αααβ
（3）线性表示？，，不能由321αααβ
6、设有向量，，，，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322-1312350114321ααααA 是三阶矩阵且有，21A αα= 32A αα=，43A αα=，试求.A 4α
7、问.111111321线性相关，，取何值时向量组⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a ααα 8、设向量组.)01k ()2-2k ()31k 6(32T 1T T ，，，，，，，
，==+=ααα （1）线性相关？线性无关？，为何值时，21ααk
（2）线性相关？线性无关？，，为何值时，321αααk
（3）.213321线性表示，由线性相关时，将，，当αααααα
9、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组
4321ββββ，，，线性相关.
10、设有两个向量组
；，，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1301-8a 523121321ααα⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2610113337513221βββ，，a a a ， 如果现性表示，，，可由3211αααβ试判断这两个向量组是否等价？并说明理由.
11、求下列向量组的秩，并求一个极大无关组.
（1）；，，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=8-24-2-41010094121321ααα （2）).7-431()6-5-1-4()3121(T
3T 2T 1，，，，，，，，，，，，--===ααα 12、设向量组⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1321213b 2134321αααα，，，a 的秩为2，求.b a 、 13、设向量组；，，，：；向量组，，：4321321B A ααααααα向量组
5321C αααα，，，：；若，，，，，，3)(r )(r 4321321==ααααααα
，，，，4)(r 5321=αααα试证明：向量组.445321的秩为，，，ααααα-
14、已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足，x A 3Ax x A 23-=且向量组x A Ax x 2
，，线性无关，（1）记，，，x )A Ax (x P 2=求3阶矩阵B ，使AP=PB.（2）求.A
15、求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系： （1）；⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x （2）.62421635113254321
43214321⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+x x x x x x x x x x x x －
16、设4元非齐次线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 的秩为2，已知它的3个解向量为1η，
2η，3η，其中⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=236215311234321ηηη，，，求该方程组的通解. 17、设３R 中的两组基为
.
14401200212101100132131T T T T T T ），，（，），，（，），，（）
，，（，），，（，），，（２-=-==-=-==ηηηξξξ
（1）求的过渡矩阵；，，到，，321321ηηηξξξ （2）已知向量分别在基，求向量），，（ααT 132-=
321321ηηηξξξ，，和，，下的坐标；
（3）求在这两组基下有相同坐标的非零向量.
18、设).t 31()321()111(321，，，，，，，，
===ααα 问：（1）当t 为何值时，向量组321ααα，，线性无关？
（2）当t 为何值时，向量组321ααα，，线性相关？
（3）当向量组321ααα，，线性相关时，将的和表为213ααα线性组合.
19、设有三维列向量
.01111111112321⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λλβλαλαλα，，， 问λ取何值时：
（1）一？线性表示，且表达式惟，，可由321αααβ
（2）惟一？线性表示，且表达式不，，可由321αααβ
（3）线性表示？，，不能由321αααβ
20、设向量组
.)p 106--2()2p 1-23()153--1()3111(432T 1T T T ，，，，，，，，，，，，，，，=+===αααα
（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量T )10614(，，，
=α用 4321αααα，，，线性表示.
（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个极大线性无关组.
21、已知向量组
与向量组，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01b 12a 1-10321βββ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7691033-21321ααα，，具有相同的秩，且.b a 3213的值，线性表示，求，，可由αααβ
参考答案：
1、.)210(23)101(32121T T v v v v v ，，，，，
=-+-=- 2、.)4321(T ，，，
=α 4、（1）；212ααβ-=（2）.21线性表示，不能由ααβ
5、（1）唯一地线性表示；，，可由时，且当32130αααβλλ-≠≠
（2）唯一；线性表示，但表达式不，，可由时，当3210αααβλ=
（3）.3321线性表示，，不能由时，当αααβλ-= 6、.257⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 7、.12321线性相关，，时，或当ααα-==a a
8、（1）.442121线性无关，时，线性相关；当，时，当αααα-≠-=k k
（2）线性相关；，，时，或当321234ααα=-=k k 线性无关．，，时，或当321234ααα≠-≠k k
（3）.411
311223213213线性表示，不能被时，；当时，当αααααα-=+==k k 10、不等价.
11、（1）秩为2，一组极大线性无关组为；，21αα（2）秩为2，极大线性无关组为.T
2T 1αα，
12、.52==b a ，
14、（1）；⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=210301000B （2）.0==B A
15、（1）；，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=011120138ξη （2）.20110719002121⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ξξη，，
16、).()(1221311ηηηηη-+-+=c c x
17、（1）；⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--100210112（2）()()；，，，，，112114---（3）()()为非零任意常数，，，k 011k T . 18、（1）当t .0D 5≠≠时，时；（2）当t=5,D=0时；
（3）当t=5时，.202213321αααααα+-==+-或
19、（1）；且30-≠≠λλ（2）；0=λ（3）.3-=λ
20、（1）p ≠2时，.2
p p 12p 43p 24321ααααα--++--+= （2）p=2时，秩为3，321ααα，，是它的一个极大线性无关组.
21、a=15，b=5.。