最新-2021届高三理科数学重点班一轮复习课件：第二篇第2节 函数的单调性与最值 精品

【即时训练】 (1)函数f(x)=|x-2|(x-4)的单调减区间是( )
(A)[1,2]
(B)[-1,0]
(C)[0,2]
(D)[2,3]
解析:(1)f(x)=|x-2|(x-4)=
x2 6
x2
x 6
x
8, x 8,
2, x 2.
结合函数图象知.
当 x∈[2,3]时,函数 f(x)递减.故选 D.
解析:①错误.函数的单调递增区间应为(-∞,0]和(0,+∞). ②错误.对R上的特殊的-1<3,有f(-1)<f(3),f(x)在R上不一定为增函数. ③错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ④错误.[1,+∞)是单调递增区间的子集. ⑤正确. 若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则x1>x2 时,f(x1)>f(x2);x1<x2时,f(x1)<f(x2). ⑥正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最 值在端点处取到.
解:法一 (定义法)
设-1<x1<x2<1,
则
f(x1)-f(x2)=
ax1 x12 1
-
ax2 x22 1
=
ax1x22
ax1 ax2x12 x12 1 x22 1
ax2
=
a x2 x1 x1x2 1
x12 1 x22 1
.
因为-1<x1<x2<1, 所以 x2-x1>0,x1x2+1>0,( x12 -1)( x22 -1)>0. 因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,
48
4
3
所以
y=
1 3
2
x2
3x
1
在(-∞,
3 4
]上递增.故选
B.
考点三 函数单调性的应用 考查角度 1:求函数的值域或最值.
【例 3】
函数
f(x)=
1 x
,
x
1,
的最大值为
.
x2 2, x 1
解析:当 x≥1 时,函数 f(x)= 1 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值, x
夯基自测
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( D )
(A)y=3-x (C)y=-x2+4
(B)y= 1 x
(D)y=|x|
解析:结合函数的图象易知选D.
2.函数 y=(2k+1)x+b 在 x∈R 上是减函数,则 k 的取值范围是( D )
(A)( 1 ,+∞) (B)(-∞, 1 )
(2)函数
y=
1 3
2 x2
3 x 1
的单调递增区间为(
)
(A)(1,+∞)
(B)(-∞, 3 ] 4
(C)( 1 ,+∞) (D)[ 3 ,+∞)
2
4
解析：(2)令 u=2x2-3x+1=2(x- 3 )2- 1 . 48
u=2(x- 3 )2- 1 在(-∞, 3 ]上递减,函数 y=( 1 )u 在 R 上递减.
x
(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,x1<x2,但 f(x1)>f(x2) 不成立.
3.当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的 单调增区间(减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如:函数y=x3-3x的单调增 区间有两个:(-∞,-1)和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞). 4.函数一定存在值域,那么它一定存在最值吗? 提示:对一个函数来说,其值域是确定的, 但它不一定有最值,如函数 y=x3.如果函数有最值,其最值一定是值域中的一个元素.
间为[- a ,0)和(0, a ],且对勾函数为奇函数.
2.设任意 x1,x2∈[a,b],且 x1<x2,那么
(1) f x1 f x2 >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; f x1 f x2 <0⇔
x1 x2
x1 x2
f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. 3.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b); 若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).
(3)对于任意的x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M ;
(2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M .
(f4()x存0)在=Mx0∈I.,使得
M为最大值
M为最小值
【重要结论】
1.“对勾函数”y=x+ a (a>0)的增区间为(-∞,- a ]和[ a ,+∞);减区 x
2
所以函数 f(x)= log1 (x2-2x-3)在(3,+∞)上单调递减.
2
故选 A.
反思归纳 求函数单调区间的常见方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数, 再求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由 图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.
所以函数 f(x)在(0, a ]上是减函数;
当 a <x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
所以函数 f(x)在( a ,+∞)上是增函数.
(教师备用)法二 (导数法)
因为 f(x)=x+ a ,所以 f′(x)=1- a .
反思归纳比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然 后利用函数的单调性求解.
考查角度3:利用函数的单调性解决不等式问题.
高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅱ,2015高考新课标全国卷Ⅱ
【即时训练】 判断函数 f(x)=x+ a (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x
解:法一 (定义法)
设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=(x1+ a )-(x2+ a )= x1 x2 (x1x2-a).
x1
x2
x1x2
当 0<x1<x2≤ a 时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),
即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.
(教师备用)法二 (导数法)
a x2 1 2ax2 a x2 1
f′(x)=
=
.
x2 1 2
x2 1 2Βιβλιοθήκη 又 a>0, 所以 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.
反思归纳 判断函数单调性的方法 (1)定义法:取值,作差,变形,定号,判断. (2)利用复合函数关系:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合 函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减 函数,简称“同增异减”. (3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.
4.函数 f(x)= 2x 在[1,2]上的最大值和最小值分别是
.
x 1
解析:f(x)= 2x = 2 x 1 2 =2- 2 在[1,2]上是增函数,
x 1 x 1
x 1
所以 f(x)max=f(2)= 4 ,f(x)min=f(1)=1. 3
答案: 4 ,1 3
5.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则
(2)已知函数 f(x)= log1 (x2-2x-3),则使 f(x)为减函数的区间是( )
2
(A)(3,6) (B)(-1,0) (C)(1,2) (D)(-3,-1) 解析：(2)令 u=x2-2x-3>0,解得 x>3 或 x<-1.
又 u=x2-2x-3 在(3,+∞)上单调递增,y= log1 u 在(0,+∞)上单调递减,
(A)(-∞,0)
(B)[0, 1 ] 2
(C)[0,+∞) (D)( 1 ,+∞)
解析:(1)y=|x|(1-x)=
2
x1 x x1
, x x,
0, x0
=
x2 x,
x2
x,
x
x
0
0,
=
x
x
1 2
1 2 2
2
1 4
1, 4 ,x
x
0, 0.
画出函数的草图,如图.
由图易知原函数在[0, 1 ]上单调递增.故选 B. 2
2
2
(C)(- 1 ,+∞) (D)(-∞,- 1 )
2
2
解析:由 2k+1<0 得 k<- 1 . 2
3.给出下列命题: ①函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪(0,+∞). ②若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数; ③函数y=|x|是R上的增函数; ④函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞); ⑤对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x) 在D上是增函数. ⑥闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到. 其中正确的是( D ) (A)①② (B)③④ (C)④⑤ (D)⑤⑥
是增函数
是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 上升的
自左向右看图象是 下降的
(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或减函数,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 条件 结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
第2节 函数的单调性与最值
最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小) 值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象 分析函数的性质.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.由增减函数的定义,判断并证明一个函数在某一区间上具有单调性 的步骤有哪些? 提示:取值→作差→变形→判号→定论. 2.若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数,则函数f(x)在区间 C∪D上是增(减)函数吗? 提示:不一定.如 f(x)= 1 ,在区间(-∞,0)及(0,+∞)上都是减函数,但在
1.函数的单调性
知识梳理
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间
定 义
D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) , 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,
那么就说函数 f(x)在区间 D 上 那么就说函数 f(x)在区间 D 上
(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0
解析:因为函数 f(x)=log2x+ 1 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, 1 x
所以当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0.故选 B.
f(1)=
.
解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x=- m = m =-2,即 m=-16, 88
从而 f(x)=4x2+16x+5,
f(1)=4+16+5=25.
答案:25
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 函数单调性的判断
【例 1】 判断函数 f(x)= ax (其中 a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x2 1
x
x2
由 f′(x)>0 得 1- a >0,即 x2>a,解得 x> x2
a.
由 f′(x)<0 得 1- a <0,即 x2<a,解得 0<x< x2
a.
所以 f(x)在(0, a ]上为减函数,在( a ,+∞)上为增函数.
考点二 求函数的单调区间 【例 2】 (1)函数 y=|x|(1-x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( )
为 f(1)=1;当 x<1 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为
f(0)=2.
故函数 f(x)的最大值为 2.
答案:2
反思归纳利用单调性求最值,一般先确定函数的单调性,然后再由单调 性求出最值.
考查角度 2:比较函数值的大小.
【例 4】 已知函数 f(x)=log2x+ 1 ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( ) 1 x