初中数学 探索三角形相相似的条件教案

（一）“相似三角形的判定”一课的教学设计 教学目标：
1.掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。

2.经历“观察－探索－猜测－证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。

3.通过相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。

4.通过合作交流、自主评价改进学生的学习方式及学习质量，逐步形成正确的数学价值观。

教学环节 教师活动
学生活动 板书
复习提问
你知道的有关相似三角形的知识有哪些？
（1）相似三角形的定义及预备定理。

（
在△ABC 和△A 1B 1C 1中：
1
11111C A AC C B BC B A AB =
=
∠A=∠A 1，∠B ＝∠B 1、，∠C ＝∠C 1
创设情景
利用已有知识，能否解此
题？如图，在边长为1个单位的方格纸上有△ABC 和△BDE ，猜测△ABC 与△BDE 是否相似。

若相似，能证明吗？
E
A
B
C
D
你能用最少的条件法画一个三角形与我手中的三角形相似吗？（从上题中选取含60°，45°，75°的三角形）
当运用已知知识（预备定理和定义）来证明这两个三角形相似面临困难时，产生寻求更为有效的、简便的判定方法需求？--------------“最少的条件”
课题：相似三角形的判定
探求新知
利用相似三角形定义条
小组讨论
一个角对应相等
A1
A
B
C
B1
C1
C
B
A
60°
45°
75°
2．证明过程：
方案二、画画
学生按照方案一画△A′B′C′，使∠A′=∠A=60°，∠B′=∠B=45°要求：把作图时用到的数据标在三角形对应位置上。

①同桌先比较所作三角形，进行形状直观判定；
②在实物投影仪上把学生画的三角形与老师手中的三角形进行比较形状是否相同。

③得出猜测：如果两个角对应相等，能判定两个三角形相似。

〖在此过程中，给学生充分的时间观察、交流、画图、比较，从自己动手操作、实验得出判定条件，能让学生产生自豪感及满足感，培养学生的自信心。

〗
①教师出示已知三角形的六个数据。

②比较∠C 和∠C ′是否相等，测量三边长度，探求C B BC C A AC '
'''''、、B A AB 是否相等。

（为说明比值误差可以忽略，教师可以通过几何画板来验证比值相等。

） ③引出判定条件1：两角对应相等，两三角形相似。

学生文字叙述，教师结合图形写出几何语言。

〖动手实验，直观判断，更需理性思考，猜测需要合情的逻辑推理给于保障〗
方案一：教师进一步抓住“最少的条件”这一要求，若学生在探求中说出“一角相等”或“两边对应成比例”条件下三角形相似的问题，就可顺势利导展开讨论；若学生没有出现这一问题，教师可以反问学生这两种“最少的条件”是否可行，（这两种条件下问题的研究教师可以用多媒体演示或让学生讨论演示解决），从而真正理解“最少的条件”确定三角形形状。

选择第一种方案作为本课的研究对象，后两种方法将作后续学习。

方案四：
方案五：
方案六：
（二）课堂教学行为的变化
在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。

1、基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。

在学生已回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后，教师鼓励学生利用已有的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。

请看以下片断。

1．师：刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质，以及全等三角形的判定方法，结合这些知识，请你思考一下，在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三角形的相似，讨论后回答。

（学生讨论，教师巡视并给学生一些建议）
2．生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1（学生口述，教师板书）
3．师：还有吗？
4．生：AB/A1B1=AC/A1C1,且∠A=∠A1。

（学生口述，教师板书）
5．师：还有吗？
6．生：AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1；（板书）还有比较复杂的。

7．师：噢，没关系，你说说看。

8．生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1，AB/A1B1= BC/B1C1（板书）
9．师：好，请坐。

他们小组得到了四种，其他小组看一看。

有什么意见吗？
10．生：前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要这两个角相等，就能判定这两个三角形相似的话，后面的比例式AB/A1B1= BC/B1C1是多余的。

11．师：你们同意吗？噢，同意的。

在上述师生互动中，教学鼓励学生根据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨论猜测三角形相似的判定条件（1-6），进一步在同伴的帮助下，明晰判定条件（8—11），经历构建知识的活动体验。

1.师：请你说说你们的想法。

2.生：已知：在△ABC与△A1B1C1，AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1
3.师：他要证的是“三边对应成比例，两三角形相似”
4.生：在△ABC中取AD＝A1B1
5.师：在哪条边上取？
6.生：在AB上截取AD＝A1B1，在AC上截取AE＝A1C1，连结DE，可以证出△ADE≌△A1B1C1
7.师：很好，怎么证明这两个三角形全等？
8.生：AD＝A1B1，AE＝A1C1，然后……（学生证不下去了）
9.师：他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难谁能帮助他，好你来说说。

10.生：因为AD＝A1B1，AE＝A1C1，且A1B1∕AB＝AC/A1C1，所以AD∕AB＝AE∕AC，所以DE∥BC，所以AD∕AB＝DE∕BC，又因为A1B1∕AB＝BC/B1C1，所以DE＝B1C1，所以△ADE≌△A1B1C1，又因为DE ∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以△ADE∽△ABE。

在上述片段中，先是一位同学上黑板报告他们小组讨论的结果：证明“三边对应成比例，两三角形相似”，可是讲到一半，这位学生“卡”住了（1-8）。

此时，老师并没有急着将正确的证明教给学生，而是鼓励其他同学帮助这个同学修正和发展这一证明（9,10）。

这样，教师仅作为问题的提供者，而将发言权交给学生，教学任务是在学生自主学习中完成的，学生成为学习的主体。

3、反思交流，逐渐明晰化
学生对概念或性质的理解通常经历一个从朦胧（也许包含一些错误的理解）到明晰，再到灵活应用的过程，而这一过程是需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成的。

自我反思在这一过程中起着关键的作用。

在这节课中，一开始，有一位学生提出“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”，而且在教师的追问下，她一再坚持这个说法是正确的，考虑学生说法内含一定的合理成分，但仅靠学生的当时知识基础难以解释，老师说“这个问题留着，新课上完后我们再来讨论”。

这样很自然地为学生设计了一个反思的问题。

等到介绍完了三个判定定理，把学生引向到讨论是否“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”。

师：我们再回到史莹璐提出的这个问题。

“全等三角形的判定方法都可以用在相似三角形的判定上”。

刚才，史莹璐同学还是认为她的观点是对的。

噢，你说说。

生（史莹璐）：我现在认为，比如，全等中的S、S、S［边、边、边］只要把它的［对应］“相等”改为［对应］“成比例”，就可以用在相似三角形的判定中了。

师：对，这样就对了。

通过上述对话，学生通过这节课的学习与反思，把自己的观点明晰化，把原先原始的直觉观点，精致成为科学的论断。

这种过程的呈现，不仅对这位同学是一个主动学习与内化的过程，也促进了学生之间互相启发、取长补短的学习共同体的形成。

（三）教师理念、行为的转变
1、课堂整体设计的转变
（1）重视现代信息技术的应用
现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对于改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用能力、改进学习方式起到了重要作用。

在第一次教学设计中，多媒体仅仅用作呈现教学材料的目的，而在第二次教学设计中，充分考虑如何用多媒技术来展示证明的思想方法及过程，以及通过图形的变换来揭示问题之间的内在联系，这样较好地把技术与数学学习的本质结构起来。

正如在课后访谈中，同学在回答“今天这堂课留给你最好印象是什么？”时，有的说“充分利用学校的硬件设备，使课堂变得生动、形象，我很喜欢”。

也有同学答道：“多媒体教室里设备齐全，可以使老师做好充分准备，以致于不会浪费时间，毕竟四十分钟很有限”。

的确，现代技术与课程内容整合，可将数学中抽象的内容直观化，展示思维的过程，对于改进教学，提高教学质量有着积极作用。

（2）任务的创设与使用
课堂总是围绕某些任务（或问题）而展开的。

一个精心设计的问题，不仅可以用来激发学生学习新知识的动机，也可用来作为应用学习新知识的载体，更可通过适当的变式而把问题解决延伸到课堂以外，拓广学生探究的空间。

在这节课中贯穿始终的只有一个任务（即判定方格纸中两个三角形的相似性），在课的开头，它作为揭发学生探究“三角形相似判定”的情境；在学习了新知识后，
它成为学生运用新知来解决此问题自然平台，使学生有学以致用的成就感；此外，当学生解决了这个问题时，教师再将此题引伸形成新的具有挑战性的问题，并将问题延伸到课后。

这样不仅使这节课前后呼应，内在一致，而且为学生的主动探究，从情感与认知两方面都提供了合理的载体。

这样的教学往往给人新鲜的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而产生主动参与的动力。

然而，在第一次教学设计中，任务的创设主要是作为激发学习动机的情境。

而在第二次教学设计中，创设的任务贯穿于整个课堂：激发动机，知识应用，课后探究。

2、课堂关注点的改变
在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。

例如，在本节课的教学中，会把学生是否掌握相似三角形的判定定理作为教学成功与否的唯一标准。

而在这节课的处理时，教师更关注对思想方法的理解。

本课由类比全等三角形的判定猜想得到相似三角形的判定，企盼在这一过程中，学生能了解两者的内在联系，理解蕴含在其中的辩证唯物主义思想。

在证明相似三角形判定定理的过程中，始终贯彻“化归”的思想，从而达到突破数学难点的目的。

此外，我们更关注学生的学习方式。

从形式上，将课堂教学的空间形式由原来的秧田座位排列改为T型排列，缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间的相互交流的机会，形成合作学习的课堂氛围。

从本质上，这节课的教学试图体现对“相似型”知识的学习方式：利用已有知识，通过类比与化归来构建新知。

探索三角形相相似的条件
〖开门见山提出本课要研究的问题，明确学习目标。

引出学习的模板，激发学生的学习欲望，顺利实行旧知到新知的迁移〗
二、合作交流，探索结论
活动一：找找、比比，直观感觉
我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请同学们帮个忙，从这八个三角形中找出相似的三
角形。

并直观展示一下你是怎样判定两个三角形相似。

〖从感觉本能出发启发一些理性思考，为活动二奠定基础。

培养直觉思维能力。

〗活动二：说说、画画，动手感知
你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与我手中的三角形相似吗？（从上题中选取含60°，45°，75°的三角形）
1、说说
要求：小组讨论画图思路，推选代表口述方法，全班交流。

在全等三角形判定的探索方法启发下，学生可能会出现的方案：
60°45°
75°
C
B A
方案一：两角对应相等
方案二：两边对应成比例，夹角相等 方案三：三边对应成比例。

教师进一步抓住“最少的条件”这一要求，若学生在探求中说出“一角相等”或“两边对应成比例”条件下三角形相似的问题，就可顺势利导展开讨论；若学生没有出现这一问题，教师可以反问学生这两种“最少的条件”是否可行，（这两种条件下问题的研究教师可以用多媒体演示或让学生讨论演示解决），从而真正理解“最少的条件”确定三角形形状。

选择第一种方案作为本课的研究对象，后两种方法将作后续学习。

2、画画
学生按照方案一画△A ′B ′C ′，使∠A ′=∠A=60°，∠B ′=∠B=45° 要求：把作图时用到的数据标在三角形对应位置上。

①同桌先比较所作三角形，进行形状直观判定；
②在实物投影仪上把学生画的三角形与老师手中的三角形进行比较形状是否相同。

③得出猜测：如果两个角对应相等，能判定两个三角形相似。

〖在此过程中，给学生充分的时间观察、交流、画图、比较，从自己动手操作、实验得出判定条件，能让学生产生自豪感及满足感，培养学生的自信心。

〗
活动三：合情推理，验证猜想
你会用数学知识说明所作三角形为什么相似吗？ ①教师出示已知三角形的六个数据。

②比较∠C 和∠C ′是否相等，测量三边长度，探求C B BC C A AC '
'''''、、B A AB 是否相等。

（为说明比值误差可以忽略，教师可以通过几何画板来验证比值相等。

） ③引出判定条件1：两角对应相等，两三角形相似。

学生文字叙述，教师结合图形写出几何语言。

〖动手实验，直观判断，更需理性思考，猜测需要合情的逻辑推理给于保障〗 三、应用拓展，达成目标 1．做一做，初步应用
判断题：①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（ ）
②所有的直角三角形都相似。

（ ）
③有一个角相等的两个等腰三角形相似。

（ ） ④顶角相等的两个等腰三角形相似。

（ ） ⑤所有的等边三角形都相似。

（ ） 2.学一学，达成目标
例：如图，D 、E 分别是△ABC 这AB 、AC 上的点，DE ∥BC ⑴图中有哪些相等的角？
⑵找出图中的相似三角形，并说明理由。

⑶写出三组成比例的线段。

解：⑴ DE//BC
∠ADE 与∠ABC 是同位角 ∠ADE =∠ABC ，∠AED = ∠ACB
∠AED 与∠ACB 是同位角 ⑵△ADE ∽△ABC 理由是：
∠ADE =∠ABC △ADE ∽△ABC ∠AED = ∠ACB
⑶△ADE ∽△ABC AB AD =BC DE =AC
AE
〖本例通过系列问题的设置和解决，降低难度，使难点予以突破，同时使学生在获得新知的
情况下，体验成功，从而增加对数学的兴趣。

〗 3．想一想，发散探究
⑴在上面的例题的条件下，AD AB =AE AC 吗？AD BD =AE CE 吗？（学生画图，交流，老师用多媒体演
示出来。

）
解：由DE//BC 得，AB
AD =AC
AE
根据比例基本性质得：
AD AB =AE
AC 即AD DB AD +=AE CE AE + 两边同时减去1，得
AD DB AD +—1=AE CE AE +—1 即AD BD =AE
CE
⑵若DE 与BC 不平行，△ADE 与△ABC 还可能相似吗？说明理由。

〖例题及想一想1意在渗透平行与相似的内在联系，同时，有意识地渗透了简单逻辑推理的思
A B
C D E
想。

想一想2又开启新的探索，为下面的变式训练作铺垫，承前启后。

〗
⑶活动四：同伴互助，变式训练
变式一：如图，直线a 、直线b 相交于点A ，点B 、C 分别在直线a 、直线b 上，在直线a 、直线b 上分别找两点D 、E ，使△BAC 与△DAE 相似，请尽量多地画出点D 、E 的位置。

学生发挥自己的想象力，按照自己的思考来设计。

交流时，教师可以用几何画板演示。

〖变式一旨在用几何图形运动变化的观点揭示常见相似三角形的“基本图形”，较好地提高了学生识图、作图能力〗
〖这里安排四人小组合作学习，共同分析，交流多样化的答案，使课堂气氛达到高潮。

既进一步强化了学生对判定定理1的认识，又可以训练学生的发散思维，培养灵活运用知识的能力，增强学生的创新意识和创新能力。

〗
变式二：如图，G 是
ABCD 的CD 延长线上一点，连结BC 交对角线AC 于E ，交AD 于F ，则：
(1)图中与△AEF 相似的三角形有_______． (2)图中与△ABC 相似的三角形有_______． (3)图中与△GFD 相似的三角形有________．
解后反思：运用条件一判定两个三角形相似时，如何照准两对相等
的角？
要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等．
〖变式二紧承变式一，将刚刚得到的几种相似三角形的 “基本图形”和谐统一起来。

并且通过问题串的设置，突破了找相等角的难点。

为学生提供成功机会。

〗 4、试一试，解释生活
故事激趣《拿破仑测莱茵河宽度》
“共角”型 A
B C
D E
“共角共边”型 A
B C D
“X”型 A B C D
E “蝴蝶”
D
A E B
C
“A”型 A
C B
D E
“A”型 A
E D B
C
1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战。

当时德俄联军在北岸步阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河。

法军要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度。

拿破仑为此大伤脑筋。

站在南岸远望德俄阵地。

忽然，他观察到对面岸边的一个标志O ，于是他想出了一个测量河宽的办法。

他在自己的岸边选点A 、B 、D ，使得AB ⊥AO ，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C 。

然后测得AC=120米。

CB=60米，BD=250米，你能帮助他算出莱茵河的宽度
吗？
〖与课后练习3属同一数学模型，但引用历史名人的故事更能激发学生的学习兴趣。

〗 四、归纳总结，深化目标
设问：“通过这节课的学习有什么收获？”
同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳。

①判定三角形相似的条件1。

②几种相似三角形的 “基本图形”。

③应用“两角对应相等，两三角形相似”时，要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等。

〖让学生自己小结，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力，活跃了课堂气氛。

〗
1、如图，点B 、D 和C 、E 分别在∠A 的两边上，BE ⊥AC 于E 点，CD ⊥AB 于D 点，BE 和CD 相交于点F ，图中有几对相似三角形，并任你选一对说明理由。

2、如图，已知D 是△ABC 的边AB 上任一点，DF∥AC 交BC 于E ．AF 交BC 于M ，且∠B=∠F，△AMC∽△BDE 吗？请说明理由。

Ｏ
Ａ
ＢＤ
Ｃ
第2题图
A
B
C
D
E F
第1题图
〖让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生。

体现分层教学的原则。

〗
【教学设计说明】
《数学课程标准》要求：让学生成为行为主体“动手实践、自主探索、合作交流 ”。

以上述思想为出发点，本节课的教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

⒈ 教学流程：温故知新——直观感觉——实验探究——讨论交流——应用拓展
⒉ 关于探索
两个三角形相似的条件一的探索，本设计没有按照教科书那样直接指导学生按部就班地画一个角，两个角这样的程序进行。

而是首先在新旧知识的转折处，创设有助于学生自主学习的问题情境——如何画一个三角形与已知三角形相似。

引导学生探索多种方案，而后选择其一，深入研究。

使学生经历“直观感觉――动手感知――理性思维”的活动过程，在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

真正感受数学创造与探索的乐趣。

⒊ 关于应用
三角形相似的判定方法1的应用是本节的一个重点，在运用时，如何找准相等的两组对应角是一个难点。

本设计注重了习题的发展性作用，层层深入，逐一突破难点。

同时根据变式分层的思想，设计具有一定跨度的问题串，组织学生进行变式训练，使每个学生都得到充分的发展。

⒋课堂组织
本课采用“自主探索，合作交流”这一教学组织形成鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，能在倾听别人意见的过程中，逐渐完善自己的想法，感受到与同伴交流中获益的快乐。

⒌评价方式：本章定位于以直观几何为主体、附以一定程度上的说理和简单推理。

本节课关注的是学生能否主动参与小组合作，积极探索。

为此，教师要特别关注学生个性化的学习需求以及对个性化学习的恰当评价在课堂教学中，给学生留有充足的时间，发表自己的观点，教师应及时表扬和鼓励，这有助于学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。

做一做
学一学 初步应用
深化目标 想一想 发散探究 达成目标 变一变 试一试 解释生活
1、要证△ABC 与△A ′B ′C ′，已知∠A=∠A ′，还需添加 。

2、如图，G 是
ABCD 的CD 延长线上一点，连结BC 交对角线AC 于E ，交AD 于F ，则：
(1)图中与△AEF 相似的三角形有_______ 。

(2)图中与△ABC 相似的三角形有_______ 。

(3)图中与△GFD 相似的三角形有________ 。

3、如图，点B 、D 和C 、E 分别在∠A 的两边上，BE ⊥AC 于E 点，CD ⊥AB 于D
点，BE 和CD 相交于点F ，图中有几对相似三角形，并任你选一对说明理由。

1、已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=3㎝，AO CO =32，求AB 的长。

2、（提高思考题）如图，点D 是不等边△ABC 边AB 上一点，过点D 作一条直线，
使它与另一边相交所截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作几条？为什么？
A B C D E F
第3题图 第4题图 第5题图
A B
C D O
A B C · D。