雅克比迭代算法（JacobiIterativeMethods）--[mpi,c++]

雅克⽐迭代算法（JacobiIterativeMethods）--[mpi,c++]雅克⽐迭代，⼀般⽤来对线性⽅程组，进⾏求解。

形如：
a11∗x1+a12∗x2+a13∗x3=b1
a21∗x1+a22∗x2+a23∗x3=b2
a31∗x1+a32∗x2+a33∗x3=b3
我们需要求解出x1　，x
２　，x
３
，我们对这组⽅程进⾏变换：
x1=
１
a１1(b
１
−a１2∗x２−a１3∗x3)
　x
２=
１
a21(b
2
−a2１∗x１−a23∗x3)
x３=
１
a３1(b
３
−a３１∗x１−a３２∗x２)
我们不妨假设x0
0=(X0
1
,X0
2
,X0
3
) ,当我们代⼊上述公式的时候，我们就会得到⼀组新的x1
=(X1
1
,X1
2
,X1
3
) ,此刻我们称之为⼀次迭代.
然后我们将得到的X1,X2,X3再次代⼊公式，我们将会得到第⼆次迭代, 当我们重复这种迭代的时候，我们会得到第K次迭代：
x k=(X k
1,X k
2
,X k
3
) , k=1,2,3...n
我们将其归纳成⼀般式⼦:
eg: 对于⽅程组：
求解：
我们先将其变形：
然后，我们假设：
并将其代⼊得到：
我们将得到的X1,x2,x3再次代⼊⽅程中，反复迭代,将会得到如下：
最终我们将会得到⼀个收敛值，该组值，就是我们得到的解（会⾮常的逼近真实解）
那么这种⽅法，也可以⽤来求解矩阵:
对于⽅程： Ax =b ; 我们设定 A矩阵为： ,b矩阵为：， x矩阵为：
到这⾥，每个⼈都有⾃⼰的解法，直接的解法是将 x = A−1b,但是A的逆矩阵A−1,计算较为复杂，我们这⾥需要⼀点⼩的tricks ,我们将A矩阵拆分成为⼀个对⾓矩阵D,下三⾓矩阵L,上三⾓矩阵U,即
这样的话，公式 Ax = b 就变成了 ( D - L -U )x = b ,然后我们就可以得到：
D x = b + (L+U)x ，当我们得到这个公式的时候，求解D的逆矩阵就容易了很多，我们得到D的逆矩阵为：然后，我们将D移到右边变成:
这个公式，和我们上⾯描述的雅克⽐迭代是不是长得很像，然后我们可以将其⼀般化为：
我们知道A是⼀个已知的常量矩阵，因⽽D,L,U都是已知矩阵，那么我们可以简化为：
T=D−1∗(L+U) , c=D−1∗b ;
根据这⼀个思想，我们可以得到⼀个伪代码：
实现代码为:
参考资料为:
Processing math: 100%。