上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线10x +=的倾斜角为．
2．方程22
1259
x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是． 3．双曲线2238x y -=的两条渐近线夹角为．
4．6
x
⎛ ⎝的二项展开式中常数项是. 5．已知双曲线C ：22197x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若15PF =，则2PF =.
6．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据：
这组数据的线性回归方程经过点()4,a ，则=a ．
7．已知随机变量()2~4,X N σ，且()20.3P X ≤=，则()6P X <=．
8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是
415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为3
8，则既刮风又下雨的概率为． 9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答).
10．已知实数,x y 满足y =24
y x --的取值范围是． 11．已知点P 在圆22:1O x y +=上运动，若对任意点P ，在直线:40l x y +-=上均存在两点A ，B ，使得π2
APB ∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是． 12．设1F ，2F 是椭圆()221112211
:10x y C a b a b +=>>与双曲线22
22222:1x y C a b -=（20a >，20b >）
的公共焦点，曲线1C ，2C 在第一象限内交于点M ，1260F MF ∠=︒，
若椭圆的离心率1e ⎫∈⎪⎪⎣⎭
，则双曲线的离心率2e 的取值范围是．
二、单选题
13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算20.95χ≈，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
（附：()2 3.8410.05P χ≥≈）
A ．有95%的人认为该电视栏目优秀
B ．有95%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
14．直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（ ）条件
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 15．设01a <<，随机变量X 的分布是0
1111333a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则当a 在()0,1内增大时，（ ） A ．[]D X 增大
B ．[]D X 减小
C ．[]
D X 先增大后减小 D ．[]D X 先减小后增大
16．在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(
,)y x P x y x y -++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；
②若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于y 轴对称；
③单位圆的“伴随曲线”是它自身；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中真命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
三、解答题
17．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()72E X =
，求m 的值．
18．已知椭圆的焦点是()1F ，)
2
F ，长轴长是短轴长的2倍，求椭圆上的点到直线2380x y ++=距离的最大值． 19．已知双曲线2
2:14x C y -=，直线l 经过点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且与双曲线C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线过点()0,1，求直线l 的方程．
20．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为(01)p p <<．
(1)当12
p =时，求5s 后质点移动到点0的位置的概率； (2)记3s 后质点的位置对应的数为X ，若随机变量X 的期望()0E X >，求p 的取值范围．
21．已知椭圆2
2:12
x C y +=
(1)若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y ，且与椭圆C 有公共焦点，求此双曲线的方程；
(2)过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由．。