北京市西城区重点中学2017-2018学年度第二学期高二数学期末复习建议及有关例题含答案

高二数学期末复习建议及有关例题
✧学生现状: 分层走班, 缺少考试, 时间紧迫, 抓大放小（A,B 各有侧重）✧
年级统一复习提纲-----把握考试基本方向
一、关注基本问题，强调习惯养成
例1．设函数
则______；设，且，，则24,4
1,
()log ,04,x f x x
x x ⎧+⎪=⎨⎪<<⎩≥(8)f =a b ≠()()f a f b c ==()0f b '<的大小关系是______.
,,a b c 参考答案：.
b a
c >>例2. 研究函数
可知 .
()(21)x
f x e x =- 无极大值，有最大值○
1()f x
有极小值，但无最小值○
2()f x 使有一个根的b 的范围是b >0○
3()f x b = 使有两个根的b 的范围是
○
4()f x b
=0b << 参考答案: .○
4例3. .32
11()(1)1(0)32
f x x ax a x a =
-+-+>（1）求单调区间；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围；()f x R a （3）若在 上单调递减，求 的取值范围；()f x (1,4)a （4））若的减区间为，求 的取值范围；
()f x (1,4)a （5）若在上单调递增，在 上单调递减，求 的取值范围；()f x (1,4)(4,)+∞a （6）若在上单调递减，在 上单调递增，求 的取值范围；
()f x (1,4)(6,)+∞a
（7）若 存在单调减区间，求 的取值范围；()f x a
（8）若在上不单调，求 的取值范围.
()f x (1,4)a 参考答案：（1）略；（2） ；（3）； （4）；2a =5a ≥5a =（5）；（6）；（7）；（8）.
5a =57a ≤≤0,2a a >≠25a <<例4. 已知函数，.x x
a
x x f ln )(++
=a ∈R （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
()f x 1x =a （Ⅱ）若在区间上单调递增, 求的取值范围；)(x f )2,1(a （Ⅲ）讨论函数的零点个数.
x x f x g -'=)()(
参考答案：（Ⅰ）2a =；（Ⅱ） 2≤a ；（Ⅲ）当1>a 时，函数)(x g 无零点，
当1=a 或0≤a 时，)(x g 有一个零点， 当10<<a 时，)(x g 有两个零点.
例5. 已知函数 . 211
()ln (,0)22
f x x a x a a =
--∈≠R （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；2a =()y f x =(1,(1))f （Ⅱ）求函数的单调区间；
()f x （Ⅲ）若对任意的，都有成立，求a 的取值范围.
[1,)x ∈+∞()0f x ≥参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）.
1,0a a ≤≠例6. 已知函数 ．()ln (1)f x m x m x =+-()m ∈R （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；2m =()y f x =(1,(1))f （Ⅱ）讨论的单调性；
()f x
（III ）若存在最大值，且，求的取值范围．
()f x M 0M >m 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）.e
(
,1)e 1
m ∈+例7. 已知数列满足，，.
{}n a 11a =111--+=
++n n a a n n *n ∈N （Ⅰ）求；
234,,a a a （Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
{}n a
例8. 在数列中，，
，其中.
{}n a 11=a 12
1++=
+n n a n n a 1,2,3,n =
(Ⅰ) 计算，，，的值；
2a 3a 4a 5a (Ⅱ) 根据计算结果，猜想
的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
{}n a 二、注重本质, 加强理解
例9.（2012年北京）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和
其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
1000“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中a b c ，，
，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求
0a >600a b c ++=a b c ，，2s a b c ，，此时的值．
2s （注：，其中为数据的平均数）
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++- x 12,,,n x x x 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）当，时，取得最大值．此时．
600a =0b c ==2s 280000s =例10.（2013北京）下图是某市月日至日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于表示空气质3114100量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．某人随机选择月日至月日中的某一天到达该20031313市，并停留天．
2
2
4
8各
分
数
段
人数（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；X X （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
35例11.（2015年北京）两组各有位病人．他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A ,
B 7组：，，，，，，；A 10111213141516组：，，，，，，．
B 121315161714a 假设所有病人的康复时间相互独立．从两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人A ,B 1A B 记为乙． （Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；
14 （Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
25a =
（Ⅲ）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
a A ,B 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）或．
11a =18a =例12.（2016.4西城）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动
情况，现从体育成绩在和的样本
[60,70)[80,90)学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
[60,70)（Ⅲ）（理）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三a b c ，，
[70,80)[80,90)[90,100]组中，其中．当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）a b c ∈N ，，
a b c ，，2s a b c ，，（Ⅲ）（文）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三a b c ，，
[70,80)[80,90)[90,100]
组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值.（结论不要求证a b c ∈N ，，
a b c ，，2s a b c ，，参考答案：（Ⅲ）（理）, , 的值分别是为, , ；或, , .
a b c 798490798590（Ⅲ）（文） a ，b ，c 的值分别是为，，.
7080100三、关注最新考试动向
例13. 设，(1)
()ln t x f x e
t x -=-(0)t > （Ⅰ）若，请判断是否为函数的极小值点，是给以证明，不是请说明理由；1t =1x =()f x （Ⅱ）求证：的图像不可能在轴的下方.
()y f x =x 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略.
例14. 已知函数，．
()()e x a
f x x x
=+a ∈R （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =(1,(1))f （Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；
1a =-()f x (0,)+∞ （Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．()f x (0,1)a 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略.
（Ⅲ）求导. 322
()e ()x
x x ax a
f x x
++-'=
设，.
()h x =32x x ax a ++-2
()32h x x x a '=++（1）当时，在上恒成立， 即函数在上为增函数.
0a >()0h x '>(0,)+∞()h x (0,)+∞而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且
(0)0h a =-<(1)20h =>()h x ()0,10x 0()0f x '=在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;0(0,)x ()0f x ¢
<()0,1x ()0f x ¢>0x ()f x ()0,1（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此
0a =x Î
()0,12()320h x x x '=+>()h x ()0,1时，所以函数在区间恒成立，即，(0)0h =()0h x >()0,1()0f x ¢
>故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；()f x ()0,1()f x ()0,1（3）当时，.
0a <()h x =3
2
3
2
(1)x x ax a x x a x ++-=++-当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，
()0,1x ∈()0h x >()0f x '>()f x ()0,1
所以在区间上无极值.()f x ()0,1综上所述.
0a >例15.（2016.5西城文）已知函数．
2()()x a f x x a -=
+
（Ⅰ）若，求a 的值；
()1f a '
=（Ⅱ）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a 的取值范围.
0a ≤1x 2x 21()()f x f x <参考答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）.
1
2a =±
{0}a ∈例16. 已知函数
，其中k 为常数, 曲线在处的切线与x 轴平行.
ln ()e x x k
f x +=
()y f x =1x =（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求单调区间.
()f x 参考答案：（Ⅰ）略；（Ⅱ）略.
例17.(2018西城一模)已知函数，其中．1
()e (ln )x
f x a x x
=⋅+
+a ∈R （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；()y f x =1x =e
x
y =-a （Ⅱ）当时，证明：存在极小值．
(0,ln 2)a ∈()f x 答案: （Ⅰ）0；（Ⅱ）略.。