山东省泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案

试卷类型A
泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题
2021.07
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数2i (1i)+对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知向量(1,0)a =，(2,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
4π B ．3
π
C ．23π
D ．34π
3．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件A =“所取的3个球中至少有1个红球”，则事件A 的对立事件是（ ）
A ．1个白球2个红球
B ．3个都是白球
C ．2个白球1个红球
D ．至少有一个红球
4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin a B =，则A =（ ） A ．
6π B ．6π或56π C ．3π D ．3
π或23π
5．一个侧棱长为O A B C ''''，其中2O A ''=，则该直棱柱的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．某地区居民血型的分布为O 型49%，A 型19%，B 型25%，AB 型7%．已知同种血型的人可以互相输血，
O 型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不
能互相输血．现有一血型为A 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ） A ．19% B ．26% C ．68% D ．75%
7．泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60︒，在塔底C 处测得A 处的俯角为45︒．已知山岭高CD 为256米，则塔高BC 为（ ）
A ．1)米
B ．1)-米
C ．1)-米
D ．1)米
8．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）AB ，AC ，
AD ，且AB ，AC ，AD 两两夹角都为60︒，若BD = ）
A B C D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数()
2
1(1)i()z m m m m =-+++∈R ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0m =，则z 的共轭复数1z =-
B ．若复数2z =，则m =
C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±
D ．若0m =，则2
420z z ++=
10．2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为n 的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论一定成立的是（ ） A ．样本容量100n =
B ．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C ．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人
D ．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，那么估计该校全体学生本
次问卷测试成绩的平均分为84.8分 11．如图，已知l α
β=，,A C α∈，,B D β∈，且,,,A B C D l ∉，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中
点，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．当直线AC 与BD 相交时，交点一定在直线l 上
B ．当直线AB 与CD 异面时，MN 可能与l 平行
C ．当A ，B ，C ，
D 四点共面且AC //l 时，BD//l D ．当M ，N 两点重合时，直线AC 与l 不可能相交
12．平面内任意给定一点O 和两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量m 都可以唯一表示成1e ，2e 的线性组合：12(,)m xe ye x y =+∈R ，则把有序数组(,)x y 称为m 在仿射坐标系
{}1
2
;,O e e 下的坐标，记为(,)m x y =．在仿射坐标系{}1
2
;,O e e 下，()11,a x y =，()22
,b x y =为非零向量，
且a ，b 的夹角为θ，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．()1212,a b x x y y +=++
B ．若a b ⊥，则12120x x y y +=
C ．若a//b ，则
12210x y x y -= D ．cos θ=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为________． 14．写出一个虚数z ，使2
z 的实部为0，则z =________．
15．已知点(2,1)A --，(3,4)B ，(1,1)C -，(3,3)D ，与AB 同向的单位向量为e ，则向量CD 在向量AB 方向上的投影向量为________．
16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理
（1）计算图中线段BD 的长度； （2）求DAB ∠的余弦值．
18．（12分）已知复数2(03)z ai a =+<<，且z 是关于x 的方程2450x x -+=的一个根．
（1）求z 及
z
z
； （2）若复数0z 满足01||z z ≤≤，则在复平面内0z 对应的点0Z 的集合是什么图形？并求出该图形的面积． 19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点．
（1）求证：EF //平面PAB ；
（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，求证：平面PEF ⊥平面PBC ． 20．（12分）已知向量(3,1)a =-，(1,)()b λλ=∈R ． （1）若a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；
（2）已知AB ma b =+，AC a mb =+，其中A ，B ，C 是坐标平面内不同的三点，且A ，B ，C 三点共线，当m λ=时，求m 的值．
21．（12分）某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取了n 名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)的顾客为40人．
（1）求n的值及频率分布直方图中t的频率值；
（2）据以往数据统计，调查评分在[60,70)的顾客购买该公司新品的概率为1
4
，调查评分在[70,80)的顾客
购买该公司新品的概率为1
3
，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的
顾客中，按照调查评分分层抽取3人．试问在已抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整．根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（注：每组数据以区间的中点值代替）
22．（12分）如图，点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，2
AB BF DE
==，M是线段EF上一点，且2
MF ME
=．
（1）证明：三棱锥M ACF
-是正三棱锥；
（2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点N，使得CN//平面ABF．若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准
2021.07一、选择题：
二、选择题：
三、填空题：
13．94 14．1i -或1i +（答案不唯一，凡符合i a a +或i a a -（a ∈R 且0a ≠）形式的均正确）
15．2e 163分）2分） 四、解答题：
17．（10分）解：（1）在BCD ，1BC CD ==，32
4
4
BCD π
π
π
∠=+
=
2分 由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠
221121122⎛=+-⨯⨯⨯-=+ ⎝⎭
4分
∴BD =
5分
（2）在ABD 中，1AB =，AD =，BD =
由余弦定理得222
cos 2AB AD BD DAB AB AD +-∠=⋅ 7分
6==，
∴cos DAB ∠=
10分 18．（12分）解：（1）∵z 是关于x 的方程2
450x x -+=的一个根，
∴2(2i)4(2i)50a a +-++=，即2
10a -=． 2分
解得1a =．
∴2i z =+． 4分
∴22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55
z z --===-++-． 6分
（2）复数0z 满足01||z z ≤≤，即01z ≤≤ 7分
∴点0Z 的集合是以原点为圆心，1 10分
该图形的面积22
14S ππ⎡⎤=-=⎣⎦
． 12分
19．（12分）证明：（1）∵在ABC 中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴EF //AB ． 2分
又EF ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF //平面PAB ． 4分
（2）在PAC 中，PA PC =，E 为AC 的中点， ∴PE AC ⊥． 6分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，
∴PE ⊥平面ABC ， 8分 又BC ⊂平面ABC ． ∴PE BC ⊥．
又EF //AB ，90ABC ∠=︒， ∴EF BC ⊥． 10分 又EF
PE E =，,EF PE ⊂平面PEF ．
∴BC ⊥平面PEF ． 又BC ⊂平面PBC
∴平面PEF ⊥平面PBC ． 12分
20．（12分）解：（1）3a b λ⋅=-，a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>，即
0λ->，解得
λ< 2分
当a//b 1=-，即3
λ=． 3分
此时，31,1)333b ⎛=-=-= ⎝⎭
，a 与b 的夹角为0，也满足0a b ⋅>，但不满足题意．所以
λ≠． 4分
综上，λ<3
λ≠-
． 5分
（2）由题知，(3,)(1,)1,)AB ma b m m m λλ=+=-+=+-，
(3,1)(,),1)AC a mb m m m m λλ=+=-+=- 7分
∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB//AC ，
∴1)(1))()m m m λλ+-=+-．
当m λ=10+=或2
10m -=． 9分
10+=时，0AB =，点A 与点B 重合，与题意矛盾； 当210m -=时，1m =或1m =-．
若1m =，AB AC =，点B 与点C 重合，与题意矛盾； 11分 若1m =-，AB AC =-，满足题意． 综上，1m =-． 12分
21．（12分）解：（1）由频率分布直方图得，评分在[70,80)的频率为0.020100.2⨯=， ∴40
2000.2
n =
=． 又(0.0060.0100.0200.0249)101t t +++++⨯=，解得0.004t =． 2分
（2）由频率分布直方图可知，评分在[60,70)的频率为0.010100.1⨯=，评分在[70,80)的频率为
0.020100.2⨯=，则评分在[60,70)的人数与评分在[70,80)的人数之比为1:2． 4分
所以按照调查评分分层抽取3人中，评分在[60,70)有1人，评分在[70,80)有2人，
所以这3人中，没有一人购买该公司新品的概率为1111
1114333
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 6分 所以至少有一人购买该公司新品的概率为12
133
-
=． 8分 （3）由频率分布直方图可知，所选样本满意度评分的均值为
450.04550.06650.10750.20850.36950.2480⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 10分
因为顾客满意度评分的均值不低于80分，以该公司不需要对旗下产品进行调整． 12分 22．（12分）解：（1）证明：设22AB BF DE a ===，
则AF FC AC === ∴AFC 是正三角形．
连接FO ，EO ，因为OD OB ==，
∴OE =，OF =
，3EF a =．
在OEF 中，由222
OE OF EF +=知，OE OF ⊥． 2分
又DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥． ∵AC BD ⊥，BD DE D =，
∴AC ⊥平面DOE ，
∴AC OE ⊥．
又,AC OF ⊂平面ACF ，AC OF O =，
∴OE ⊥平面ACF ． 4分
在线段OF 上取点G ，使得:1:2OG GF =，则点G 是AFC 的重心，也就是AFC 的中心． 连接MG ，则MG//OE ， ∴MG ⊥平面ACF ，
∴三棱锥M ACF -是正三棱锥． 6分
（2）∵平面CDF 与平面ABF 有公共点F ，
由基本事实3可知：平面CDF 与平面ABF 是相交平面． 8分 ∵CD//AB ，CD ⊂/平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴CD//平面ABF ．
假设存在这样的点N ，使得CN //平面ABF ． ∵点N 与点D 不重合，
∴CD 与CN 是相交直线． 10分
又CD//平面ABF ，CN //平面ABF ，且CD ⊂平面CDF ，CN ⊂平面CDF ， ∴平面CDF //平面ABF ．
这与平面CDF 和平面ABF 是相交平面矛盾．
∴不存在一点N ，使得CN //平面ABF ． 12分。