椭圆加工中的圆弧拟合及加减速算法研究

数控加工技术现代制造工程（Modern Manufacturing Engineering）2011年第9期
椭圆加工中的圆弧拟合及加减速算法研究
陈光黎，张严林，钟震宇，肖先文
（广东省科学院自动化工程研制中心，广州510070）
摘要：很多数控机床不支持椭圆插补，因此椭圆加工一般采用圆弧拟合的方法转换成圆弧加工。

采用椭圆的最优四圆弧逼近拟合算法，用数字积分法（DDA）进行圆弧插补。

用小段割线拟合圆弧起点和终点的小段圆弧，将圆弧的加减速控制转换成直线的加减速控制，解决了DDA圆弧插补的加减速控制难题。

关键词：椭圆；圆弧；数字积分法（DDA）；加减速
中图分类号：TP273文献标志码：B文章编号：1671—3133（2011）09—0037—03
Research on algorithm of arc approach＆acceleration/deceleration
control for ellipse process
CHEN Guang-li，ZHANG Yan-lin，ZHONG Zhen-yu，XIAO Xian-wen
（Automation Engineering R＆M Center，Guangdong Academy of Sciences，Guangzhou510070，China）Abstract：Most CNC machines are not equipped with ellipse interpolation，so the arc approach＆arc process are often used as a substitute for ellipse process．The optimized4-arc approach algorithm is presented and the approximate error is analysed．The DDA arc interpolation has a difficulte problem of acceleration/deceleration algorithm．A short secant is as a substitute for a short art at arc’s endpoint，and acceleration/deceleration algorithm for DDA arc interpolation is substituted by one for line interpola-tion，which solve the problem of acceleration/deceleration for DDA arc interpolation by means of a common MCU．
Key words：ellipse；arc；DDA；acceleration/deceleration
1椭圆加工概述
目前，椭圆加工一般有两种方案：椭圆插补及圆弧拟合加工。

椭圆插补算法有逐点比较法、数字积分法（DDA）和比较积分法等，其优点是加工精度高，轮廓误差在一个脉冲当量以内；缺点是算法复杂，有浮点运算，对下位机运算能力要求较高，而且很多数控机床不支持椭圆插补。

圆弧拟合加工是用圆弧来逼近拟合椭圆，再以圆弧插补来替代椭圆插补，优点是算法简单，只有整数加减运算，没有整数乘除运算及浮点运算，对下位机运算能力要求较低，普通的单片机就可以胜任；缺点是有轮廓误差，一般的拟合算法造成的轮廓误差是椭圆长半轴的百分之几，不适用于轮廓精度非常高的场合。

圆弧逼近拟合椭圆也有多种方案，最常用的是四圆弧逼近算法［1-3］。

文献［1］中对四圆弧逼近算法进行了切比雪夫逼近，可使轮廓误差达到最小。

文献［4］中提出了八圆弧、十二圆弧及更多圆弧的计算机作图算法。

文献［5］中根据给定误差用不确定的圆弧数来逼近椭圆。

尽管四圆弧的逼近算法很多，但文献［1］的逼近误差最小，算法也非常简单，最大理论逼近误差是长半轴的1．1%左右，适用于加工精度要求不高的椭圆加工。

文献［4］提出了多段圆弧拟合的方法，但没有分析逼近误差，而且拟合算法复杂，圆弧数过多也造成信息量增大。

文献［5］提出的算法是在确保逼近误差的前提下用必要的圆弧数来拟合椭圆，也会造成拟合算法复杂，圆弧数过多的问题，而且并没有保证相邻圆弧之间是相切的，因此可能造成加工过程的冲击。

本文采用文献［1］的算法来拟合椭圆并进行加工。

2椭圆的最优四圆弧逼近拟合算法
假设a、b分别为椭圆的长半轴及短半轴的长度；β=b/a；r、R分别为小圆和大圆的半径。

根据文献［1］有：
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2011年第9期现代制造工程（Modern Manufacturing Engineering ）
r =a ［k （1－β）+β（1+β）－（1－β）k 2+β槡2］/2
R =a ［k （1+β）－β（1－β）+
（1－β）k 2+β槡2］/（2k β{
）
（1）………………………………………………k 值由式（2）或式（3）求出，不做迭代：k =β（3β+1）/（β+3槡）β＜0．3（2）………………………………………………k =0．9β（3β+1）/（β+3槡）+0．1ββ≥0．3（3）
………………………………………………设第一象限圆弧切点P 坐标是（x c ，y c ），则：
x c =（a －r ）R /（a －r ）2+（R －b ）
槡2
y c =（R －b ）r /（a －r ）2+（R －b ）槡{
2（4）
………用以上算法可以保证4段圆弧相切，而且逼近误差最小。

图1所示是当β
=0．3时椭圆的圆弧逼近拟合图。

其中粗线表示椭圆；细线表示圆弧，
用整圆代替，以便看清圆弧的位置。

图1
椭圆的圆弧逼近拟合图
表1
逼近误差
β
（e /a ）/%0．10．800．21．060．31．120．41．100．50．980．60．810．70．630．80．420．9
0．21
本文中逼近误差λ=e /a ，表1所示为不同β时的逼近误差值。

可见β在0．3附近，逼近误差最大。

以长轴为10mm 的椭圆为例，圆弧曲线与椭圆曲线的最大误差e =0．11mm 左右，在对精度要求不高的场合完全可行。

3椭圆的加工
经圆弧拟合逼近后，椭圆的加工就转换成圆弧的加工。

本文采用数字积分法来进行圆弧插补。

数字积分法是建立在数字积分器基础上的一
种插补算法，
其最大的特点是易于实现多坐标插补联动，它
不仅能实现平面直线、圆弧的插补，
而且还可以实现空间曲线的插补，在轮廓控制数控系统中得到广泛地应用。

用DDA 算法加工圆弧可以保证切线速度严格按照预定要求，
而且除起点和终点外，在高速加工过程中非常平稳。

此外DDA 算法只进行整数的加减运算，普通单片机的运算能力已经足够。

但DDA 最大的缺陷是调速不方便，加减速控制算法复杂。

4DDA 圆弧插补的加减速控制
在加工圆弧时，如果由于启动和停止控制不当，会出现启动时抖动和停止时过冲的现象，从而影响系统的控制精度。

因此在高速加工过程中，加减速控制是必须的。

但由于DDA 算法调速不方便，故本文采用拟合的方式进行加减速控制，用圆弧起点A （x 1，
y 1）至终点B （
x 2，
y 2）的一条很短的割线来代替一小段圆弧，从而用直线的加减速控制来代替圆弧的加减速控制。

割线拟合小段圆弧实现加减速控制计算原理如图2所示。

图2
割线拟合小段圆弧实现加减速控制计算原理
下面来分析拟合后的逼近误差。

设割线的长度
为L ，圆弧的半径为r （L ＜＜r ），割线对应的夹角为θ，逼近误差为λ，则：
λ=r ［
1－cos （θ/2）］（5）…………………………由于L ＜＜r ，则θ≈L /r ，那么：
λ≈r ｛1－cos ［
L /（2r ）］｝=2r sin 2［L /（4r ）］（6）
………………………………………………由于L ＜＜r ，因此λ非常小，以L =1mm ，r =10mm 为例，由式（6）可得λ=0．00625mm ，可以忽略不计。

设圆心在坐标原点（不在原点做坐标变换），圆弧起点为A （x 1，y 1），做加减速最短线长是L ，则做加减速
的线段起点是A （x 1，y 1），求线段终点B （x 2，y 2）。

设起点、终点角度分别为θ1、θ2，则：
θ1=arccos （x 1/r ）（7）
……………………………θ2=θ1+sign θ=θ1+signarcsin ［
L /（2r ）］……（8）8
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陈光黎，等：椭圆加工中的圆弧拟合及加减速算法研究2011年第9期
式中：sign 为符号函数，取1或－1。

当顺时针圆弧且
圆弧起点割线、或逆时针的圆弧且终点割线时取－1，其他情况取1。

得到线段终点坐标（x 2、
y 2）为：x 2=r cos θ2
y 2=r sin θ{
2
（9）
…………………………………用式（7） 式（9）便可求出做加减速线段的起点、
终点坐标。

由于本文第2节描述的椭圆最优四圆弧逼近拟合
算法已经确保4段圆弧光滑过渡，圆弧过渡加工时可以不做加减速处理。

因此，对椭圆加工来说，仅仅是第1段圆弧的起点需要做加速处理及第4段圆弧的终点需要做减速处理。

用以上方法加工椭圆，一共有4段圆弧及2条加减速线段，共计6条加工信息。

线段的加减速算法采用笔者在文献［6］中阐述的“动态查表法”来进行，本文不再论述。

该算法仅仅需要一系列的位运算和加法运算，一般的单片机同样可达到良好的实时性。

因此结合椭圆拟合算法，用普通单片机即可实现椭圆的加工。

5结语
本文比较了目前常用的椭圆加工算法，并最终采用
文献［1］中的方法论述了椭圆最优四圆弧逼近拟合算法，将椭圆的加工转换成为圆弧的加工。

虽然有逼近误差，但算法简单，信息量少，适用于大多数数控机床。

在加工精度要求不高或加工小椭圆的场合非常实用。

用DDA 算法加工圆弧存在加减速控制不方便的缺陷。

由于笔者在文献［6］中较好地解决了直线的加减
速问题，因此本文通过小段割线拟合圆弧的方法将圆弧的加减速转换成直线的加减速，使编程更加方便，
加减速控制更加便捷，而且逼近误差可以忽略不计。

本文的椭圆加工算法及圆弧的加减速控制已经
在数控点胶机上得到了很好地应用，
以10000mm /min 的速度加工椭圆也非常平稳。

实践表明，用一般的
ARM 芯片完全满足了实时性和高精度的要求。

数控点胶机的特点是要求定位精度高，但对轮廓误差要求不高，因此本文的圆弧拟合椭圆方法造成的逼近误差完全在许可范围内。

参考文献：
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作者简介：陈光黎，高级工程师，研究员，主要从事自动控制、嵌入式系
统和微机电系统的研究。

Email ：gl_ch@autocenter．gd．cn 收稿日期：2010-
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