2021-2022年高三第一次模拟考试数学(理)试题

2021-2022年高三第一次模拟考试数学（理）试题
本试卷，分第I 卷和第II 卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}
{}24,0,1,2,3,A x x B A B =<=⋂=则
A. B. C. D. 2.已知，其中是实数，i 是虚数单位，则的共轭复数为
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是
A.若0ln ln 0x y x y >>+>，则
B.“”是“函数为偶函数”的充要条件
C. ，使成立
D. 已知两个平面，若两条异面直线满足，
4.设随机变量服从正态分布()()()3,4,232N P a P a a ξξ<-=>+若，则的值为
A. B.
C.3
D.5 5.已知圆()()()22:240C x a y a -+-=>，若倾斜角为45°的直线l 过抛物线的焦点，且直线l 被
圆C 截得的弦长为，则a 等于
A. B. C. D.
6.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的为
A. B. C. D.
7.设向量()()()1,2,,1,,0OA OB a OC b =-=-=-，其中O 为坐标原点，，若A,B,C 三点共线，则的最小值为
A.4
B.6
C.8
D.9
8.已知满足不等式组0,0,,2 4.
x y x y m y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当时，目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D.
9.已知一个平放的各棱长均为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于
A. B. C. D.
10.如图所示，由直线()2,10,x a x a a y x x ==+>=及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，若对，不等式
111111122121
A n n n n n n ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅++++-恒成立，则实数A 等于
A.
B. C. D.
第II 卷（共100分） 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________.
12.函数()()0,0,sin 2A f x A x πωϕωϕ⎛⎫=>>< ⎪+⎝⎭
的部分图象如图所示，则__________.
13.工人在悬挂如图所示的一
个正六边形装饰品时，需要
固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二
个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，
第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种.
14.已知A 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右顶点，分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点.若，则双曲线C 的离心率是_________.
15.在研究函数()2241240f x x x x =
+--+的性质时，某同学受两点间距离分工启发，将变形为()()()()()2222
002602f x x x =-+---+-，并给出关于函数以下五个描述： ①函数的图象是中心对称图形；②函数的图象是轴对称图形；
③函数在上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；
⑤无论m 为何实数，关于x 的方程都有实数根.
其中描述正确的是___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本题满分12分）已知函数()()23sin cos sin
10f x x x x ωωωω=-+>相邻两条对称轴之间
的距离为.
（I ）求的值及函数的单调递减区间；
（II ）已知分别为中角的对边，且满足()3,1,a f A ABC ==∆求面积S 的最大值.
17. （本题满分12分）如图，四棱锥90P ABCD ABC BAD -∠=∠=中，，
2,BC AD PAB PAD =∆与都是边长为2的等边三角
形，E 是BC 的中点.
（I ）证明：AE//平面PCD ；
（II ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小.
18. （本题满分12分）为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛，经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军.决赛规则如下：
①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的选后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④选得3分者获胜，已知甲、乙答对每道题的概率分别为，且每次答题的结果相互独立.
（I ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（II ）若甲选答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19. （本题满分12分）数列是公差为正数的等差数列，是方程的两实数根，数列满足.
（I ）求；
（II ）设为数列的前n 项和，求，并求的最大值.
20. （本题满分13分）设()()2ln 21,f x x x ax a x a R =-+-∈.
（I ）令的单调区间；
（II ）当时，直线的图像有两个交点，()21212,,2B x t x x x x <+>且，求证：.
21. （本题满分14分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点，离心率为，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点.
（I ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）当时，求面积的最大值；
（III ）若直线l 的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点A 的定点.
24988 619C 憜Y28199 6E27 渧34896 8850 衐38022 9486 钆33557 8315 茕25966 656E 敮
28645 6FE5 濥23564 5C0C 尌37937 9431 鐱33387 826B 艫32941 80AD 肭。