高二数学教案：曲线和方程概念的理解

●教学目标
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
●教学重点
曲线和方程的概念
●教学难点
曲线和方程概念的理解
●教学方法
学导式
●教具准备
三角板、幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
Ⅱ.讲授新课
1．曲线与方程关系举例：
师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M （x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）
又如，函数y=ax2的图象是关于y轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M（x0,y0）是抛物线上的点，那么（x0,y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0,y0）是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程.（如右图）.
2．曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
3．点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
4．例题讲解：
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M（3，－4）、M2（－25，
2）是否在这个圆上.
证明：（1）设M （x 0,y 0）是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以,52
020=+y x
也就是,252020=+y x 即（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解.
（2）设（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解，那么,252020=+y x 两边开方取算术根，得,52
020=+y x
即点M （x 0,y 0）到原点的距离等于5，点M （x 0,y 0）是这个圆上的点.
由（1）、（2）可知，x 2+y 2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程.
把点M 1（3，－4）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边相等，（3，－4）是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2（－25，2）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边不等，（－25，2）不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上.
Ⅲ.课堂练习：
课本P 69练习1，2，3
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.
●课后作业
习题7.6 1，2
● 板书设计
●教学后记。