高中数学 第二章 解析几何初步章末检测 北师大版必修2

第二章 解析几何初步章末检测 北师大版必修2
一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)
1．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0 答案：B
解析：直线的斜率为k ＝tan45°＝1，所以满足条件的直线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0，选B.
2．列说法中正确的是( ) A ．两条平行直线的斜率一定相等 B ．两条平行直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两直线的斜率之积为－1 D ．互相垂直的两直线的倾斜角互补 答案：B
3．从直线l ：x －y ＋3＝0上一点P 向圆C ：x 2＋y 2
－4x －4y ＋7＝0引切线，记切点为M ，则|PM |的最小值为( )
A.322
B.142
C.
324 D.322－1 答案：B
解析：由题意，知圆心为C (2,2)，半径为1，当CP ⊥l 时，|PM |取最小值．圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－2＋3|2
＝322，则|PM |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12
＝142. 4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2
＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案：B
解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3两圆的圆心距离为
－2－22＋0－12
＝ 17，则R －r < 17<R ＋r ，所以两圆相交，选B.
5．若直线x －y ＋1－0与圆(x －a )2＋y 2
＝2有公共点，则实数a 取值范围是( ) A. [－3，－1] B ．[－1,3] C. [ －3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案：C
解析：圆(x －a )2＋y 2
＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝ 2⇔||
a ＋12
≤ 2⇔||a ＋1≤2⇔－3≤a ≤1. 6．已知点P (x ，y )在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，O 为原点，则当||OP 最小时，点P 的坐标是( )
A ．(65，8
5
) B ．(2,4)
C ．(5，－54)
D ．(15，－3
5
)
答案：A
7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0 答案：A 解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点P (1,1)，则k OP ＝1，故所求直线的斜率为－1.又所求直线过点P (1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y －1＝－()x －1，即x ＋y －2＝0.故选A.
8．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案：B
9．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2
＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )
A ．a 2
－2a －2b －3＝0
B ．a 2
＋2a ＋2b ＋5＝0
C ．a 2＋2b 2
＋2a ＋2b ＋1＝0
D ．3a 2＋2b 2
＋2a ＋2b ＋1＝0 答案：B
解析：依题意，当两圆的公共弦所在直线经过圆心(－1，－1)时，满足题意，而公共弦
方程为2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0，又过(－1，－1)点，∴a 2
＋2a ＋2b ＋5＝0.
10．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )
A ．x －2y ＋1＝0
B ．x －2y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y －1＝0 答案：B
二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)
11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y －(a 2
－1)＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：655
解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)＝2，即a 2
－a －2＝0，解得a ＝2或－1，但当a ＝2时，两直线重合，不符合题意，故只有a ＝－1，此时两直线方程分别为x －2y ＋6＝0
和x －2y ＝0，它们之间的距离d ＝612＋－22
＝65
5. 12．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －kx －2＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的位置关系
是________．
答案：相切或相交
解析：直线方程可化为k (3x －y )＋2x －2＝0，所以直线恒过定点(1,3)，而点(1,3)在圆上，所以直线与圆相切或相交．
13．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2
＝4相切，则m 的值为________． 答案：2或－5或－1或－2
解析：设圆C 1的半径为r 1，圆C 2的半径为r 2，两圆圆心间的距离为d .两圆外切时，满足r 1＋r 2＝d ，即5＝m ＋12＋－2－m 2，解得m ＝2或－5；两圆内切时，满足r 1－r 2＝d ，即1＝m ＋12＋－2－m 2，解得m ＝－1或－2.
14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2
－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
答案：
43
解析：∵圆C 的方程可化为：(x －4)2
＋y 2
＝1，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1. ∵由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点A (x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在x 0∈R ，使得AC ≤1＋1成立，即AC min ≤2.
∵AC min 即为点C 到直线y ＝kx －2的距离|4k －2|
k 2＋1
，
∴|4k －2|k 2＋1
≤2，解得0≤k ≤43.
∴k 的最大值是4
3
.
15．过直线x ＋y －2 2＝0上点P 作圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
答案：(2，2)
解析：如图，由题意可知∠APB ＝60°，由切线性质可知∠OPB ＝30°，在直角三角形OBP 中，OP ＝2OB ＝2，又点P 在直线x ＋y －2 2＝0上，所以不妨设点P (x,2 2－x )，则
OP ＝ x 2＋ 2 2－x 2＝2，即x 2＋(2 2－x )2＝4，整理得x 2－2 2x ＋2＝0，即(x －
2)2
＝0，所以x ＝ 2，即点P 的坐标为(2，2)．
三、解答证明题(本大题共6证明过程或演算步骤．)
16．(12分)已知△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求出点C 的坐标．
解：由题意，得|AB |＝
[3－－1]2＋2－52
＝5.
∵S △ABC ＝1
2
|AB |·h ＝10，∴h ＝4(h 为点C 到直线AB 的距离)．
设点C 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的方程为y －2＝－3
4
(x －3)，即3x ＋4y －17＝0.
由⎩
⎪⎨⎪
⎧ 3x 0－y 0＋3＝0|3x 0＋4y 0－17|
5＝4，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝－1
y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝
53y 0＝8
.
∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8. 17．(12分)圆O ：x 2＋y 2
＝8内有一点P (－1,2)，过点P 且倾斜角为α的直线交圆O 于A ，B 两点．
(1)当α＝135°时，求弦AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程． 解：(1)∵α＝135°，
∴直线AB 的斜率k ＝tan135°＝－1. 又直线AB 过点P ，
∴直线AB 的方程为y ＝－x ＋1，
代入x 2＋y 2＝8，得2x 2
－2x －7＝0，
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7
2，
∴|AB |＝[1＋－12
][x 1＋x 22
－4x 1x 2]＝30. (2)∵点P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB .
∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1
2
.
∴直线AB 的方程为x －2y ＋5＝0.
18．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y －b ＝0. (1)若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求实数a ，b 的值．
(2)是否存在实数a ，b ，使得l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等？并说明理由．
解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，为k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.
∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率必不存在，即b ＝0.
又l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3
(矛盾)．
∴此种情况不存在，∴k 2≠0，直线l 1的斜率存在，设为k 1.
∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，
∴k 1k 2＝－1，即a
b
(1－a )＝－1. ①
又l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.
(2)不存在，理由如下：
∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． 又坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝－b ，该方程无实数解．
∴不存在满足条件的实数a ，b .
19．(13分)已知点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)之间的距离的比为51，记点M 的轨迹为曲线C .
(1)求点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹C 是什么图形；
(2)过点Q (－2,3)的直线l 被轨迹C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．
解：(1)由题意，得|MM 1||MM 2|＝5，即x －262＋y －12
x －22＋y －12
＝5，
化简得x 2
＋y 2
－2x －2y －23＝0，
即(x －1)2＋(y －1)2
＝25.
∴点M 的轨迹C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2
＝25， 轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，
此时所截得的线段的长为252－32
＝8，符合题意．
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，
圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|
k 2＋1
，
由题意，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3k ＋2|k 2
＋12＋42＝52
，解得k ＝512， ∴直线l 的方程为512x －y ＋23
6
＝0，
即5x －12y ＋46＝0.
综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.
20．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝
|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
解：(1)将圆C的方程化为标准方程，为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，其圆心C(－1,2)，半径
r ＝ 2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，
∴圆心到切线的距离为|－k －2|
k 2＋1
＝2，
即k 2
－4k －2＝0，解得k ＝2± 6. ∴切线方程为y ＝(2±6)x .
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，
∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |
2
＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1.
∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.
综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)∵PM 为圆C 的切线， ∴△PMC 为直角三角形．
又|PM |＝|PO |，∴|PM |2＝|PO |2＝|PC |2－r 2
， ∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2
－2，
化简得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 的轨迹是直线l ：2x －4y ＋3＝0，
∴求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，也就是点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，
由点到直线的距离公式，可知|PM |min ＝322＋－42
＝35
10. 当|PM |取最小值时，OP ⊥l ，
∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0，
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝0
2x －4y ＋3＝0
，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
10y ＝3
5
，
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－310，35.
21．(13分)设圆C 1的方程为(x ＋2)2＋(y －3m －2)2＝4m 2
，直线l 的方程为y ＝x ＋m ＋2. (1)求C 1关于l 对称的圆C 2的方程；
(2)当m 变化且m ≠0时，求证：C 2的圆心在一条定直线上，并求C 2所表示的一系列圆的公切线方程．
解：(1)圆C 1的圆心为C 1(－2,3m ＋2)，设C 1关于直线l 对称点为C 2(a ，b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
b －3m －2a ＋2＝－13m ＋2＋b 2＝a －22＋m ＋2
，解得：⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2m
b ＝m ，
∴圆C 2的方程为(x －2m )2
＋(y －m )2
＝4m 2
.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2m
b ＝m 消去m 得a －2b ＝0，即圆C 2的圆心在定直线x －2y ＝0上．
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x ＝0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y ＝kx ＋b 与圆系中的所有圆都相切， 则|k ·2m －m ＋b |1＋k
2
＝2|m |，即(－4k －3)m 2＋2(2k －1)·b ·m ＋b 2＝0， ∵直线y ＝kx ＋b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，
所以有：⎩⎪⎨⎪
⎧
－4k －3＝022k －1·b ＝0
b 2＝0
，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－
34b ＝0
，
所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y ＝－3
4
x ，
故所求圆的公切线为x ＝0或y ＝－3
4
x .
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