广东省茂名电白区七校联考2022年中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
2．下列运算正确的是（）
A．a﹣3a=2a B．（ab2）0=ab2C．8=22
±D．3×27=9
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为()
A．100°B．110°C．115°D．120°
4．若函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2
C．m＞2 D．m＜2
5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB3BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线A E折叠，得到多边形A FGE，点B、C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D的过程中，则点F运动的路径长为（）
A．πB．3πC．
3
3
πD．
23
3
π
6．如图，反比例函数
k
y
x
（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四
边形ODBE的面积为9，则k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是
A．B．
C．D．
8．如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（）
A ．点A 落在BC 边的中点
B ．∠B+∠1+∠C=180°
C ．△DBA 是等腰三角形
D ．D
E ∥BC
9．由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．关于x 的不等式组24351x x -<⎧⎨-<⎩
的所有整数解是（ ） A ．0，1 B ．﹣1，0，1 C ．0，1，2 D ．﹣2，0，1，2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．
12．ABC ∆内接于圆O ，设A x ∠=,圆O 的半径为r ，则OBC ∠所对的劣弧长为_____(用含x r ，的代数式表示).
13．已知点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()k y k 0x
=
≠的图象上，若12y y >，则k 的值可以取______(写出一个符合条件的k 值即可)．
14．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1=_____°．
cm（结15．如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分图形的面积和为________2
果保留 ）．
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：
商品名称甲乙
进价(元/件) 40 90
售价(元/件) 60 120
设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．写出y关于x的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，
①至少要购进多少件甲商品？
②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
18．（8分）如图1在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．
请判断：AF与BE的数量关系是，
位置关系；如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．
（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．
20．（8分）问题提出
（1）.如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC，AD=CD=3, ∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°，则四边形ABCD 的面积为＿；
问题探究
（2）.如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=2 2，BC=3，在AD、CD 上分别找一点E、F，使得△BEF 的周长最小，作出图像即可.
21．（8分）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．
（1）求证：△GBE∽△GEF．
（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．
（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．
22．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，
且DE=EF．求证：∠C=90°；当BC=3，sinA=3
5
时，求AF的长．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若2，CD=1，则△DCE的周长为．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
解：∵x﹣2y=3，
∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；
故选A．
2、D
【解析】
直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、a﹣3a=﹣2a，故此选项错误；
B、（ab2）0=1，故此选项错误；
故此选项错误；
C822,
D3×27，正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．3、B
【解析】
连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】
如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】
本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
4、B
【解析】
根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．
【详解】
∵函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得m＜-1．
故选B．
5、D
【解析】
点F的运动路径的长为弧FF'的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【详解】
如图，点F的运动路径的长为弧FF'的长，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=
13
3
3
BC
AB
==，
∴∠BAC=30°，
∵∠CAF=∠BAC=30°，∴∠BAF=60°，
∴∠FAF′=120°，
∴弧FF'的长=120323
1803
π
π
⨯
=．
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断出点F运动的路径．
6、C
【解析】
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【详解】
由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，
则OCE OAD k
k
S S 22∆∆==，，
过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG =|k|．
又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，
∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k|，
∵函数图象在第一象限，k ＞0， ∴k k 94k 22
++=． 解得：k=1．
故选C ．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
7、B
【解析】
根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.
【详解】
二次函数y=a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）
∴二次函数开口向下.即B 成立.
故答案选:B.
【点睛】
本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.
8、A
【解析】
根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE 是△ABC 的中位线，所以易得B 、D 答案正确，D 是AB 中点，所以DB=DA ，故C 正确．
【详解】
根据题意可知DE 是三角形ABC 的中位线，所以DE ∥BC ；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD ，∴△DBA 是等腰三角形．故只有A 错，BA≠CA ．故选A ．
【点睛】
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．
9、C
【解析】
试题分析：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=1．故选C．
10、B
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，据此即可得出答案．
【详解】
解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，
解不等式3x﹣5＜1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，
故选：B．
【点睛】
考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、72°．
【解析】
解：∵OB=OC，∠OBC=18°，
∴∠BCO=∠OBC=18°，
∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，
∴∠A=1
2
∠BOC=
1
2
×144°=72°．
故答案为72°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．
12、9090x r π-或9090
x r π- 【解析】
分0°＜x°≤90°、90°＜x°≤180°两种情况，根据圆周角定理求出∠DOC ，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：当0°＜x°≤90°时，如图所示：连接OC ，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=2x°，
∴∠DOC=180°-2x°，
∴∠OBC 所对的劣弧长=(1802)(90)18090
x r x ππ--=， 当90°＜x°≤180°时，同理可得，∠OBC 所对的劣弧长=
(2180)(90)18090x x ππ--= ． 故答案为：
9090x r π-或9090
x r π-． 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．
13、-1
【解析】
利用反比例函数的性质，即可得到反比例函数图象在第一、三象限，进而得出k 0<，据此可得k 的取值．
【详解】
解：点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()k y k 0x
=≠的图象上，12y y >， ∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
k 0∴<，
k ∴的值可以取1-等，(答案不唯一)
故答案为：1-．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14、62
【解析】
根据折叠的性质得出∠2=∠ABD ，利用平角的定义解答即可．
【详解】
解:如图所示：
由折叠可得：∠2=∠ABD ，
∵∠DBC=56°，
∴∠2+∠ABD+56°=180°，
解得：∠2=62°，
∵AE//BC ，
∴∠1=∠2=62°，
故答案为62.
【点睛】
本题考查了折叠变换的知识以及平行线的性质的运用，根据折叠的性质得出∠2=∠ABD 是关键．
15、6
. 【解析】
连接OA,OB,OC ，则根据正六边形ABCDEF 内接于O 可知阴影部分的面积等于扇形OAB 的面积，计算出扇形OAB 的面积即可.
【详解】
解：如图所示，连接OA,OB,OC ，
∵正六边形ABCDEF 内接于O
∴∠AOB=60°，四边形OABC 是菱形，
∴AG=GC,OG=BG ,∠AGO=∠BGC
∴△AGO ≌△BGC.
∴△AGO 的面积=△BGC 的面积
∵弓形DE 的面积=弓形AB 的面积
∴阴影部分的面积=弓形DE 的面积+△ABC 的面积
=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△BGC 的面积
=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△AGO 的面积
=扇形OAB 的面积=260360
1π⨯ =6
π 故答案为
6π.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式，利用数形结合进行转化是解题的关键.
16、1
【解析】
过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，设OF=r ，则OM=80-r ，MF=40，然后在Rt △MOF
中利用勾股定理求得OF 的长即可． 【详解】
过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，
设OF=x ，则OM=80﹣r ，MF=40，在Rt △OMF 中，
∵OM 2+MF 2=OF 2，即（80﹣r ）2+402=r 2，解得：r=1cm ．
故答案为1．
三、解答题（共8题，共72分）
17、 (Ⅰ)103000y x =-+；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【解析】
(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x 的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.
【详解】
(Ⅰ)根据题意得：()()()604012090100103000y x x x =-+--=-+
则y 与x 的函数关系式为103000y x =-+．
(Ⅱ)()40901008000x x +-≤，解得20x ≥．
∴至少要购进20件甲商品．
103000y x =-+，
∵100-<，
∴y 随着x 的增大而减小
∴当20x 时，y 有最大值，102030002800y =-⨯+=最大．
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
18、（1）AF=BE ，AF ⊥BE ；（2）证明见解析；（3）结论仍然成立
【解析】
试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明△ABE ≌△DAF ，然后可得BE=AF ，∠ABE=∠DAF ，进而通过直角可证得BE ⊥AF ；
（2）类似（1）的证法，证明△ABE ≌△DAF ，然后可得AF=BE ，AF ⊥BE ，因此结论还成立；
（3）类似（1）（2）证法，先证△AED ≌△DFC ，然后再证△ABE ≌△DAF ，因此可得证结论．
试题解析：解：（1）AF=BE ，AF ⊥BE ．
（2）结论成立．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴BA="AD" =DC ，∠BAD =∠ADC = 90°．
在△EAD 和△FDC 中，
,
{,,
EA FD ED FC AD DC ===
∴△EAD ≌△FDC ．
∴∠EAD=∠FDC ．
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA ，
即∠BAE=∠ADF ．
在△BAE 和△ADF 中，
,
{,,
BA AD BAE ADF AE DF =∠=∠=
∴△BAE ≌△ADF ．
∴BE = AF ，∠ABE=∠DAF ．
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF ⊥BE ．
（3）结论都能成立．
考点：正方形，等边三角形，三角形全等
19、（1）y=-x 2+2x+1；（2）-m 2+1m ．（1）2.
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C 点坐标，根据平行于y 轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；
（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得F 点坐标，根据平行于y 轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减
较的纵坐标，可得DE 的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m 的方程，根据解方程，可得m 的值．
【详解】
解：（1）∵点A （-1，0），点B （1，0）在抛物线y=-x 2+bx+c 上，
∴10{930b c b c -++=-++=，解得23
b c =⎧⎨=⎩， 此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1；
（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1，
∴C （0，1）．
设BC 所在的直线的函数解析式为y=kx+b ，将B 、C 点的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=⎧⎨=⎩
，解得1{3k b =-=， 即BC 的函数解析式为y=-x+1．
由P 在BC 上，F 在抛物线上，得
P （m ，-m+1），F （m ，-m 2+2m+1）．
PF=-m 2+2m+1-（-m+1）=-m 2+1m ．
（1）如图
，
∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x 2+2x+1，
∴D （1，4）．
∵线段BC 与抛物线的对称轴交于点E ，
当x=1时，y=-x+1=2，
∴E （1，2），
∴DE=4-2=2．
由四边形PEDF 为平行四边形，得
PF=DE ，即-m 2+1m=2，
解得m 1=1，m 2=2．
当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．
当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
考点：二次函数综合题．
20、（1）33，（2）见解析
【解析】
（1）易证△ABD≌△CBD，再利用含30°的直角三角形求出AB、BD的长，即可求出面积.(2)作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’，连接B’B’’,与AD、CD交于EF，△AEF即为所求.
【详解】
（1）∵AB=BC，AD=CD=3, ∠BAD=∠BCD=90°，
∴△ABD≌△CBD（HL）
∴∠ADB=∠CDB=1
2
∠ADC=30°，
∴AB=3
∴S△ABD=1
·
2
AB AD=33
2
∴四边形ABCD的面积为2S△ABD=33
（2）作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’，连接B’B’’,与AD、CD交于EF，△BEF的周长为BE+EF+BF=B’E+EF+B’’F=B’B’’为最短.
故此时△BEF的周长最小.
【点睛】
此题主要考查含30°的直角三角形与对称性的应用，解题的关键是根据题意作出相应的图形进行求解.
21、（1）见解析；（2）y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣
2
3
3
．
【解析】
（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；
（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=
4 4x -
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】
（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠F'=∠CFE，
在△BEF'和△CEF中，
，
∴△BEF'≌△CEF，
∴BF'=CF，EF'=EF，
∵∠GEF=90°，
∴GF'=GF，
∴∠BGE=∠EGF，
∵∠GBE=∠GEF=90°，
∴△GBE∽△GEF；
（2）∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，
∵∠EBG=∠C=90°，
∴△BEG∽△CFE，∴，
由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，
∴BG=4﹣x，
∴，
∴CF=
4
4x -
，
由（1）知，BF'=CF=
4
4x -
，
由（1）知，GF'=GF=y，
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
4 4x -
当CF=4时，即：
4
4x
-
=4，
∴x=3，（0≤x≤3），
即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；
（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵△AGQ与△CEP相似，
∴①△AGQ∽△CEP，
∴∠AGQ=∠CEP，
由（2）知，∠CEP=∠BGE，
∴∠AGQ=∠BGE，
由（1）知，∠BGE=∠FGE，
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，
∴∠BGE=60°，
在Rt△BEG中，BE=2，
∴BG=23
3
，
∴AG=AB﹣BG=4﹣23
3
，
②△AGQ∽△CPE，
∴∠AQG=∠CEP，
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，
∴EG∥AC，
∴△BEG∽△BCA，
∴，
∴，
∴BG=2，
∴AG=AB﹣BG=2，
即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或42
3 3
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
22、（1）见解析（2）5 4
【解析】
（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE=FE，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=
3
,
55
OE r
OA r
==
-
从而可求出r的值．
【详解】
解:（1）连接OE，BE，∵DE=EF，
∴DE=FE
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=3
5
，
∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA=
3
,
55 OE r
OA r
==
-
∴
15
,
8 r=
∴
155
52.
84 AF=-⨯=
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
23、（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值为
317
2
±
或
117
2
±
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）把点B （3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，
得到930{3b c c -++==，解得23
b c ， ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3，
∵y=﹣x 2+2x ﹣1+1+3=﹣（x ﹣1）2+4，
∴顶点D 坐标（1，4）；
（2）①作MG ⊥x 轴于G ，连接BM ．则∠MGB=90°，设M （m ，﹣m 2+2m+3），
∴MG=|﹣m 2+2m+3|，BG=3﹣m ，
∴tan ∠MBA=223
3m m MG BG m
-++=-，
∵DE ⊥x 轴，D （1，4），
∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，
∵B （3，0），
∴BE=2，
∴tan ∠BDE=BE
DE =1
2，
∵∠MBA=∠BDE ， ∴2
23
3m m m -++-=1
2，
当点M 在x 轴上方时，223
3m m m -++- =1
2，
解得m=﹣1
2或3（舍弃），
∴M （﹣1
2，7
4），
当点M 在x 轴下方时，223
3m m m --- =1
2，
解得m=﹣3
2或m=3（舍弃），
∴点M（﹣3
2
，﹣
9
4
），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得317
±
，
当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得117
±
，
∴满足条件的m的值为317
2
±
或
117
2
±
.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24、探究：证明见解析；应用：22
+；拓展：（1）BC= CD-CE，（2）BC= CE-CD
【解析】
试题分析：探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；
（2）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
试题解析：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
应用：在Rt△ABC中，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，
∴△DCE的周长为
故答案为
拓展：（1）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
（2）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为BC=CE-CD．。