乃奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度

则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。
7
Im 1 GH 平面
Re 01
1 G ( j )H ( j )
j s 平面
0
Im GH 平面
图5-37 s平面内的封闭曲线
1 1 G( j)H ( j)
Re 0 G( j )H ( j )
1H(j)G(j)
曲线对原点的包围，恰等于
H(j)G(j) 轨迹对-1+j0点的包围
4
5.5.2影射定理 设 F (s) 为两个s的多项式之比，并设P为 F (s) 的极点数，Z为
F (s) 的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内， 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过
F (s) 的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到 F (s) 平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时 在 F (s) 平面上，相应的轨迹顺时针包围F (s) 原点的总次数R等于Z-P。
H(s)G(s)
1 在右半s平面内有一个极点 s 1
4K
P1 因此开环系统是不稳定的
GH 平面
1 K
Re
2 图5-45表明 H(s)G(s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次
0
R1
3 ZRP0
图5-45 H(j)G(j)极坐标图 没有零点位于右半s平面内，闭环系统是
说明 1H(s)G(s) 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是 回路闭合后，变成稳定系统的例子。 27
如果函数 H(s)G(s) 在右半s平面内无任何极点，则
因此，为了保证系统稳定， G(j)H(j)
的轨迹必须不包围-1+j0点。
ZR
9
5.5.6 G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况
G(s)H(s) K s(Ts1)
j j D
s平面
j0 C
E
j0
B 1
A
j F
Im 0 A'
G(H j)0j0G(H j0)4Kj图5-45 H(j)G(j)极坐标图
G(H j0)4Kj G(H j)0j0
GH (j 3)4KK (31)
23
Imag Axis
15
10
5
0
-5
-10
-15
-10
-8
1
-6
-4
-2
0
Real Axis
2
24
渐近线
80
60
40
20
Imag Axis
0
-20
-40
GH平面
B'
D', E', F'
Re
0
C'
变量 s沿着 j轴从 j 运动到 j0
，从 j 0 到 j0
，变量 s沿着半径为
（ 1）的半圆运动，再沿着正 j轴从 j0 运动到 j 10
对于包含因子
1 s
,
2,3, 的开环传递函数
H(s)G(s)
，当变量s沿半径为 ( 1 )的半圆运动时，H(s)G(s)
5
若R为正数，表示 F (s) 的零点数超过了极点数； 若R为负数，表示 F (s) 的极点数超过了零点数。 在控制系统应用中，由 H(s)G(s) 很容易确定
F (s) 1H (s)G (s)的P数。因此，如果， F (s) 的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数 很容易确定。
H(s)G(s) B(s) A(s)
K
1
1(T1 T3) T2T1T3T3
(T1T3)T2T1T3T3
K1
31
Imag Axis
6
4
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 8
2
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Real Axis
32
Imag Axis
6
4
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 8
2
0
-2
-4
-6
K
s(T1s1)T (2s1)
试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。
Im 0
GH 平面
P0
R0Biblioteka ReZ 01Im 0
GH 平面
P0
R2
Re
Z 2
1
0
小K值时是稳定的
j j0 j0 j
0
大K值时是不稳定的
16
例5-5 设开环传递函数为： H(s)G(s)sK2((TT21ss11))
点，这表明闭环极点位于轴上 G ( j ) H ( j )矢量穿过
1 j0点
17
T1 T2 H(s)G(s)
的轨迹顺时针方向包围 1 j0
点两次，因此系统有两个闭 环极点位于右半s平面，系 统是不稳定的。
Im
0
1
0
GH 平面
Re
T1 T2
18
开始
19
例5-6 设一个闭环系统具有下列 开环传递函数： G(s)H(s) K
该系统的闭环稳定性取决于T 1 和 T 2
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
Im
GH 平面 T1 T2 H(s)G(s)
的轨迹不包围
Im
GH 平面
0
1
0
1 j0
Re 系统是稳定的
0
Re
0 1
T1 T2
j
T1 T2 H(s)G(s)
的轨迹通过 1 j0 T1 T2
90arctg 20
Im 0
GH 平面
1
H(s)G(s)
Re
1
在右半s平面内有一个极点 s 1
T
P1
0
2 图5-44中的奈奎斯特图表明， 图5-44 H(j)G(j)极坐标图
H(s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次
R1
3 ZR P 2
这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
29
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 2
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
30
G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 )
展开
？与负实
轴的交点
两者的极点数相同
F(s)1H (s)G (s)A (s)B (s) A (s)
6
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包
围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个 j 轴(从
到 )和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成
该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。 因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了 1H(s)G(s) 的所有正实部的极点和零点。 如果 1H(s)G(s) 在右半s平面不存在零点，
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Real Axis
33
5.7相对稳定性
G 平面
Im
5.7.1相位裕度和增益裕度
对于大的K值，系统是不稳定的。 当增益减小到一定值时，G( j)
1
0 Re
的轨迹通过-1+j0点。 对于小的K值，系统是稳定的。 G( j) 的轨迹对-1+j0点
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)(T1T2s2T2K s1)T (3s1) 式中 K,T1,T2和T3
均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
T1,T2和T3 之间满足什么关系？
解 ： G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 ) 频率特性
14
Nyquist Diagram 0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
-0.4
-0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
图5-41 例5-3中的 H(j)G(j) 极坐标图
15
例5-4 设系统具有下列开环传递函数：
H(s)G(s)
G (j )
K
ej( )
[1 ( T 1 T 22 )2 (T 2)2 ]1 [ (T 3)2 ]
()arc1 tT T g12T 22arc3 t gT
G (j0)Kj0
G (j )0j0
28
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 2
1H(s)G(s) 通过的任何极点或零点，则在 H(s)G(s)
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 1 j0 点
RZP次（负R值表示反时针包围 1 j0 点）。
a)不包围-1+j0
如果这时 H(s)G(s)
在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否
则，系统是不稳定的。
b)反时针包围-1+j0 点。如果反时针方向包围的次数，等于 H(s)G(s在) 右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则
的图形中将有 个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。
考虑开环传递函数：
G(s)H(s)
K
s2(Ts1)
s ej
limG(s)H(s)Ke2j
s ej
2
当s平面上的
90 90 时， H(s)G(s) 的相角 180 180
11
j j D
s平面
j0 C E
j0
B
1
A
j F
Im
GH平面
0
Re
0 1
在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围 1 j0 点两次。所以函数 1H(s)G(s) 在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
12
5.6稳定性分析 如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含 1H(s)G(s) 的Z个零点
和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
8
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
这一判据可表示为： ZRP
式中
Z 函数 F (s) 1H (s)G (s) 在右半s平面内的零点数
R
对-1+j0点顺时针包围的次数
P函数 H(s)G(s) 在右半s平面内的极点数
如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 Z 0 或
RP，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。
-60
-80
-10
-8
-6
-4
-2
Real Axis
0
2
25
渐近线
150
Nyquist Diagram
0 dB
100
50
Imaginary Axis
0
-50
-100
-150
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
26
继续例5-7
0 Im
G(s)H(s)K(s3),K1
s(s1)
3
系统是不稳定的。
c)顺时针包围-1+j0 点。系统是不稳定的。
13
例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
K H(s)G(s)
(T1s1)T (2s1)
H(j)G(j) 的轨迹如图5-41所示。
H(s)G(s) 在右半s平面内没有任何极点，并且
H(j)G(j) 的轨迹不包围 1 j0
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
因此系统是不稳定的。
21
G(j)H(j)j(1K jT) j(1K jT)((11jjTT))
K (1jT)
j(1(T)2)
K(1 jT) j(1(T)2)
0 ,0 K(1 jT)
j 1(T)2
0 ,0 K(1 jT)
j 1(T)2
90arctg
90arctg
22
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。
闭环传递函数为
C(s) G(s) R(s) 1H(s)G(s)
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
图3-35 闭环系统
为了保证系统稳定，特征方程 1H(s)G(s)0 充要条件
的全部根，都必须位于左半s平面。
虽然开环传递函数 H(s)G(s)
的极点和零点可能位于右半s平面， 但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半s平面，则系统是稳定的。
s(Ts1)
Im 0
GH 平面
试确定该闭环系统的稳定性。
Re
解
1
j(1K jT)
(1jT) (1jT)
0
K (1jT)
j(1(T)2)
0 ,0
K(1 jT图)5-44 j(1(T)2)
K(1 jT) j 1(T)2
H(j)G(j)极坐标图
90arctg
0 ,0
K(1 jT) j 1(T)2
2 2型系统：
nm 2 在总相角中180 的相角是由 ( j ) 2 项产生的
nm 3
Re 0
如果 G( j) 的分母多项式阶次
nm 1
高于分子多项式阶次，那么 图5-34b高频区域内的极坐标图
G( j) 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
当 时， G( j) 轨迹将与实轴或虚轴相切
3
5.5奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion)
K
T 1 T 2 T 3 (j)3 (T 1 T 2 T 2 T 3 )j()2 (T 2 T 3 )j 1
K
1 T 2(T 1 T 3)2 (T 2 T 3 T 1 T 2 T 32)j
令虚部为零即可 T2T3T1T2T3 20
c
T2 T3 T1T2T3
与负实轴相交于 G (jc)1T2(T 1 K T 3)2c1T2(T 1 K T 3)T T 2 2T 1T T 3 3
G(s)H(s)K(s3),K1 解
s(s1)
G(j)H(j)Kjj(j 31)
3
Kj (j(j 3)1) ( (jj 1)1)
渐近线
0
4K
Im
1 K
GH 平面
Re
K 2 j j ( 23 j1 )3K 4 ( (3 2 1 )2)j
4K K(32) j (2 1) (21)
0