山西省长治市沁县实验中学高二数学文上学期期末试卷含解析

山西省长治市沁县实验中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．
【解答】解：设|PF2|=x，
∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=x，
∴C的离心率为：e==．
故选A．
2. 已知椭圆的左、右焦点为F1,F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若，且
是曲线C2上不同的点，满足，则的取值范围为( )
A. (－∞,－6]∪[10,+∞)
B. [10,+∞)
C. (－∞,－10]∪[6,+∞)
D. [6,+∞)
参考答案：A
3. 若，则函数的导函数（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
由基本初等函数的求导公式求解即可
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查函数的求导公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题
4. 过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）
A．3x﹣4y+20=0 B．3x﹣4y+20=0或x=4
C．4x﹣3y+8=0 D．4x﹣3y+8=0或x=4
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x
轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d==4，即可求得直线斜率，求得直线方程．【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，
若直线斜率不存在，则垂直x轴
x=4，圆心到直线距离=|0﹣4|=4，成立；
若斜率存在
y﹣8=k（x﹣4）即：kx﹣y﹣4k+8=0
则圆心到直线距离d==4，解得k=，
综上：x=4和3x﹣4y+20=0，
故选B．
5. 化简方程=10为不含根式的形式是
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
6. 已知{}为等差数列，{}为等比数列，其公比≠1，且>0(i＝1,2，…，n)，若
，，则( )
A． B． C． D．或
参考答案：
A
略
7. 在正五棱柱的10个顶点中任取4个，此四点不共面的取法种数为
A．175 B．180 C．185 D．190
参考答案：
B
略
8. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()
图21－3A．a＝5，i＝1 B．a＝5，i＝2
C．a＝15，i＝3 D．a＝30，i＝6
参考答案：
D
无
9. 等比数列中，（）
A．2 B．C．2或D．－2或
参考答案：
C
10. 在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（）
A. B. C.1 D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=4，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为．
参考答案：
30°
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．
【分析】可作出图形，取AC中点E，并连接C1E，BE，从而有C1E∥AD，从而得到∠EC1B或其补角便为异面直线AD和BC1所成角，根据条件可以求出△BC1E的三边长度，从而可以得到∠BEC1=90°，然后求sin∠BC1E，这样即可得出异面直线AD和BC1所成角的大小．
【解答】解：如图，取AC中点E，连接C1E，BE，则C1E∥AD；
∴∠EC1B或其补角为异面直线AD和BC1所成角；
根据条件得：BE=2，C1E=2，BC1=4；
∴BE2+C1E2=BC12；
∴∠BEC1=90°；
∴sin∠EC1B==；
∴∠EC1B=30°；
∴异面直线AD和BC1所成角的大小为30°．
故答案为：30°
12. 已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是；以A为切点的圆C的切线方程是．
参考答案：
（x﹣2）2+y2=10; y=3x+4.
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【分析】根据题意，分析可得圆的半径r=|CA|，结合两点间距离公式计算可得|CA|的值，可得r，由圆的标准方程计算可得答案；由C、A的坐标计算可得直线CA的斜率，又由互相垂直直线的斜率关系，可得切线方程斜率k，结合直线的斜率式方程可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，
则圆的半径r=|CA|==，
故圆的方程为（x﹣2）2+y2=10，
又由C（2，0）、A（﹣1，1），则K CA==﹣，
则以A为切点的圆C的切线方程斜率k==3，
切线过点A，则其方程为y﹣1=3（x+1），即y=3x+4；故答案为：（x﹣2）2+y2=10，y=3x+4．
13. 已知函数在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为
，当时，有不等式成立，若对，不等式
恒成立，则正整数a的最大值为_______.
参考答案：
2
【分析】
令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】因为当时，有不等式成立，
所以，
令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对，不等式恒成立，
所以，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
当x＞0时，，
所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以，
所以a＜e,
所以正整数a的最大值为2.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题
.
14. 在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。

参考答案：
15. 已知数列的通项公式 ,,则数列的前项和为
_________；
参考答案：
,
略
16. 复数的值是________．
参考答案：
-1
17. 已知下列命题：
①“若，则不全为零”的否命题；②“正六边形都相似”的逆命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“若是有理数，则是无理数”.其中是是真命题的________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 当实数为何值时．
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限．
参考答案：(1) 或；(2) 0；(3) 或．
【分析】
（1）复数为实数，则虚部等于0；（2）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0；（3）若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．
【详解】(1)若复数z是实数，则，得或；
(2) 复数z是纯虚数，则由，得．
(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，
则，解得或．
【点睛】本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．
19. 已知椭圆=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）已知定点M（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于A、B两点．问：是否存在k的值，使以AB为直径的圆过M点? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
略
20. （本小题满分10分）
已知命题若是的充分不必要条件，求的取值范围
参考答案：略
21. 以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去
图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.
（Ⅰ）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学
恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．
参考答案：
解：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所
以平均数为
……………3分
方差为……………6分
（Ⅱ）记甲组3名同学为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为
B1，B2，B3，B4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两
名学生，所有可能的结果有15个，它们是：
A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1 B3，B1B4，
B3B4.
……………9分
用C表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，……………11分
选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为
……………12分
略
22. 椭圆C： +=1（a＞b＞0）．
（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；
②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；
（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）①由椭圆过两点，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．
②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，与椭圆方程联立求出P点坐标，用﹣代k，得M点坐标，由此能求出直线PM，从而能证明直线PM经过定点T（0，）．
（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由此利用换元法及基本不等式性质能求出椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．
【解答】解：（1）①∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，
解得a=3，b=1，
∴椭圆C的方程为．
证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，
设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，
由，得P（，），
用﹣代k，得M（，），
∴=，
∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．
解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，
由=1，得，
∴==，
令t=a2﹣5，t＞0，则=t++9≥2+9=4+9，
当且仅当t=2，时，等号成立，
∴椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆中心到右准线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用．。