江苏省连云港市高三三模模拟考试

江苏省连云港市2013届高三三模模拟考试
数 学
2013.4
一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共计70分)
1.已知复数i
i
z -+=
21的虚部为 . 2.已知集合2
11{|},{|340,}3
A x
B x x x x Z x =≤=--≤∈,则A B =I .
3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 .
4.根据图中的伪代码,输出的结果I 为 .
5.已知等差数列{}n a 的公差为d ,若12345,,,,a a a a a 的方差为8,则d 的值为 .
6.如下图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中,12,3AB AA ==,点,M N 在棱11,CC BB 上,且1CM B N =,则四棱锥A BCMN -的体积为 .
)(,x ϕωϕ+为常数,0)ω>的部分图像如图所示,则()f π的值为 . 8.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线:30l mx y ++=的距离相等,则实数m 的值为 . 9.已知动圆M 的圆心在抛物线2
:2012x y Γ=上,且与直线503y =-相切,则动圆M 过定点 .
10.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩
⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2013(f 的值为 .
11.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若
3n n
S S 恒为常数,则21a
a 的值为 .
12. 在平面直角坐标系xOy 中,已知P 是函数()ln (1)f x x x =>的图像上的动点，该图像
1T ← 3I ← While 20I < T T I ←+ 2I I ←+
End While Print I
（第6题图）
（第7题图）
（第4题图）
在点P 处的切线l 交x 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ,设线段MN 的中点的横坐标为t ,则t 的最大值为 .
13.若不等式x ＋y ≤ k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，则k 的取值范围为 ．
14.在ABC ∆中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,120C =o
,,,a b c 为整数,且13a b <<,若
5a b c +=+,则ABC ∆的周长为 .
二、解答题(本题共6小题,共计90分) 15.（本题满分14分）
在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,1
sin 5
ac B AB AC bc +⋅=u u u r u u u r .
(1)求tan 2
A
的值;(2)若22a =,求ABC ∆面积的最大值.
16.（本题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,
AD DC ⊥,,E F 分别为,BC PA 的中点.
(1)求证:AD PC ⊥;(2)求证://EF 平面PCD .
17.（本题满分14分）
某个公园有个池塘,其形状为直角ABC ∆,90C ∠=o
,200AB =米,100BC =米.
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(1),使得
//,EF AB EF ED ⊥,游客在DEF ∆内喂食,求DEF ∆面积S 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(2),建造DEF ∆连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF ∆为正三角形,求DEF ∆边长
的最小值.
18.（本题满分16分）
已知函数3
2
()23(1)6()f x x a x ax a R =-++∈.
（第16题图）
（第17题图）
(1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,求实数a 的取值集合; (2)当[1,3]x ∈时,()f x 的最小值为4,求实数a 的值.
19.（本题满分16分）
已知)1,0(A 、(0,2)B 、2(4,21)()C t t t R -∈，⊙M 是以AC 为直径的圆，再以M 为圆心、BM 为半径作圆交x 轴交于D 、E 两点． （1）若CDE ∆的面积为14，求此时⊙M 的方程；
（2）试问：是否存在一条平行于x 轴的定直线与⊙M 相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）求
BD BE
BE BD
+
的最大值，并求此时DBE ∠的大小．
20.（本题满分16分）
数列{}n a 和{}n b 的各项均为正数,且对于任意*n N ∈,2
20122013221)(a a a a a n n n -+=++，
1+=n n a b ，
(1)求
201120132012a a a +及20122014
2013
a a a +值;
(2)求证:数列{}n a 为等差数列;
(3)若数列{}n b 为等比数列,求21a a -的值.
数学附加题
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC AB =，
BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，AC 交⊙O 于点E ， 求四边形ABDE 的周长．
B.选修4－2：矩阵与变换
变换1T 是逆时针旋转2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
． （1）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；
（2）求函数2
y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程. C. 选修4－4：坐标系与参数方程
将曲线C 1：⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=12122
2t t y t x ,化为普通方程，并求C 1被直线:cos()13l πρθ+=所截得的线段长． D ．选修4－5：不等式选讲
证明：*1111
,
21!2!3!!
n N n ∀∈++++<L 22. 必做题 在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线y x 42
=上有两个动点A 、
B ，且满足FB AF λ=, 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求OB OA ⋅的值； （2）证明：FM ⋅为定值． 23．必做题
记(1＋x 2)(1＋x 22)…(1＋x
2n )的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中 n ∈N *．
（1) 求a n ；
（2）是否存在常数p ，q (p ＜q ) ，使b n ＝13(1＋p 2n )(1＋q
2n ) 对n ∈N *，n ≥2恒成立？证
明你的结论．
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参考答案
一、填空题
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 5
3 {-1,3,4} 12
21
2±
3
3-
题号 8
9
10
11 12
13
14 答案
1
2
或6- (0,503) 0
1或3
112e e +（） 2
6
≥k
75
15.(1)tan 22
A
=; (2)1. 16.略.
18. (1){1};
(2)'()6(1)()f x x x a =--．
(i)当a ≤1时，f (x ) 在区间[1，3]上是单调增函数，最小值为f (1)．
由于f (1)=4，即23(1)64a a -++=．解得5
13
a =>（舍去）
． (ii)当13a <<时，f (x )在区间（1，a ）上是减函数，在区间（a ，3）上是增函数，故f (a )为最小值．
f (a )=4，即32340a a -+=．
解得 1a =-（舍去），2a =．
(iii)当a ≥3时，f (x )在区间（1，a ）上是减函数，f (3)为最小值． f (3)=4，即5427(1)184a a -++=．解得23
39
a =<（舍去）
． 综上所述，2a =．
19. （1）2(2,)M t t ，以M 为圆心、BM 为半径的圆方程为224(2)()4x t y t t -+-=+， 其交x
轴的弦4DE ==，21
(21)142
CDE S DE t ∆=⋅-=，2t ∴=±， ⊙M 的方程为22(4)(4)25x y ±+-=；
（2
）∵21MA t =+，2M y t =， ∴存在一条平行于x 轴的定直线1-=y 与⊙M 相切； （3）在BDE ∆中，设DEB θ∠=，11
sin 42422
BDE S BD BE θ∆=⋅⋅=⨯⨯=，∴8sin BD BE θ⋅=
；228
162cos sin BD BE θθ
+-=⨯⨯， ∴2216
cos 16sin BD BE θθ
+=
+， ∴BD BE BE BD
+
=22
2sin 2cos ),(0,42BD BE BD BE ππθθθθ+⎤=+=+∈⎥⋅⎦， 故当4
π
θ=
时，
BD BE
BE BD
+
的最大值为 20. （1）∵2
20122013221)(a a a a a n n n -+=++
∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=2
2012201320142012220132201220132013201122012)
()(a a a a a a a a a a ， ∴⎩⎨
⎧+=+=2012
2014201320132011201222a a a a a a ，
∴
201120132012a a a +2=，201220142013
a a
a +2=；
（2）∵2
20122013221)(a a a a a n n n -+=++，① ∴2
201220133122)(a a a a a n n n -+=+++，②
①-②，得：3122
221--+++++=n n n n n n a a a a a a ，
∴22311++++++=+n n n n n n a a a a a a ）（）
（ 即
1
2
231++++++=+n n n n n n a a a a a a ，
∴数列{
12+++n n n a a a }为常数列，由（1）知21
2
=+++n n n
a a a ， ∴12112a a a a a a n n n n -==-=-+++Λ， ∴数列}{n a 为等差数列；
（3）∵1+=n n a b ，且数列{}n b 为等比数列,
∴,22
1n n n b b b ⋅=++
∴),1()1()1(22
1+⋅+=+++n n n a a a ∴,1122212
1+++=++++++n n n n n n a a a a a a
∴2
222
1)2
(
n n n n n a a a a a +==+++，∴0)(22=-+n n a a ， ∴n n a a =+2，∴n n a a =+1，∴012=-a a .
附加题参考答案
21A 解：因为AB 是⊙O 的直径，所以BC AD ⊥，所以AD 是△ABC 的中线，所以AB AC =＝102，2BD DC ==．
由C B DEC ∠=∠=∠，所以2DE DC ==． 由CE CA CD CB •=•，得CE =
5102，所以105
8
5102102=-
=AE ．
所以四边形ABDE 的周长为44AB BD DE EA +++==+
21B 解：（1）
10110M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，12012111012M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标是'(1,2)P - （2）211110M M M -⎡⎤==⎢
⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是
00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦，也就是⎧⎨⎩000x y x x y -==，即⎧⎨⎩00x y
y y x
==-， 所以，所求曲线的方程是2
y x y -=.
21C 解：),0(1)1(C 221≠=+-x y x ：
弦长为3. 21D 证明：1111112123123n
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ＜211111222n -++++L =2－11
2n -＜2
22解：设)4,(),4,(2
2
2211x x B x x A ,
Θ焦点F （0,1）∴)14,
(),41,(2
2
2211-=--=x x x x ,
Θ λ=,∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=-)14(412
2
2121x x x x λλ,消λ得0)41()14(2122
21=-+-x x x x 化简整理得0)14
)(
(2
121=+-x x x x 21x x ≠Θ421-=∴x x ，1442
2
2121=⋅=
∴x x y y ,
∴32121-=+=⋅y y x x （定值） （2）抛物线方程为241x y =
x y 2
1
='∴ ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为4)(212111x x x x y +-=和4
)(21
2
222x x x x y +-=
即421211x x x y -=和4
21
2
22x x x y -=
联立解出两切线交点M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-+1,221x x
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅∴4,2.221221221x x x x x x AB FM =022212
22122=---x x x x （定值） 23. 解：（1） 根据多项式乘法运算法则，得a n ＝12＋122+…＋12n ＝1－1
2n ．
（2）解法一 计算得b 2＝18，b 3＝7
32
．
代入b n ＝13(1＋p 2n )(1＋q
2
n )，解得p ＝－2，q ＝－1．
下面用数学归纳法证明b n ＝13(1－12n -1)(1－12n )＝13－12n ＋23×1
4n (n ≥2)：
①当n ＝2时，b 2＝1
8，结论成立．
②设n ＝k 时成立，即b k ＝13－12k ＋23×1
4k ．
则当n ＝k ＋1时，
b k +1＝b k ＋a k 2k +1＝13－12k ＋23×14k ＋12k +1－1
22k+1
＝13－12k +1＋23×14k +1． 由①②可得结论成立．
解法二 根据多项式乘法运算法则，得b n +1=b n +a n
2n +1．
所以b n －b n －1＝a n －12n ＝12n －122n －1＝12n －2
4
n (n ≥3)．
所以b n ＝123+124+……+12n －2(143+144+……+14n )+b 2＝13－12n ＋23×1
4n (n ≥3) ．
又b 2＝18也满足上式．所以b n ＝13－12n ＋23×14n ＝13(1－12n -1) (1－1
2n ) (n ≥2)．
所以存在p ＝－2，q ＝－1符合题意．。