第16讲 圆心角、圆周角定理

O
A
B
C
第16讲 圆（二）
知识要点梳理：
一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB
所对的圆心角)
二、圆心角定理及推论：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弦也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弧也相等．
三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角
(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：
(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形
经典例题：
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °
例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC
O
D
C B A
C
A E
F
D
O B
例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。

求证：∠D=∠B
例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．
例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；
（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。

经典练习：
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A ．这两个圆心角所对的弦相等
B ．这两个圆心角所对的弧相等
C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D ．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）
A ．A
B =2CD B ．AB >CD
C ．AB <2C
D D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．
A ．AB=AC
B ．AB=2A
C C ．AB<2AC
D ．AB>2AC
O
B
A
(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°
O
B
2
1
4
3
O
B
(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2
C ．∠4<∠1<∠3<∠2
D ．∠4<∠1<∠3=∠2
6．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．
A ．3
B ．3
C ．5-12
3D ．5
二、填空题
1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．
3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
O B
C
2
1
E
D
O
B
C
O
B
A
C
E
D
(4) (5) (6)
O
A C
D
O B
P 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．
三、解答题
1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；
（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？
O
B
A
C D N M
2．如图，以
ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求
BE 的度数和EF 的度数．
B
A
C
E
D
F
3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．
（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．
H
G
I
O
E
D
A
B
C
F
30°
B A
N
O
M
P O
B
A
C
y x
M
5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），
M 是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB 为⊙C 直径．
（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．
能力拓展
1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.22
2.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.
(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由
（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．
O
D
B
A
C 课后巩固：
1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。

3.如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，D 是AB 上一点，AB 与CD 交于E 点，则图中60°的角共有( )个．
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
4．如图，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O 半径为1，求弦长AB ．
O
B
A
5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，AD=9cm ，DB=4cm ，求CD 和AC 的长．
6．如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．
O
B
A C E
D F
F E
D B
O
A
C
备用题
如图，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，且CD =AD ，作DE ⊥AB 于E ，连接AC 交DE 于F.
(1) 求证：DE=
2
1
AC ； (2) 求证：AF=DF ；
(3) 若⊙O 的半径为5，AC=8，求CF 的长。