学而思数学四年级超常班程雪9几何计数(二).

四年级春季班（八级下）9.1
第九讲几何计数（二）
一、相关笔记内容
参考本学期第四讲——几何计数
二、例题讲析
（基础）学案1 你能数出下图中共有多少个三角形吗？解析：参考模型，先按方向分类，分为正立的和倒立的正立的：边长为1的：1+2+3+4
边长为2的：1+2+3
边长为3的：1+2
边长为4的：1
倒立的：边长为1的：1+2+3
边长为2的：1
共计：27个。

例1
解析：参照上题数三角形，我们仍然可以先按方向将平行四边形分类，分为（1）尖朝上；（2）尖朝左；（3）尖朝右。

将图形旋转，不难发现这三类平行四边形是同样多的。

我们选取尖朝上的进行计数：
类似：1+2+3=6（个）
类似：：（1+2）×2=6（个）……根据左右对称，朝左偏的和朝右偏的一样多
四年级春季班（八级下）9.2
类似：：1×2=2（个）
类似：：1个
尖朝上的共计：6+6+2+1=15（个）
原图共有平行四边形：15×3=45（个）
例
2 图中共有多少个正方形？
解析：显然，原图可以分成5个标准图形，只是最后别忘了要减去重复的。

根据模型，有
（42+32+22+12）×5-（22+12）×4=130（个）
小结：“标准”+“标准”，要注意 -“重”
（尖子）学案1
图中有多少个长方形？
解析：不难看出原图可以分成2个标准图形，这2个图形没有重复，但是产生了新的长方形，那就加上新产生的就可以了。

外边的标准图形有2
325C C •=30（个）
四年级春季班（八级下）9.3
里面的标准图形也有2325C C •=30（个）
新的有哪些呢？新的长方形一定是跨越两个标准图形的，即有的边只属于大标准，有的边只属于小标准。

不难数出有12个。

所以图中长方形总数一共是
30+30+12=72（个）。

小结：“标准”+“标准”，要注意+“新”
例3 如图，由20个边长为1的小正方形拼成一个4×5长方形中有一格有☆求：（1）图中正方形的个数
（2）图中长方形的个数
（3）图中含☆的正方形的个数
（4）图中含☆的长方形的个数解析：对于前2问，直接用模型公式计算。

（1）4×5+3×4+2×3+1×2=40（个）
（2）2
526C C •=150（个）
（3）按大小分类：1+4+4+2=11（个）
（4）长方形的限制条件比正方形少，我们能不能不采取分类数，而按照一定的方法得到想要的图形呢？很简单：分四步，先选择长方形的上边，再选择下边，再左边，再右边，不就确定了一个长方形了吗？上边有3种选择，下边有2种选择，左边有2种选择，右边有4种选择，根据乘法原理，就有3×2×2×4=48（个）
例4 如图，木板上钉着16个钉子，形成4×4的正方形钉阵，那么橡皮筋一共能套出多少个矩形，多少个三角形？
解析：（1）找矩形，不难想到先分为两大类：正着的，斜着的。

正着的：将原图沿水平竖直连线得到
正着的长方形显然就是这个图形中包含的所有的长方形。

根据模型，2424C C •=36（个）斜着的：
这里有3个，根据对称性，还有3个这样的1个，对称性还有1个斜着的共有3×2+2=8（个）
原图共有长方形：36+8=44（个）
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（2）三角形
只要不共线的三个点就是一个三角形。

用所有三个点的组合减去共线的三个点组合即可。

41034316−−C C = 516（个）
例5 一个棱长为12的正方体是由1728个木制的棱长是1的小正方体堆垒而成。

那么，你从一点最多能看到棱长是1的小正方体多少个？
解析：这属于一个最值问题，那么我们需要先“构造”怎样才能看到最多的小方块呢？不难想到，最多能看到与一个顶点相连的三个面。

这三个面共有小正方体：12×12×3-11×3-2=397（个）
或：11×11×3+11×3+1=397（个）
例6 如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第二层包括6个正方形和18个正三角形，依次类推，第8层中含有正三角形个数是？
（图略）
解析：仔细观察，三角形分成了六大块，每一块的整体来说是一个大的正三角形，这不是我们学过的正三角形的模型吗？问的是第八层，那就是第8个单数：
8×2-1=15（个），六块共计15×6=90（个）
（提高）学案4 前8层共用了多少块正三角形的地砖？
解析：参照模型，一大块正三角形含有8×8=64（块）地砖，那么六块共计
64×6=384（块）。