基于横观各向同性假定的固定结合部本构关系及有限元模型

所以微体在z 方向的弹性模量
示的虚拟弹性体(与图 １a中微体等效、均一的横观
(
３)
Ez ＝
１．
３ 泊松比 μxy
Ed
z
d
z ＋cEσzm－１
(
１０)
泊松比μxy 反映了x 方向法向应变εx 与y 方
向法向应变εy 之间的耦合关系.本文认为μxy 与
(
a)微体 (
b)虚拟弹性体
图 １ 包含接触层的微体和等效的虚拟弹性体
i
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u
t
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aw
ywo
０ 引言
元的附属面积,但是在机械结构的固定连接面中,
结合面对结构的静态和动态特性有显著的影
响.通常认为机床中有 ３０％ ~５０％ 的 刚 度、
９０％
的阻尼来自于结合面 [１].机械结合面的建模是机
械结构整机性能分析的关键
.
[
２

５]
在基于 有 限 元 法 的 机 械 结 构 整 机 性 能 分 析
１/Ez
１/Gxz
０
ε
′
E
z ＝σz/
＝
éê A ０３×３ ùú
T
(
２)
êë０
ú [σx σy σz τxy τyz τzx ]
B û
３×３
ú
û
０
ù
ú
０ ú
ú
１/Gxz û
式 中,
Ex 、
Ey 、
Ez 分别为x 、
z 方向上的弹性模量;
y、
μij 为
单独在j 方向作用正应力σj 而无其他应力分量时,
式的本构关系中,有 ３ 个对角 元 素 等 于 ０,这 使 得
矩阵是奇 异 的. 材 料 力 学 中,材 料 本 构 矩 阵 的 对
角元素必 须 大 于 零 [１４],因 此 式(
１)的 本 构 关 系 并
不能直接用 于 结 合 面 的 建 模. 此 外,接 近 于 ０ 的
厚度在结合面几何建模时也很难操作.
z
或基体 的 材 料. 如 果 两 个 接 触 表 面 的 材 料 相 同,
应变ε
′
z为
[εx εy εz γxy γyz γzx ]
T
éê １/Ex
A ＝ ê－μxy/Ex
ê
ë－μxz/Ez
－μxy/Ex
１/Ex
－μxz/Ez
(
)
０
é２ １＋μxy /Ex
ê
B＝ ê
êë
０
０
－μxz/Ez ù
ú
－μxz/Ez ú
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ξ,
(
２６)
B ＝ B(
ξi ,
ηj ,
ζk ) J ＝ J(
(
１１)
１．
４ 泊松比 μxz
泊 松比μxz 反映了x 方向的法向应变εx 与z
方向的法 向 应 变εz 之 间 的 耦 合 关 系. 当 法 向 载
荷σz 施加在微体z 方向时,在z 方向产生应变εz ,
在 x 方向产生应变εx ,反之亦然.类似于弹性模
量 Ez 的确定,微体的法向应变εz 可以分为两部
图 １a所示的包含接触界面的矩形微体中,接
(
４)
由于无 法 确 定 准 确 的 接 触 层 厚 度,所 以 接 触
层的应 变ε
″z 也 无 法 计 算. 本 文 按 下 式 定 义 接 触
层的应变:
ε
″
d
z
z ＝λn/
(
５)
其中,
λn 为接触层在法向 载 荷σz 下 的 法 向 变 形,
λn σz 的关系可以通过试验或者理论分析获得.
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当微体表面施加z 方向的法向载荷σz 时,产
１００８
εx
μxz ＝ε
′
″
z＋ε
z
ε
′
ε
′
σz/E
x ＝μ
z ＝μ
应变ε
′
z 与应力σz 之间的关系是
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(
１２)
(
１３)
基于横观各向同性假定的固定结合部本构关系及有限元模型 赵金娟 王世军 杨 超等
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分,即不包含接触层的微体的法向应变ε
′
z和接触
之间 的 关 系.σx 与εx 仍 然 保 持 等于基体材料的弹性模量 E .
不包含接触层的微体中,
ε
′
′
x 与ε
z 有如下关系:
力 应变关系.图 １b 中,虚 拟 弹 性 体 的 弹 性 模 量
１．
２ 弹性模量 Ez
基 金 项 目:国 家 重 点 基 础 研 究 计 划 (
９７３ 计 划 )资 助 项 目
(
２００９CB７２４４０６);陕西省科技厅科技 统 筹 创 新 工 程 重 点 实 验 室
资助项目(
２０１４SZS１０
P０５)
节点的六面体实体单元模拟.接触层的实体单元
可以在有限元软件 中 自 动 生 成,不 需 要 计 算 单 元
１．
１ 弹性模量 Ex
图１a中,在微体表面施加x 方向的法向载荷
σx ,x 方向产生应变εx .微体的厚度比接触层的
真实厚度大很多,可以认为图 １a中包含结合面的
微体的应变εx 等于图 １b 中不包含结合面的微体
的应变εx ,接触层的存在与否,并不影响σx 与εx
基体材料的泊松比 μ 相同:
μxy ＝ μ
(
１９)
γ
″
d
z
xz ＝λxz/
(
２０)
其中,
λxz 是接触层在x 方向的剪切变形.类似于接
触层的法向变形λn,
λxz 也能够从结合面试验获得:
λxz ＝ατσzττxz
β
(
２１)
其中,
ατ 、
βτ 都是与法向载荷σz 相关的系数,与式
(
７)中的c 和 m 类似.根据式(
１８)~ 式(
２１),可
以得到
ε
′
σz
z＝E
接触层的应变ε
″
５)、式(
７)相同:
z 与式(
(
１４)
ε
″
d
z ＝c
σzm/d
z
z ＝λn/
(
１５)
z
μd
Ed
z ＋cEσzm－１
(
１６)
这样,虚拟材料的泊松比
μxz ＝
２
１．
５ 剪切模量 Gxz
Gxz 是虚拟弹性体在oxz 平面内的剪切模量.
图 １ 中 的 微 体 被 假 定 是 横 观 各 向 同 性 的,微 体 在
i 方向
应变与j 方 向 应 变 之 比 的 负 值,即 泊 松 比,
i,j ＝ x ,y,
z;Gxy 、
Gyz 为Gxz 剪切模量,下标的第一个字母表示法线
方向,第二个字母表示剪切变形的方向.
式(
２)是一个包含独立参数 Ex 、
Ez 、
μxy 、
μxz
和 Gxz 的横观各向同性材料的本构方程.
的附属面积,同时 实 体 单 元 也 能 很 好 地 反 映 结 合
面相邻区域的相互作用.
１００７
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中国机械工程第 ２７ 卷第 ８ 期 ２０１６ 年 ４ 月下半月
１ 虚拟材 料 的 本 构 关 系 和 接 触 单 元 的 刚
性材料.根据结合面的变形和载荷关系,推导了虚拟材料本构矩阵中 ５ 个 独 立 变 量 与 法 向 应 力 之 间 的
非线性关系.将这个本构关系引入到有限元分析中用以建立机器的固定联接面模型.分析结果与试验
结果的对比证实了该方法的有效性.
关键词:固定连接;虚拟材料;有限元;本构关系
中图分类号:
TH１２３
琐.此外,这种单元相互之间没有耦合关系,不能
反映结合面相邻区域之间的影响.
地质力学中,如 果 岩 石 的 节 理 和 结 构 之 间 的
接触层的厚度并 不 确 定,很 难 利 用 这 种 单 元 建 立
机械结合面模型 [７１２].
文献[
１３]给出了一种利用薄层单元建立结合
面模型的 方 法,文 中 假 定 薄 层 单 元 的 厚 度 接 近 于
０,结合面被看作一种虚拟的正交各向异性材料并且
给出了这种虚拟材料的正交各向异性的本构矩阵:
[
σxxσyyσzzσxyσyzσzx ]T ＝
d
i
ag(
０,
０,
E３３ ,
０,
G,
G)[
εxxεyyεzzεxyεyzεzx ]T
(
１)
这里的 E３３ 是虚拟材料沿结合面法线方向的弹性
模量,
G 是 虚 拟 材 料 的 剪 切 模 量. 在 这 个 对 角 形
因此,接触层的应变ε
″
z 可用写成下面的形式:
在施加法向载荷σz 后,微体将产生如下的法
触层平行于oxy 平面.假定微体的厚度 d
z 远大于
接触层 的 厚 度,外 表 面 受 到 均 布 的 法 向 和 切 向 载
向应变:
荷.根据微体的应变 应力关系,可以求得图 １b 所
由于
各向同性的虚拟弹性体)的 ５ 个独立参数.
DOI:
１０．
３９６９/
．
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１００４

１３２X．
２０１６．
０８．
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根据这个定义,接触层的应变与微体的厚度 d
z相
关.随着微体厚度的变化,接触层的 应 变ε
″
z也随
着改变.试验研究已经显示接触层的法向变形是
法向载荷的幂函数 [１５１６]:
λn ＝c
σzm
(
６)
ε
″
σzm/d
z
z ＝c
(
７)
εz ＝σz/E ＋c
σzm/d
z
(
８)
σz ＝ Ezεz
(
９)
其中,
c 和 m 是系数,可通过拟合试验数据确定.
度矩阵
生的应变εz 由两部分构成,即不包含接触层的微
体的应变ε
′
″
z 和接触层的应变ε
z:
如果材料在 平 行 于 名 义 接 触 平 面 oxy 的 方