高中数学人教A版选修2-1第二学期期末.docx

广州市六中2011-2012学年度第二学期期末
高二理科数学试题
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的班级、姓名、考号涂写在答题卡上。

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

4. 第Ⅱ卷必须在答题卡按题号标记位置处作答。

参考公式：线性回归直线：bx a y
+=ˆ。

其中2
1
21
1
2
1
)()
)((x
n x
y
x n y
x x x
y y x x
b n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
--=
---=
∑∑∑∑====，x b y a -=
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数2
(1)(,)a bi i a b +=+∈R ,则a bi -=（ ） A ． 2i B ．2i - C ．22i + D ．22i - 2. 曲线3
11y x
=
+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )
A ．-9
B ．-3
C ．9
D ．15
3. 上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个场馆工作，要求每个场馆至少一人，
则不同的分配方案有（ ）
A.36
B.30
C.24
D.42
4. 已知离散型随机变量X 服从二项分布),(~p n B X 且3,2E D ξξ==，则n 与p 的值分别为
（ ） A 、32
,
9 B 、31
,9 C 、32
,12 D 、3
1,12 5. 已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (2
1
=
r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）。

A.R s s s s V )(2
1
4321+++= B.
R s s s s V )(314321+++= C.R s s s s V )(4
1
4321+++= D.R s s s s V
)(4321+++=
6. 已知6
()(2)f x ax =+，()f x '是()f x 的导数，若()f x '的展开式中x 的系数大于()f x 的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )： A ．25a >
或0a < B ．205a << C ．25a > D ．5
2
a >或0a < 7. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为
b ，不得分的概率为
c （,,(0,1)a b c ∈），已知他投篮一次得分的期望为2，则
21
3a b
+的最小值为（ ）．K*s#5u A ．323 B ． 28
3 C ． 143
D ． 163
8. 已知R 上的连续函数)(x g 满足：①当0>x 时，0)(/
>x g 恒成立；②对任意的R x ∈都有
)()(x g x g -=。

又函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)()3(x f x f -=+成立，当]
3,0[∈x 时，x x x f 3)(3
-=。

若关于x 的不等式)2()]([2
+-≤a a g x f g 对任意实数x 恒成立，则a 的取
值范围( )
A. 10≤≤a
B. 10≥≤a a 或
C. 11≤≤-a
D. R a ∈
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．．
是 . C 3H 8
C 2H 6
CH 4
H
H H H
H H
H
H H
H
H H
H
H
C C C C C H
H H
H C
10. 已知
⎰-+=-+1
1,6a 2dx )b a 3x cos x (且dx )b a 5ax x ()t (f t
03-++=⎰ 为偶函数，则a b +=
11. 已知x 、y 的取值如下表所示
x
0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95y
x a =+，则a = 12.已知{}
(,)10,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}
(,)5,0,0A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随
机投10个点，记落入区域A 的点数为ξ，则E ξ= ．
13. 若不等式a
a x x 4
|3||1|+
≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上
的射影为D ．2=AD ，52=AC ，则=AB ．
15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，
则曲线C 上的点到直线t t y t
x (21⎩
⎨
⎧=+-=为参数）的距离的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1
10
和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49
50
，求p 的值； C A
B
D O
（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。

17. (本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，114,32(2)n n a a a n -==-≥． （1）求证：数列}1{-n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明：1
1
1
2
n
i i
a
=<
∑．)(+∈N n
18．(本小题满分14分)第七届城市运动会2011年10月16日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运动会组委会在某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”， 身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“ 非高个子 ”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（I ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（II ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望。

19．(本小题满分14分)设等差数列}{n a 的首项a a =1，公差d ＝2，前n 项和为n S ， (Ⅰ) 若421,,S S S 成等比数列，求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明：∀+
∈N n ,21,,++n n n S S S 不构成等比数列．
20．(本小题满分14分)已知函数2
1()
3(1)l n 2
f x x x a x =-+-，()
g x ax =，
()()()3h x f x g x x =-+，其中a ∈R 且1a >.
（1）求函数()f x 的导函数()f x '的最小值； （2）当3a =时，求函数()h x 的单调区间及极值； （3）若对任意的1212,(0,), x x x x ∈+∞≠，函数()h x 满足
1212
()()
1h x h x x x ->--，求实数a 的取值范围.
21. (本小题满分14分)设函数221
()log (1)log x f x x x x
-=--(1)x >. （I ）求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若,m t +
∈R ，且
11
1m t
+=，求证：22log log t m m t mt +≤； （Ⅲ）若1232,,,...,a a a a +∈R n ，且
12321111...1a a a a ++++=n
， 求证：
2212223
21232log log log log ...a a a a n a a a a ++++≤n n
.K*s#5u
广州市六中2011-2012学年度第二学期第期末考试
高二理科数学试题参考答案
1. B
2.C
3.A
4.B
5. B
6.A
7. D
8. B
9.C 4H 10 10. -6 11. 6.2=a 12.2
5 13.}2{)0,( -∞ 14.10 15.455
5+
16（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1-P （C ）=1-
101P=50
49 ，解得P=
5
1
…………4 分 （2）由题意，ξ可取0,1,2,3，；P （ξ=0）=1000110130
3
=）（C ，P （ξ=1）=1000
2710111012
13=-）（）（C P （ξ=2）=1000243101110122
3
=-）（）（C ，P （ξ=3）=1000
729101110130
33=-）（）（C ……………12分 所以，随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
0 1 2 3
P
10001 100027 1000243 1000729
………………
……10分
故随机变量X 的数学期望为： E ξ=010
2710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯
……………12分.
17.解：（1）231-=-n n a a )2(≥n
可化为)1(311-=--n n a a ， 即
31
1
=--n n a a …………………3分 }1{-∴n a 是以3为首项，3为公比的等比数列
1331-⋅=-n n a ∴13+=n
n a …………………5分
（2）
∑-++++++=n
i n i
a 121311311311 ……K*s#5u ………6分
n 31
31312+++< …………………9分 21))31(1(213
11)
)31(1(3
1<-=--=n n …………………12分
18.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………1分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是6
1
305=， ……2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯
人，“非高个子”有36
1
18=⨯人．…………………3分 用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示
“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-125
2
3C C 107
1031=-=．……………………5分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
10
7
． 6分 （２）依题意，X 的取值为0,1,2,3．根据茎叶图可知男的高个子有8人，女的有4人；8分
5514C C )0(31238===ξP ， 5528
C C C )1(3122
814===ξP 55
12C C C )2(3121824=
==ξP ， 55
1
C C )3(31234=
==ξP ． …12分 因此，ξ的分布列如下：
155
13551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξ∴E ． ……14分
19.(Ⅰ)解：因为)1(-+=n n na S n ，a S =1，124,2242+=+=a S a S …………………3分
ξ
1
2 3
p
55
14 55
28 55
12 55
1
．由于若421,,S S S 成等比数列；因此412
2S S S ⋅=，即得12,1-==n a a n ． …………………6分 (Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个+
∈N m ,21,,++m m m S S S 构成等比数列，
即2
12m m m S S S ++=⋅．…………………7分
因此有)1)(2()1()])(1[(2
+++⋅-+=++m a m m a m m a m ，化简得
0)1(22=+++m m ma a ………9分
要使数列}{n a 的首项a a =1存在，上式中的Δ≥0．然而…………………10分
Δ＝(2m )2－8m (m ＋1)＝－4m (2＋m )＜0，矛盾．…………………13分
所以，对∀+
∈N n ,21,,++n n n S S S 不构成等比数列…………………14分
20.解：（I ）11
()33a a f x x x x x
--'=-+=+-，其中0x >.…………………1分 因为1a >，所以10a ->，又0x >，所以1
3213a x a x
-+---≥，…………………2分
当且仅当1x a =
-时取等号，其最小值为213a --.…………………3分
（II ）当3a =时，21()2ln 32h x x x x =+-，2(1)(2)
()3x x h x x x x
--'=+-=
.…K*s#5u ………5分
,(),()x h x h x '的变化如下表：
x
(0, 1)
1
(1, 2)
2
(2, +)∞
()h x ' + 0
-
+
()h x
↑
5
2-
↓
2ln 24- ↑
…………………
6分
所以，函数()h x 的单调增区间是(0, 1)，(2, +)∞；单调减区间是(1, 2).…………………7分 函数()h x 在1x =处取得极大值5
2
-
，在2x =处取得极小值2ln 24-.…………………7分
（III ）由题意，2
1()(1)ln (1)2
h x x a x ax a =+-->. 不妨设12x x <，则由1212
()()
1h x h x x x ->--得1122()()h x x h x x +<+.…………………8分
令2
1()()(1)ln 2
F x h x x x a x ax x =+=
+--+，则函数()F x 在(0,)+∞单调递增. …………9分 21(1)1
()(1)0a x a x a F x x a x x
---+-'=--+=≥在(0,)+∞恒成立. …………10分
即2
()(1)1
0G x x a x a =--+-≥在(0,)+∞恒成立.因为1
(0)10, 02
a G a -=->>，…………12分 因此，只需2
(1)4(1)0a a ∆=---≤.解得15a <≤.
故所求实数a 的取值范围为15a <≤. …………………14分
21.解：（I ）221
()log (1)log x f x x x x
-=
--， '22222211111()log (1)log log log (1)1x f x x e e x x x x x x
-=
-+-=--…………………1分 令'
()0f x ≥，得2x ≥，所以()f x 在(1,2]递减，在[2,)+∞递增. …………………2分 所以min ()(2)1f x f ==-.…………………3分 （Ⅱ）
2
22222
1
log log log log log 11(1)log (1)
m t m m t m t m
t m m m
+=-=---{}
2221
log (1)log (1)log m m m m m
⎡⎤=
----⎣⎦ 222211log (1)log (1)log (1)log m m m m m m m m -⎡⎤⎡⎤=
---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦
m …………………5分 由（I ）知当1>x 时，221
log (1)log 1x x x x
---≥-，又111m t +=，,m t +∈R ，
∴
1
m >∴
2222221log log log (1)log 11log log m m t
m m t m m t mt m m t
---≥-⇒+≤⇒+≤.……………7分
（Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当1n =时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；K*s#5u 2°假设n k =(k *∈N )时不等式成立， 即若1232,,,...,a a a a +
∈R k ，且
12321111...1k
a a a a ++++=时， 不等式
2212223
21232log log log log ...a a a a k a a a a ++++≤k k
成立…………………8分 现需证当1n k =+(k *∈N )时不等式也成立，
即证：若11232,,,...,a a a a ++
∈R k ，且
1
12321111...1a a a a +++++=k 时，不等式 2111
2222122
2222212221222log log log log log log ......1a a k a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k a
a a a a a a a 成立. ……………9分
证明如下：设
12321111
...k x a a a a ++++=，x a a a k k
k
-=++++++11 (111)
2
2212 则
12321111...1xa xa xa xa ++++=k
()()()()222122231232log log log log ...⇒++++≤k k
xa xa xa xa k xa xa xa xa
2
222312
212321111log log log log ...⇒++++≥-k k
xa xa xa xa kx a a a a
2
2212
2221212322111log log log 1111...(...)log log k ⇒+++≥-+++++=-+k k k
a a a x x kx x x a a a a a a a ......①
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水
同理
1
1
1
2
2
2
21
22
22212222122
2111log log log 111...(1)(
...)log (1)++++++++++
++
≥--++++
-k k k k k k k k k a a a k x x a a a a a a
2(1)(1)log (1)=--+--k x x x .....②
由①+②得：11
22222212
22122212221222111111log log log log log log ......+++++++++++++
k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a 22[log (1)log (1)]≥-++--k x x x x
又由（Ⅱ）令
1x m =，则1
1x t
=-，其中(0,1)x ∈， 则有
2222log log 11log (1)log 11m t x x m t x x
+=+-≤- ∴22log (1)log (1)1+--≥-x x x x ∴22[log (1)log (1)]1k x x x x k -++--≥--
2111
22221222222212221222log log log log log log ......1a a a a a k a a a a a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k a
∴当1n k =+时，原不等式也成立. K*s#5u
综上，由1°和2°可知，对任意的*n ∈N 原不等式均成立.。