2015年高考数学总复习精品课件：第3章 第4讲 幂函数

是( )
1
1
A．①y＝ x3 ；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
1
D．①y＝ x3 ；②y＝ x2 ；③y＝x2；④y＝x－1
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1
解析：y＝x2 为偶函数，对应②；y＝ x2 定义域 x≥0，对应
第4讲 幂函数
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考纲要求
考情风向标
从近两年的高考试题来看，幂函数一
般不单独命题，而常与指数函数、对
1.了解幂函数的概念． 数函数交汇命题，命题一般为选择
2.结合函数 y＝x，y＝x2 ，题、填空题中的一部分内容，主要考
y＝x3，y＝1
1
，y＝x 2
的图
查幂函数的图象及性质．
＋9≥0 恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等 式恒成立的常规问题．
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解：(1)若 f(x)为幂函数，
则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± . 2
(2)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋＋m2m－≠10＝1， ⇒m＝1.
(3)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋＋m2m－≠10＝－1， ⇒m＝－1.
(4)若 f(x)为二次函数，
则mm22＋＋m2m－≠10＝2，
⇒m＝－1±2
x 象，了解它们的变化情况.
预计 2015 年高考对幂函数的考查仍 将与指数函数、对数函数知识交汇命
题，重点考查函数的图象及性质.
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1．幂函数的定义
一般地，形如___y_＝__x_α _(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α是常数．
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1
2．函数 y＝ x3 的图象是( B )
1
解析：因为 y＝ x3 ，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则 只剩 B，C.由特殊点(8,2)，18，12.可排除 C.
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3. 已知点 33， 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)( A )
A．是奇函数
函数；②当α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
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xm2 m1
【互动探究】
1．已知函数 f(x)＝(m2＋2m)· xm2m1，当 m 为何值时， f(x)是
(1)幂函数？ (2)正比例函数？ (3)反比例函数？ (4)二次函数？
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___c_4，___c_2，__c_3_，__c_1__.
图 3-4-2
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5．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，y＝f(x)的解析
1
式为 y＝____x__2 _. 解析：由幂函数的定义：y＝xα 可知， 2＝2α，∴α＝12，
1
∴y＝ x2 .
C.13，12
D.0，13
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1
1
解析：设
f(x)＝12x－
1
x3
，f(0)＝1>0，f13＝
1 2
3
－
1 3
3
，由
1
1
1
于幂函数
y＝
1
x3
单调递增，得
f13＝
1 2
3
－
1 3
3
>0；f12＝
1 2
2
1
1
1
－
1 2
3
，由于指数函数
y＝12x
2．幂函数的图象
1
五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x2 ，y＝x－1 的图
象，如图 3-4-1.
图 3-4-1
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3．幂函数 y＝xα的图象，在第一象限内
直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α_____由__小_到__大__； y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α_____由__小__到_大__.
单调递减，得
f12＝
1 2
2
－
1 2
3
<0.
故选 C.
答案：C
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【方法与技巧】本题表面是考查零点存在性定理，其实质
1
1
1
是比较
1 2
3
，
1 3
3
，
1 2
2
的大小.比较两个幂的大小，如果指数
相同而底数不同(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来
比较大小；如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利
可得
x
1 2
＝12x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图
象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．故选 B.
答案：B 【方法与技巧】本小题表面上考查的是零点问题，实质上
考查的是函数图象问题，该题涉及幂函数和指数函数的图象．
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【互动探究】
2．下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
非奇非偶
奇
增
(－∞，0)减 (0，＋∞)减
(1,1)
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1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是(
C)
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
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③；y＝x－1 为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3
1
1
与 y＝ x3 均为奇函数，但 y＝x3 比 y＝ x3 增长率大，故①对应
y＝x3.
答案：B
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考点 3 比较大小
例
3：若
x0
是方程12x＝
1
x3
的解，则
x0
属于区间(
)
A.23，1
B.12，23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13 .
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考点 2 幂函数的图象
例
2：(2012
年北京)函数
f(x)＝
x
1 2
－12x
的零点个数为(
)
A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
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解析：函数
f(x)＝
1
x2
－12x
的零点，即令
f(x)＝0，根据此题
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：设 f(x)＝xα，则 33α＝ 3，故 α＝－1，因此 f(x)＝ x－1，所以 f(x)是奇函数．故选 A.
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4．如图 3-4-2，曲线是幂函数 y＝xα在第一象限内的图象， 已知α分别取－1，1， 12，2四个值，则相应图象依次为：
；
2
2
由
y＝
x
2 3
在(0，＋∞)单调递增知
1 5
3
<
1 2
3
.
第二十三页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
思想与方法 ⊙转化与化归思想在幂函数中的应用
例题：(2011 年皖北大联考)已知幂函数 f(x)＝ xm22m3(m∈ Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 g(x)＝14 f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中 a，b∈R.
若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
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解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即 m2－2m－3<0. ∴－1<m<3.又 m∈Z，∴m＝0,1,2. 而当 m＝0,2 时，f(x)＝x3 不是偶函数．
即m>12或m<－2， 或－2<m<12，
0<m<2
m>2或m<0，
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∴12<m<2 或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故函数 f(x)为奇函数． 【方法与技巧】(1)幂函数 y＝xα的特点： ①系数必须为 1；②指数必须为常数． (2)幂函数的单调性：①当α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增
当 m＝1 时，f(x)＝x4 是偶函数， ∴f(x)＝x4.
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(2)g(x)＝x44＋ax3＋92x2－b，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)， 显然 x＝0 不是方程 x2＋3ax＋9＝0 的根． 为使 g(x)仅在 x＝0 处有极值，必须 x2＋3ax＋9≥0 恒成立， 即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得 a∈[－2,2]． 这时，g(0)＝－b 是唯一极值．∴a∈[－2,2]．
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【方法与技巧】(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 得幂指数－m2＋2m＋3>0，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋ 2m＋3 为偶数．
(2)若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，抓住关键字“仅”，意
味着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则 x2＋3ax
【互动探究】
3．下列不等式正确的是( D )
2
2
1
A.
1 2
3
<
1 5
3
<
1 2
3
2
1
2
C.
1 5
3
<
1 2
3
<
1 2
3
1
2
2
B.
1 2
3
<
1 2
3
<
1 5
3
2
2
1
D.
1 5
3
<
1 2
3
<
1 2
3
2
1
解析：由
y＝12x
在(－∞，＋∞)单调递减知
1 2
3
<
1 2
3
第五页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
1
4．五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x2 ，y＝x－1
的性质
幂函数
定义域
值域 奇偶性 单调性 定点
y＝x
y＝x2 y＝x3
R
R
R
R
[0，＋∞) R
奇
偶
奇
增
(－∞，0)减 (0，＋∞)增
增
(0,0)，(1,1)
1
y＝x 2
y＝x－1
[0，＋∞)
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考点 1 幂函数的概念
例 1：已知 m∈N*，函数 f(x)＝(2m－m2)·x2m23m2在 (0， ＋∞)上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性．
解：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
得22mm2－＋m32m>－0 2>0， 或22mm2－＋m32m<－0，2<0，
用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不 同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0,1 或由一个 幂的底数和另一个幂的指数组成的幂．注意：指数函数 a>1 时
单调递增，0<a<1 时单调递减；而幂函数α>0 时在第一象限单
调递增，α<0 时在第一象限单调递减．
第二十二页，编辑于星期五：十一点 二十六分。