一次函数讲义教案

一次函数
函数
1、 定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

如果当x a =，y b =时，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。

2、 判断变量之间的函数关系式的标准： （1） 必须有两个变量；
（2） 对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应。

一次函数
1、定义：一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠），那么y 叫做x 的一次函数。

当0b =时， y kx =，此时，y 又叫做x 的正比例函数。

一次函数解析式y kx b =+的结构特征：
①0k ≠；②自变量x 的次数为1；③常数项b 可以为任意实数。

2、一次函数的图象和性质
（1）一次函数y kx b =+的图象是一条直线，称作直线y kx b =+。

（2）一次函数的图象的画法，确定两点坐标，描出这两点，再连成直线。

画正比例函数y kx =的图象，一般选取()0,0，()1,k 两点。

画一次函数y k x b =+的图象，一般选取与x 轴交点()0,b ，与y 轴的交点
,0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

（3）一次函数、正比例函数图象的特点
正比例函数y kx =的图象是经过原点()0,0的直线. 一次函数y kx b =+的图象是经过点()0,b ，,0b
k ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的直线。

（4）一次函数的性质
①一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）有如下性质： 1、当0k >时，y 随x 的增大而增大； 2、当0k <时，y 随x 的增大而减小。

②两个一次函数的直线：
当k 值相等，b 值不同时，两直线平行；
当k 值不同，b 值相同时，两直线相交于y 轴，交点坐标为()0,b 。

（5）直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置：（六种情况）
0k > 直线经过第一、二、三象限 ① ⇔
0b > 直线不经过第四象限
0k > 直线经过第一、三、四象限 ② ⇔
0b < 直线不经过第二象限
0k < 直线经过第一、二、四象限
③⇔
b>直线不经过第三象限
k<直线经过第二、三、四象限
④⇔
b<直线不经过第一象限
k>直线经过第一、三象限
⑤⇔
b=直线经过原点
k<直线经过第二、四象限
⑥⇔
b=直线经过原点
（6）正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定y kx
k≠）中的常数k；
=（0
确定一个一次函数，需要确定y kx b
k≠）中的常数k和b。

=+（0
确定解析式的一般方法是待定系数法：
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、设定含有待定系数的解析式y kx =或y kx b =+；
2、若是正比例函数y kx =，找到图像上一个点的坐标，将其带入解析式，求出k 。

3、若是一次函数y kx b =+，两种方法，（1）先确定图像与y 轴交点，即常数b ，再找到图像上一个点的坐标，将其带入解析式，求出k ；（2）找到图像上两个点的坐标，分别代入解析式，求出常数k 和b
专题练习一、函数及一次函数的定义 1、 下列说法中不正确的是（ ）
A 、函数3
43
V r π=
中，
43
是常量，r 是自变量，V 是r π的函数
B
、代数式343
r π是它所含字母r 的函数 C 、公式3
43V r π=可以看作球的体积是球的半径的函数
D
、函数3
43
V r π=
中，当0r =时，0V =
2、 汽车由南京驶往相距300km 的上海，它的平均速度为100/km h ，则汽车距上海的路程s （km ）与行驶的时间t （h ）的函数关系为 。

3、 下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 。

（1） 3
x y =-
（2）8y x
=-
（3）28(18)y x x x =+- （4）18y x =+
4、 下列函数①y x =-；②211y x =+；③21y x x =++；④1y x
=中，是一次函
数的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 5、 已知函数23y x =-+，当1x =-时，y = 。

6、 当,m n 为何值时，函数2(53)()n y m x m n -=-++是正比例函数？
7、 已知2
8
(3)1m y m x -=-+，当m 是何值时，y 是x 的一次函数？
8、 已知3y +与x 成正比，当1x =时，2y =，则y 与x 的函数关系式。

专题练习二、一次函数的图象 （一）点在图象上
1、 下列各点，哪个点在函数21y x =-的图象上（ ） A 、()0,1- B 、()2,3- C 、()1,0 D 、()3,7
2、 已知点()2,3A 在直线2y x b =+上，则b 的值为（ ）
A
、1- B 、0 C 、1 D 、2
3、 若一次函数24y kx k =-+-的图象经过原点，则k = .
4、 已知1y mx =-+的图象经过()1,3B -,(),9C - 两点，则 内应填 。

5、 已知一次函数2y k x k =-+的图象与y 轴的交点坐标为()0,3-，则k 的值为 。

6、 已知直线23y x m
=+经过点()3,0-，求m 的值。

7、 已知点(2,1)A a a +-在函数21y x =+的图象上，求a 的值。

（二）一次函数图象与坐标轴的交点坐标 1、 写出下列一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）31y x =-+ （2）183y x =- （3）36y x =- （4）332
y x =--
（5）12
y x =-
（6）2(0)y mx m m =+≠
2、 直线32y x =-与x 轴的交点坐标为（ ）
A
、()0,2- B 、3
,02⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
C 、2
,03⎛⎫
⎪⎝⎭
D 、2
,23⎛⎫
-
⎪⎝⎭
3、 一次函数31y x m =+-的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A 、1m ≤ B 、1m ≤- C 、1m > D 、1m <
4、 点()2,M m -在直线23y x =-+上，则点M 在直角坐标系中的位置是（ ）
A
、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
5、 关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的下方，则
a 的取值范围是 。

（三）一次函数图象与坐标轴围成图形的面积
1、 函数28y x =+的图象与两坐标轴围成三角形的面积等于 。

2、 直线332
y x =-
+与x 轴、y
轴所围成的三角形的面积为 。

3、 一次函数84y x =-+的图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标是 ，图象与坐标轴所围成的三角形的面积是 。

4、 若直线36y x =+与坐标轴围成的三角形面积为S ,则S 为（ ）
.3A .4B .6
C .12D
5、 函数5y x b =+的图象与x 轴，y 轴所组成的三角形面积等于10，则b 为（ ）
A
、100 B 、10- C 、10± D 、10
6、 已知一次函数4y k x =+的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，则
k = 。

（四）关于一次函数y kx b =+中的k
1、 下列函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ）
A 、3
x y =
B 、7y x =
C 、y x =
D 、y =
2、 下面一次函数y kx b =+的性质，正确的是（ ）
A 、 0b >时，y 随x 的增大而增大 B
、 0b <时，y 随x 的增大而减小
C 、 当0k >且0b <时，y 随x 的增大而减小 D
、 当0k <时，y 随x 的增大而减小
3、 已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第二、四象限，则（ ）
A 、y 随x 的增大而减小
B 、y 随x 的增大而增大
C 、当0x <时，y 随x 的增大而增大
D 、当0x <时，y 随x 的增大而增大；当0x >时，y 随x 的增大而减小 4、 当m 时，一次函数(1)1y m x =-+的值随x 值的增大而减小。

5、 正比例函数()1y a x =+中，若y 随x 的增大而增大，那么a 的取值范围是 ，它的图象过原点并位于第 象限。

6、 已知一次函数y kx b =+，y 随x 的增大而增大，且0k b ⋅<，则一次函数图象经过 象限。

7、 已知正比例函数()52y k x =-
（1）当k 取何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）当k 取何值时，y 随x 的增大而减小？
8、 已知一次函数(2)(4)y m x n =++-，y 随x 的增大而增大，函数的图象与y 轴
的交点在y轴的负半轴上，求m，n的取值范围。

9、若直线y kx b
=+与直线
1
4
y x
=-平行，则k=。

10、直线y kx b
=+与7
y x
=平行且过点()
1,3，则k=，b=。

11、已知直线3
y x m
=+与y kx n
=-平行，则k=，m、n应满足的条件是。

（五）,k b的符号决定一次函数图像的位置
1、一次函数34
y x
=-的图象不经过（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
2、一次函数1
y x
=+的图象不经过（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
3、已知直线y x b
=+，当0
b<时，直线不经过（）
.A第一象限.B第二象限.C第三象限.D第四象限
4、如果一次函数y kx b
=+的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）
A、0,0
k b
>>B、0,0
k b
><C、0,0
k b
<>D、0,0
k b
<<
5、 如果一次函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，则 （ ）
.A 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b << .0,0
D k b <> 6、 直线1y kx b =+经过一，二，四象限，则直线2y bx k =+不经过 象限。

7、 函数y kx b =+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（ ） A 、 0,0k b >> B 、 0,0k b ><
C 、0,0k b <>
D 、0,0k b <<
8、 一次函数y kx b =+的图象如图所示，则k ，b 的符号分别是（ ） A 、0k >，0b >
B 、0k >，0b <
C 、0k <，0b <
D 、0k <，0b >
9、 函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标中的图象可能的是（ ）
A B C D
10、 已知一次函数43y mx m =+-，若它的图象经过第一、二、三象限，求m 的取值范围。

11、已知一次函数()
=-+-，求实数k为何值时，y随x的增大而
3113
y k x k
增大？试确定它的图象过哪几个象限？
专题练习三、一次函数解析式的确定
1、已知函数()
=++-。

213
y m x m
（1）若函数为正比例函数，求m的值；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为()
-，求m的值；
0,2
（3）若函数的图象平行于直线33
=-，求m的值。

y x
2、已知函数2
2,3，
=+的图象过点()
y x b
（1）求此直线的函数解析式；（2）当3
x=时，求y的值。

3、已知y与x成正比，当1
x=时，2
y=，求函数解析式。

4、 已知一次函数的图象经过点(0,5)A -和(3,1)B ，求这个函数的解析式。

5、 若()2,6A -,()2,B a ，()0,2C 三点在同一条直线上，求a 的值。

6、已知直线y kx b
y x
=-。

=+经过点（0，6）且平行于直线2（1）求该直线的函数解析式；
（2）如果这条直线过点()
m，求m的值。

,2
7、如图，一次函数的图象经过,A B,求直线A B的函数关系式。

8、已知直线3
=-经过点M，求此直线的函数解析式，以及与x轴、y轴的
y kx
交点坐标。

专题练习五、一次函数的应用
1、若弹簧的总长度()
y cm是所挂重物的x(千克)的一次函数，图象如图所示，求这个函数解析式，以及当弹簧不挂重物时，弹簧的长度。

2、汽车由天津驶往相距120km的北京，()
t h表
s km表示汽车离开天津的距离，()示汽车行驶的时间，s与t之间的函数关系的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）汽车用小时可以从天津到达北京？汽车的速度是。

（2）求这个函数的解析式；
（3）汽车行驶2小时，离开天津的距离是多少？
（4）当汽车距北京40千米时，汽车行驶了多少时间？。