SXA169高考数学必修_函数的值域与最值

函数的值域与最值
函数的值域和最值是密切相关的两个重要概念。

值域即函数值的集合。

函数的最大值或最小值分别为值域中最大的或最小的数值。

因而有两点值得注意：
（1）函数的值域中未必有最大的数或最小的数，因而虽然所有函数均有值域，但并非每个函数具有最值。

（2）可以通过求函数的值域讨论函数的最大值或最小值，但不能通过求函数的最大值或最小值求函数的值域。

下面总结求函数值域（最值）的常见方法：
（1）利用基本函数求值域：适用于当函数结构不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。

（2）反函数法：如所求值域的函数有反函数，用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。

但此种方法在理论上是有问题的，因为求反函数同样要面临求原函数的值域，即反函数的定义域，此种方法有缺陷。

（3）换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围。

练习：①2
2sin 3cos 1y x x =--的值域 （答案：17[4,]8
-）；
②21y x =++的值域为 （答案：(3,)+∞）t =，0t ≥。

）
③sin cos sin cos y x x x x =++的值域为 （答案：1[1,2-+）；
④4y x =+ （答案：4]）；
（4）配方法：二次函数或形如()()c x bf x af y ++=2类的函数。

二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

（5）不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项
和两边平方等技巧，要注意满足条件才能用，如利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值需满足“一正二定三相等”。

（6）导数法：适用于在定义域上可导函数，作为高中数学而言这几乎是一种通过法（含有绝对值的函数一般不能用。

（7）判别式法：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①2
b y k x =
+型，可直接用不等式性质。

练习：求232y x =+的值域 （答案：3(0,]2
） ②2bx y x mx n
=++型，先化简，再用均值不等式。

练习：（1）求21x y x =+的值域 （答案：1(,]2
-∞）
（2）求函数3y x =+的值域 （答案：1[0,]2）
③22x m x n y x mx n
''++=++型，通常用判别式法。

练习：已知函数2328log 1
mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答案：5m n ==） ④2x m x n y mx n
''++=+型，可用判别式法或均值不等式法。

练习：求211
x x y x ++=+的值域 （答案：(,3][1,)-∞-+∞） （8）单调性法：利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如函数在所给区间上是单调的，则最值分别在两个端点处取到。

练习：①求1(19)y x x x =-<<的值域 （答案：80(0,)9
） ②求229sin 1y x =+的值域 （答案：11[,9]2
）
③求52log x y -=+ （答案：[2,10] ）；
（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等。

练习：①已知点(,)P x y 在圆22
1x y +=上，求2
y x +及2y x -的取值范围
（答案：[33-、[）
②求函数y = （答案：[10,)+∞）
③求函数y =及y
的值域 （答案：)+∞、(）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

（10）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，一般所给函数中有三解函数、指数函数时，常用这种方法。

练习：①求函数2sin 11sin y θθ-=+的值域 （答案：1(,]2
-∞ ） ②求函数313x
x
y =+的值域 （答案：（0,1） ） ③求函数2sin 11cos y θθ-=+的值域 （答案：3(,]2
-∞ ）；。