2.2.1---向量加法运算及其几何意义

上海 台北 香港
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上海
c
b
香港
台北
a
C
1.位移 AB BC AC
A
2.力的合成
F1 F2 F
B
F1
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， 可以认AC为
是 AB与BC的和，F可以认为是 的合成可以看作向量的加法.
F1与的F和2 ，即位移、力
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向量加法的几何运算法则
OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则 OC OA OB
ab
O
A
O
A
b
a
B
B
C
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向量加法的代数运算性质
思考1：零向量 与0 任一向量 可以a 相加吗？
规定： a＋0 0＋a a，
思考2：若向量 a与b为相反向量，则 a＋等b于什么？反之
成立吗？
a与b 为相反向量
ab0
边形法则求其和向量？
a，与如b 何用平行四
a
B
C
b a＋b
O
b
a
A
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思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量 ，其作图特点分别如何？
三角形法则：首尾相接连端点；
平行四边形法则：起点相同连对角.
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例1.已知向量, a求、b，作向量 a b.
作法1：在平面内取一点O，作 OA a, AB b.则OB a b. 作法2：在平面内取一点O，作 OA a,以OBOA、b.
C
a
a
a＋b
b
b
b
A
a
B
a＋b
a＋b
| a＋b || a |＋| b |， 当且仅当 a与同b向时取等号；
| a＋b ||| a |－| b ||， 当且仅当 a与b反向时取等号.
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思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意 ∈R， a, b 都有 a b b a那, 么向量的加法也满足交换律吗？如何检
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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１.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法
则作两个向量的和向量；
２.掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量 计算； ３.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习， 增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题奠 定基础．
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思考3：若向量 a与b同向，则向量 a＋的b方向如何？若向
量 a与b 反向，则向量 a＋b的方向如何？
a
a
b
b
a＋b
a＋b
a＋b与a和b 同向
a＋b 的方向与长度大的向量同向
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思考4：考察下列各图， | a＋b | 与| a |＋的| b大| 小关系如何？
| a＋b | 与 | a |－| b的| 大小关系如何？
a＋（b＋）
a A
OA (AB BC) OA AC OC
c B
b
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例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂
直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留 两个有效数字）;
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验？
B
a
C
b
a＋b
ｂ
O
A
a
a＋b OA AC OC
b＋a OB BC OC
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思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都 有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？如
何检验？
C
abc
（a＋b）＋c
a＋b
O
(OA AB) BC OB BC OC
的三角形法则.对于下列两个向量 a与b，如何用三角形
法则求其和向量？
a
a＋b
b
b
a
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思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸 长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸
长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何
？
图1
F1
M
C
EO
F2
F1 F
F2
图2
M EO
F F F1 F2
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思考6：人在河中游泳，人的游速为 水流O速A为 中的实际速度 与 、 之OC间的关O系A如何O？B
，那么O人B在水
O
B
A
C
OC OA OB
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思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平
行四边形法则.对于下列两个向量
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两 次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
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BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两 次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
B
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(3)AB BD CA DC ____0____
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2.根据图示填空
E eD
gf
A
d
cC
a
b
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f
(4)c d e g
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向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
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回忆巩固
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的 ？什么叫零向量和单位向量？
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由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老家探亲， 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是 多少?
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（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表
示，精确到度）.
A
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解：（1）如图所示, 表A示D船速, 表示水A速B，以AD、AB为邻边 做平行四边形ABCD，则 表示船实A际C航行的速度.
（2）在RtABC中，AB 2, BC 5.
所以 AC
2
2
AB BC
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两
次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC A
C
B
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思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向
量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫
做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法
22 52
29 5.4
D
C
因为tan CAB 5 , 2
由计算器得CAB 68 .
A
B
答:船实际行驶速度的大小为5.4km/h,方向与水流速度间的夹角
约为68°.
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１.化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB ___M_N____