求极限的方法和技巧

1
= b + lim x(e x −1) x→+∞
(a = 1)
= b + lim x ⋅ 1 x x→+∞
（等价无穷小代换）
= b+1
故 a = b = 1.
【例
2】（1997 年
4）求极限
lxi→m0 ⎢⎣⎡
a x
−( 1 x2
− a 2 ) ln(1 +
ax)⎥⎦⎤
(a ≠ 0)
a2 []
2
6
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
+ 1)(5x
+ 1)
=
α
≠
0, ，则（
）
（A）α = 5!, β = 5.
（C） α
=
1 25
,β
=
5.
（B） α
=
5! 25
,β
=
5.
（D） α
=
5 25
,β
=
4.
(B)
【例 9】已知 lim (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)(5x + 1) + ax + b = 16, ，则（ ）
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
sin sin
x x
cos cos
αx βx
⎟⎟⎠⎞cot
3
x
;
5.设 n 为正整数，则 lim[
xn
]x = ___________ .
x→∞ (x −1)(x − 2)L(x − n)
6.（2018 年，数二,4 分）
1
若 lim(ex + ax2 + bx) x2 = 1, 则（ ） x→0
1
【例 1】（2018 年 3）已知实数 a,b 满足 lim [(ax + b)e x − x] = 2, 求 a,b. x→+∞
1
【解】 2 = lim [(ax + b)e x − x] x→+∞
1
1
= lim be x + lim (axe x − x)
x→+∞
x→+∞
1
= b + lim x(ae x −1) x→+∞
(C) ea−b .
(D) eb−a .
【解 2】
【例
7】
lim
x →∞
(2x − 3)20 (3x + 2)30 (2x + 1)50 + x48 (2x − 1)
=
________ .
[( 3)30 ] 2
【例
8】已知
lim
x→∞
(x
+ 1)(2x
+ 1)(3x (2x
+ 1)(4x − 1)β
=
⎪⎪ ⎨
n→∞
⎪
∞, x > 1, 1, x = 1
⎪⎩不存在， x = −1.
2)“1∞ ”型极限常用结论
⎧ 0, x < 0,
lim enx = ⎪⎨+ ∞, x > 0
n→∞
⎪⎩ 1, x = 0.
若 limα (x) = 0 ， lim β (x) = ∞ ，且 limα (x)β (x) = A .
β1,
且
lim
α1 β1
= A ≠ −1. 则α + β
~ α1 + β1.
2.常用等价无穷小 当 x → 0 时,
1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1+ x) ~ ex −1;
(1+ x)α −1 ~ αx, 1− cos x ~ 1 x2 ， ax −1 ~ x ln a, 2
x2 x
+3 −2
−
ax
+
b
⎟⎟⎠⎞
=
0
，则（
）
（A） a = −1,b = 4.
（B） a = 1,b = −4.
（C） a = 1,b = 4.
（D） a = −1,b = −2.
3.（2018 年，数一,4 分）
1
若 lim⎜⎛ 1− tan x ⎟⎞sin kx = e, 则 k = ________ . x→0⎝ 1+ tan x ⎠
2) x − sin x ~ x3 ， 6
tan x − x ~ x3 ， 3
x − ln(1 + x) ~ x2 2
arcsin x − x ~ x3 ， x − arctan x ~ x3
6
3
3) 设 f (x) 和 g(x) 在 x = 0 的某邻域内连续，且 lim f (x) = 1, 则 x→0 g(x)
f (1 + 0) = 1 = f (1) = 1 + a + b 2
则 a+b=1
故 a = 0,b = 1
【例
11】设函数
f
(x)
=
lim
n→∞
x2en(x−1) + ax + en( x−1) + 1
b
连续，问常数 a, b 必须满足什么条件？
⎧ ax + b, x < 1,
【解】
f
(x)
=
⎪1+ a +
1
1
【例 5】（2016 年，数二，数三，10 分）求极限 lim(cos 2x + 2x sin x) x4 .
[e3 ]
x→0
【解 1】
2
【解 2】
【例 6】(2010 年 1)
极限
lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
(
x
−
x2 a)(
x
+
b)
⎟⎟⎠⎞
x
= __________ .
(A) 1. 【解 1】
(B) e .
8
∫ ∫ x
x
f (t)dt ~ g(t)dt
0
0
∫ ∫ x
x
【注】特别的如果当 x → 0 时， f (x) ~ g(x) ，则 f (t)dt ~ g(t)dt .
专题 1：求极限的方法和技巧
(一) 求极限的常用方法
方法 1 利用基本极限求极限
1)常用的基本极限
lim sin x = 1 , x→0 x lim a x −1 = ln a x→0 x
1
lim(1 + x) x = e ,
x→0
(a > 0),
lim n n = 1,
n→∞
lim(1 + 1 ) x = e
【解】
f
(x)
=
⎪
⎪⎪ ⎨
−
1
+
x, a−
x b,
> 1, x=
−1,
⎪2
⎪ ⎪⎩
1+a +b, 2
x = 1.
f (−1 − 0) = −1 = f (−1) = −1+ a − b 2
f (−1+ 0) = a − b = f (−1) = −1 + a − b 2
则 a − b = −1
f (1 − 0) = a + b = f (1) = 1+ a + b 2
x→∞
x
lim n a = 1,(a > 0),
n→∞
lim
x→∞
an xn bm xm
+ +
an−1xn−1 + L + a1x + a0 bm−1xm−1 + L + b1x + b0
=
⎧ ⎪ ⎪ ⎨
an
bm 0,
,
⎪ ⎪
∞,
n = m,
n < m, n > m.
⎩
⎧ 0, x < 1,
lim
xn
.
x → −∞
x2 + sin x
【解 1】原式= lim x → −∞
4+
1 x
−
1 x2
−1−
1 x
1
+
sin x x2
=1
（分子分母同除以 − x ）
【解 2】原式= lim 4x2 + x −1 + lim
x
+ lim
1
(拆项)
x→−∞ x2 + sin x x→−∞ x2 + sin x x→−∞ x2 + sin x
n
=
________ .
[1] 1 − 2a
1
1
1
【例 4】 lim( a x + b x + c x )x ，其中 a > 0, b > 0, c > 0.
x→∞
3
⎡
1
1
1
⎤x
【解】原式 =
lim
→∞
⎢⎢1
+
ax
+
bx + 3
cx
推论：1）若 lim f (x) = A ≠ 0, 则 lim f (x)g(x) = Alim g(x)
lim g(x) = 1 lim g(x) f (x) A
(即:极限非零的因子极限可先求出来)
2）若 lim f (x) 存在，且 lim g(x) = 0, 则 lim f (x) = 0; g(x)
lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = A ± B ；
lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B ；
5
lim f (x) = lim f (x) = A (B ≠ 0) g(x) lim g(x) B
+ f (x) x2
=
_______ .
[−2]
【解 1】
【解 2】
7
【例
7】 lim⎜⎛ n→∞⎝
1 n2
+
3 n2
+L +
2n n
−
2
1
⎟⎞ ⎠
=
lim⎜⎛ n→∞⎝
1 n2
+
2 n2
+L +
2n n2
⎟⎞ − ⎠
lim⎜⎛ n→∞⎝
2 n2
+
4 n2
+
L
2n n2
⎟⎞ ⎠
=
lim
n→∞
2n(2n + 2n2
方法 3 利用等价无穷小代换求极限
1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；
若α
~ α1, β
~
β1
,
则
lim
α β
= lim α1 . β1
2）加、减关系在一定条件下可以换；
(1)
若α
~ α1, β
~
β
1
,
且
lim
α1 β1
=
A ≠ 1. 则α
−β
~ α1 − β1.
(2)
若α
~ α1,β
~
x→0
x
（A） a = 1,b = 1.
（B） a = 2,b = −1.
（C） a = 5,b = 1.
（D） a = 1,b = −1. (D)
3
【例
10】设函数
f
(x)
=
lim
n→∞
x2n+1 + ax2 + x2n +1
bx
，问
a, b
取何值时，
f
(x)
在 (−∞,+∞)
上连续.
⎧ ax2 + bx, x < 1,
则 lim[1 + α (x)]β (x) = eA .
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式 = lim[1 + α ( x)]β (x);
2)求极限
limα(x)β (x) = A;
3)写结果
原式 = eA.
【例 1】
n2 +n+1
lim
n→∞
nn (n +1)n
(n
2
−1) _________ .
【例
3】（1994
年
3）设 lim x→0
ln(1 +
x)
− (ax x2
+
bx 2 )
=
2
则
(A) a = 1, b = − 5 2
(B) a = 0,b = −2
(C) a = 0, b = − 5
(D) a = 1, b = −2
[A]
2
【例 4】（1997 年 2）求极限 lim
4x2 + x −1 + x +1
= 2−1+ 0 =1
【例 5】已知 lim x→0
x − sin x + x4
f
(x)
存在,则 lim x →0
x3 f (x)
=
(
)
(A) − 36
【解】
(B)36
(C)6
(D) − 6
【例
6】设
f
( x) 连续，且 lim x→0
tan 2x + x3
xf
(x)
=
2, 3
则 lim x →0
2
⎨ ⎪ ⎩
2 x2,
b, x
x= > 1.
1,
f (1 − 0) = a + b
f (1) = 1 + a + b 2
f (1 + 0) = 1.
则 a+b=1
练习题
1. lim n (n n − 1) _________ . n→∞ ln(n + 1)
4
2.
已知 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
−
3⎥ ⎥

⎢⎣
⎥⎦
1
1
1
lim( a x + b x + c x − 3)x
x→∞
3
1
1
1
=
1 3
lim
x→∞
(a x
− 1)
+
(b x − 1) 1
+
(c x
− 1)

x
= 1 (ln a + ln b + ln c) 3
= ln 3 abc
原式 = eln 3 abc = 3 abc



[ln 2] e

1

【例 2】
(x + a)(x+a) (x + b)(x+b)