眉山市东坡区2020-2021学年第一学期九年级数学期末试卷

眉山市东坡区2020-2021学年第一学期九年级数学期末试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）下列四个实数中，最大的数是（）
A．﹣2B．C．﹣1D．0
2．（4分）下列对于二次根式的计算正确的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣4，4）
4．（4分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（）
A．B．C．D．
5．（4分）一元二次方程（2x+1）2＝2（2x+1）的解是（）
A．B．
C．D．
6．（4分）估计的值应在（）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞1
8．（4分）我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）
A．8%B．9%C．10%D．11%
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F是BD的中点，若AB＝5，则EF＝（）
A．B．C．D．2
10．（4分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（）
A．B．C．D．
11．（4分）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）
A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2
12．（4分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA＝∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB＝2；④BE＝CF．正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．1个
二、填空题：本题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上. 13．（4分）要使二次根式有意义，则x的值是．
14．（4分）将二次函数y＝x2的图象沿x轴向右平移2个单位，平移后的抛物线解析式是．
15．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝．
16．（4分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则＝．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，AE＝3DE，点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P 作PQ⊥EP，交CB于点Q，则BQ的最大值是．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（只填序号）．
三、解答题：第19、20题每小题8分，第21-25题每小题8分，26题12分，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算：．
20．（8分）用公式法解一元二次方程：2x2﹣3x+1＝0
21．（10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC＝BD•AC；
（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．
22．（10分）知识改变世界，科技改变生活，中国北斗导航已经全球组网，走近人们的日常生活．如图，某校组织学生乘车到玉屏山（用C表示）开展研学实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地
的正南方向，且距离A地26千米，导航显示车辆应沿东南方向行驶至B地，再沿南偏西30°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．
23．（10分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”
的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
24．（10分）东坡区农产品资源极为丰富，其中晚熟柑橘远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟柑橘，进价为5元/千克，售价不低于8元/千克，且不超过20元/每千克，根据销售情况，发现该柑橘在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
…42454851…
销售量y
（千克）
售价x
…1815129…
（元/千克）
（1）某天这种柑橘售价为10元/千克．求当天该柑橘的销售量．
（2）设某天销售这种柑橘获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利450元，那么这天柑橘的售价为多少元？
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（2）若AB＝4，CF ＝，求DN的长．
26．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A 的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC 的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．【解答】解：根据题意得：﹣2＜﹣1＜0＜，
则最大的数是，
故选：B．
2．【解答】解：A．+＝2，所以A选项不符合题意；
B．2﹣＝，所以B选项不符合题意；
C．2÷＝2，所以C选项符合题意；
D．2×＝10，所以D选项不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：将点A（﹣1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（﹣1+2，2﹣3），即A′（1，﹣1）．
故选：B．
4．【解答】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为＝，
故选：B．
5．【解答】解：∵（2x+1）2＝2（2x+1），
∴（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，
则（2x+1）（2x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝﹣，
故选：C．
6．【解答】解：原式＝2×+4×
＝2+4×
＝2+2，
∵4＜2＜5，
∴6＜2+2＜7．
故选：C．
7．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1．
故选：A．
8．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得9000（1﹣x）2＝7290，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
9．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝5，∴CD＝AB＝，
∵点E、F分别是BC、BD的中点，
∴EF＝CD＝，
故选：A．
10．【解答】解：如图.过A作AE⊥BC于点E．
∵AB＝AC＝3，BC＝4，
∴BE＝CE＝BC＝＝2，
AE＝＝，
∵点D是边BC上的一个“黄金分割点”，
∴CD＝4×＝2（﹣1），
∴△ADC的面积为＝×2（﹣1）×＝5﹣．
故选：A．
11．【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故选：D．
12．【解答】解：∵∠AGF＝90°，
∴∠DGA+∠CGF＝90°，
∴不能说明∠DGA＝∠CGF，
故①错误；
∵∠DAG+∠DGA＝90°，
∴∠DAG＝∠CGF，
又∵∠ADG＝∠GCF＝90°，
∴△DAG∽△CGF，
故②正确；
如图，连接BD，
由题意得：AC＝BD＝，
∵G，F分别是CD与BC的中点，
∴GF＝，
∵△DAG∽△CGF，
∴，
即，
∴CF＝，
在Rt△GCF中，GF2＝CF2+CG2，
∴（）2＝（）2+CG2，
解得：CG＝1，
∴AB＝2CG＝2，
故③正确；
∵BE＝GC，
∴CF＝，
即BE＝CF，
故④正确，
∴正确的个数是3个，
故选：B．
二、填空题：本题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上. 13．【解答】解：由题意可得，
解得：x＝2，
故答案为：2．
14．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向右平移2个单位，得到平移后的抛物线解析式是：y ＝（x﹣2）2．
故答案为：y＝（x﹣2）2．
15．【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，tan A＝，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
则sin B＝＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝﹣1，
所以＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，PQ⊥EP，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠QPB+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPQ，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APE∽△BQP，
∴，
∵AD＝4，AE＝3DE，
∴AE＝，DE＝4﹣3＝1，
设BQ＝y，AP＝x，则BP＝4﹣x，
∴，
∴y＝﹣+，
∴y＝﹣+，
当x＝2时，y由最大值为，即BQ的最大值为，故答案为：．
18．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝﹣2代入y＝ax2﹣2ax+c得y＝8a+c，
由图象可得x＝﹣2时y＜0，
故③正确，满足题意．
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴4a+2b+c+a﹣b+c＞0，
即5a+b+2c＞0，
故④正确，符合题意．
故答案为：②③④．
三、解答题：第19、20题每小题8分，第21-25题每小题8分，26题12分，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．【解答】解：
＝3﹣4×+1﹣
＝3﹣2+1﹣
＝（3﹣2﹣1）+1
＝0+1
＝1．
20．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
则x＝，
即x1＝﹣1，x2＝﹣．
21．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE•BC＝BD•AC；
（2）解：∵S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，
∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED＝4+5＝9，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝9．
22．【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于点D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，∠BAD＝45°，∠DBC＝60°，设AD＝x千米，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝x千米，
在Rt△BCD中，CD＝BD×tan∠DBC＝x（千米），
∵AC＝AD+CD，
∴x+x＝26，
解得：x＝，
∵∠C＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BC＝2BD＝（）千米，
即BC两地的距离为（）千米．
23．【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
24．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴y＝﹣x+60（8≤x≤20），
∴当x＝10时，y＝﹣10+60＝50，
∴柑橘售价为10元/千克时，当天该柑橘的销售量为50千克；
（2）由题易知m＝y（x﹣5）＝（﹣x+60）（x﹣5）＝﹣x2+65x﹣300，当m＝450时，则﹣x2+65x﹣300＝450，
整理，得x2﹣65x+700＝0，解得x1＝50，x2＝15，
∵8≤x≤20，∴x＝15．
所以这天柑橘的售价为15元．
25．【解答】证明：（1）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴，∴CD2＝CE•CF；
（2）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠ACB＝90°，CD是中线，
∴CD＝AB＝2，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD＝，
由（2）可知，CD2＝CE•CF，
∴CE＝，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴，解得，
由勾股定理得，．
26．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，
∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，
则，解得：，∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，
∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），
∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），
点G的坐标为：（m，﹣m+6），
∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，
∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，
∴m的值为3；
（3）由（2）得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，
∴点D的坐标为：（3，），
分三种情况讨论：
①当DB为对角线时，如图2所示：
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴DN∥x轴，
∴点D与点N关于直线x＝1对称，
∴N（﹣1，），
∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，
∴BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（8，0）；
②当DM为对角线时，如图3所示：
由①得：N（﹣1，），DN＝4，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DN＝BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（0，0）；
③当DN为对角线时，
∵四边形BDNM是平行四边形，
∴DM＝BN，DM∥BN，
∴∠DMB＝∠MBN，
∴点D与点N的纵坐标互为相反数，
∵点D（3，），
∴点N的纵坐标为：﹣，
将y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，
得：﹣x2+x+6＝﹣，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
当x＝1+时，如图4所示：
则N（1+，﹣），
分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，
在Rt△DEM和Rt△NQB中，，
∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），
∴BQ＝EM，
∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，
∴EM＝﹣3，
∵E（3，0），
∴M（，0）；
当x＝1﹣时，如图5所示：
则N（1﹣，﹣），
同理得点M（﹣，0）；
综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（﹣，0）．。