2019-2020学年高中数学(人教版选修2-3)课时跟踪检测(十五) 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含答

课时跟踪检测(十五) 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．(福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －－b ^x －
.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
解析：选B 由题意知，
x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，
y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，
∴a ^
＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x ＝15时，y ^
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2
分别如下表：
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙
D ．丁
解析：选A 相关指数R 2
越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a ^＝y －b ^
x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^
＝9.4x ＋9.1， 把x ＝6代入得y ^
＝65.5.
5．(湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
解析：选C 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^
，
b ^＞0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^
，故x 与z 负相关．
二、填空题
6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2
x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2
为________． 解析：回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝80－60＝20， 故R 2
＝2080＝0.25⎝ ⎛⎭⎪⎫或R2＝1－6080＝0.25.
答案：0.25
8．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
x ＝7
2
，y ＝71，∑i ＝16x2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481.
则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 解析：由题意知，b ^
＝1 481－6×7
2×71
79－6×⎝ ⎛⎭
⎪⎫722≈－1.818 2，
a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，y ^
＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1 000箱，则单位成本下降1.818
2元．
答案：1.818 2
9．某中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a .
(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元？
解：(1)x ＝
8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9
6
＝8.5，
y ＝
90＋84＋83＋80＋75＋68
6
＝80，
∑i ＝14
x i y i ＝8×90＋8.2×84＋8.4×83＋8.6×80＋8.8×75＋9×68＝4 066，
∑i ＝1
4
x2
i ＝82＋8.22＋8.42＋8.62＋8.82＋92
＝434.2，
b ^＝
∑i ＝1n
－x －
y
∑i ＝1
n
－
x
＝4 066－6×8.5×80434.2－6×8.52
＝－20，
a ^＝y －
b ^
x ＝80＋20×8.5＝250， 所求线性回归方程为y ^
＝－20x ＋250.
(2)获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2
＋330x －1 000， 当x ＝8.25时，z max ＝361.25(元)，
所以当单价定为8.25元时，可获得最大利润．
10．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：∑i ＝17
y i ＝9.32，∑i ＝1
7
t i y i ＝40.17,
∑i ＝1
7
－y ＝0.55，7≈ 2.646.
参考公式：相关系数r
＝
∑i ＝1n
－t
－y ∑i ＝1n
－t
∑
i ＝1n
－y
，回归方程y ^＝a ^＋b ^
t 中斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为b ^＝
∑i ＝1
n
－t
－y
∑i ＝1
n
－t
，a ^＝y －b ^
t .
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
t ＝4，
∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝28, ∑i ＝1
7
－y ＝0.55，
∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝1
7t i y i －t ∑i ＝1
7y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r ≈
2.89
0.55×2×2.646
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合
y 与t 的关系．
(2)由y ＝
9.32
7≈1.331及(1)得 b ^＝
∑i ＝17
－t －
y
∑i ＝1
7
－
t
＝2.8928
≈0.103. a ^＝y －b ^
t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t .
将2017年对应的t ＝10代入回归方程得y ^
＝0.92＋0.10×10＝1.92. 所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量约为1.92亿吨．
11．假设关于某设备使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：
若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解：(1)由表格中的数据可得
x ＝15(2＋3＋4＋5＋6)＝4
y ＝15
(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5.
∑i ＝15
x2
i ＝22＋32＋42＋52＋62
＝90， ∑i ＝1
5
x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，所以回归系数
b ^＝
∑i ＝15xiyi －5x
－y
－
∑i ＝1
5
x2i －5x 2
＝
112.3－5×4×590－5×42＝12.3
10
＝1.23.
可得a ^＝y －b ^
x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以回归直线方程为y ^
＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ^
＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元) 即估计用10年时，维修费约为12.38万元．。