8-8二元函数的极值及其求法

求 函 数 极 值 的 一 般 步 骤 ： z f ( x , y )
f ( x ,y ) 0 , f (x ,y ) 0 第 一 步 解 方 程 组 x y
求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 .
第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ， ( x , y ) 0 0
求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A 、 B 、 C .
证
( x , y ) 不 妨 设 在 点 处 有 极 大 值 , z f ( x , y ) 0 0
( x , y ) 则 对 于 的 某 邻 域 内 任 意 0 0
( x , y ) ( x , y ) f ( x , y ) 都 有 , f ( x , y ) 0 0 0 0
f ( x , y ) f ( x , y ) 有 , y y x x 故 当 ， 时 ， 0 0 0 0 0
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0 , f y ( x , y ) y ( x , y ) 0 , ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标 .
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要 找 函 数 u f ( x , y, z, t )在 条 件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
2 2 2 x y z 令 , F ( x , y , z ) 1 2 2 2 abc
2 y 2 z 2 x 0 0 0 F | F | F | 则 ， ， yP zP xP 2 2 2 a b c
过 的 切 平 面 方 程 为 P ( x , y , z ) 0 0 0
(2)
(3)
2、二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x, y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
x x y z 0 y 0 z 0 化 简 为 , 1 2 2 2 a b c
2
y z x 0 0 0 ( y y ) ( z z ) 0 , ( x x ) 0 2 0 0 2 2 c b a
该 切 平 面 在 三 个 轴 上 的 截 距 各 为
b c a ， , y ， z x z y x 0 0 0 2 22 1 a b c V xyz 所 围 四 面 体 的 体 积 , 6 6 x y z 0 0 0
f ( x ,y ) C ， yy 0 0 则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
2 （1）AC B 0时具有极值，
A 0 时有极小值； 当A 0 时有极大值， 当
2 AC B 0时没有极值； （2） 2 AC B 0时可能有极值,也可能没有极值， （3）
第六节 二元函数的极值及其求法
一、问题的提出
二、二元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结
一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y元，则每天可卖出 70 瓶本 5 x 4 y 6 x 7 y 地牌子的果汁，80 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
f ( x , y ) 再 求 在 边 界 上 的 最 值 ， D
y 0 f ( x , y ) 0 x 0 在 边 界 和 上 ,
x y 6 y 6 x 在 边 界 上 ， 即 y
于 是 , f ( x , y ) x ( 6 x )( 2 )
2
x y 6
2 例 5 求 二 元 函 数 z f ( x ,y ) x y ( 4 x y ) x D y x y 6 在 直 线 ， 轴 和 轴 所 围 成 的 闭 区 域 上 的 最 大 值 与 最 小 值 .
解
如图,
先 求 函 数 在D内 的 驻 点 ，
y
x y 6
D
x
D
o
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
2 2 函数 z 3 x பைடு நூலகம்4 y 例1 在(0,0) 处有极小值．
(1)
z x2 y2 例２ 函数 在(0,0) 处有极大值．
例３ 函数z xy 在 (0,0) 处无极值．
每天的收益为 f( x ,y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
( x 1 )( 70 5 x 4 y ) ( y 1 . 2 )( 80 6 x 7 y )
二、二元函数的极值和最值
xy 观察二元函数 z x 2 2 的图形 y e
1、二元函数极值的定义
z f (x, y)在 设 函 数 点 某 邻 域 内 (x0, y0)的 (x, y) ： (x0, y0)的 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 点 若 满 足 不 等 式f (x, y) f (x0, y0)， 则 称 函 数 在(x0, y0) 有极大值；若满足不等式 f (x, y) f (x0, y0)， (x0, y0)有 则 称 函 数 在 极 小 值 ；
1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t )
其 中 1 , 2 均 为 常 数 ， 可 由 偏 导 数 为 零 及 条 件 解 出 x, y, z,t ，即得极值点的坐标 .
x , y , z 例 6将 正 数 1 2 分 成 三 个 正 数 之 和 使 得 32 u x y z 为 最 大 .
点 为 P ( 1 , 1 ) , 由 函 数 取 极 值 的 必 要 条 件 知 ,驻
将 上 方 程 组 再 分 别 对 求 偏 导 数 , x , y
1 1 | | | z , z 0 ,z , xx P xy P yy P 2 z 2 z
1 B AC 0 ( z 2 ) 故 , 2 ( 2 z )
定 理 2 （ 充 分 条 件 ） z f (x, y)在 (x 设 函 数 点 某 邻 域 内 连 续 ， 0, y 0) 的 有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ， f ( x ,y ) 0 ( x ,y ) 0 又 , f ， x 0 0 y 0 0 f ( x ,y ) A f ( x ,y ) B 令 ， ， xx 0 0 xy 0 0
2
2
2 2 2 x y z 0 0 0 1 在 条 件 下 求 V 的 最 小 值 , 2 2 2 a bc
u ln x ln y ln z , 令 0 0 0
G ( x ,y ,z ) 0 0 0
x y z ln x ln y ln z , ( 1 ) 0 0 0 a b c
还需另作讨论．
2 x y2 z2 2x2y4 z10 0 例 4 、 求 由 方 程
z f(x ,y )的 确 定 的 函 数 极 值
解 将 x , y 方 程 两 边 分 别 对 求 偏 导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z z 2 4 z 0 y y
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 y 购买 x 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ．设每张磁 ( x , y ) ln x ln y 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
3 2 解 令 , F ( x , y , z ) x y z ( x y z 12 )

2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 则 3 2 F x y 0 z x y z 12 解 得 唯 一 驻 点 ， ( 6 , 4 , 2 )
u 6 4 2 6912 . 故 最 大 值 为 max
3 2
x2 y2 z2 例 7 在 第 一 卦 限 内 作 椭球面 2 2 2 1 的 a b c
切 平 面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体 体积最小，求切点坐标.
P ( x , y , z ) 为 椭 球 面 上 一 点 , 解 设 0 0 0
2
P 函 数 在 有 极 值 .
P ( 1 , 1 ) 将 代 入 原 方 程 , z 2 ,z 6 有 , 1 2
1 z 2 当 时 ， , A 0 1 4 z f ( 1 , 1 ) 2 所 以 为 极 小 值 ； 1 z 6 当 时 ， A 0 , 2 4 z f ( 1 , 1 ) 6 所 以 为 极 大 值 .
0 G 0 , G 0 , G x y z 2 2 2 , 由 x y y 0 0 0 1 0 2 2 2 a b c
0 0 0
2 0 2
2 0 2
2 0 2
AC B 第 三 步 定 出 的 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 .
2
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
问题的实质：求 U 在条 ( x , y ) ln x ln y x 10 y 200 件8 下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ， 其中 为某一常数，可由
解 方 程 组
2 f ( x , y ) 2 xy ( 4 x y ) x y 0 x 2 2 f ( x , y ) x ( 4 x y ) x y 0 y
f ( 2 , 1 ) 4 , ( 2 , 1 ) D 得 区 域 内 唯 一 驻 点 , 且
由 f 4 x ( x 6 ) 2 x 0 , o x
2
D
x
y 6 x | 2 , x 0 , x 4 得 x 4 1 2
f ( 4 , 2 ) 64 ,
比 较 后 可 知 为 最 大 值 , f ( 2 , 1 ) 4
为 最 小 值 . f ( 4 , 2 ) 64
f ( x , y ) x x 说 明 一 元 函 数 在 处 有 极 大 值 , 0 0
f ( x , y ) 0 必 有 ; x 0 0
f ( x , y ) 0 类 似 地 可 证 . y 0 0
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 ( 0 ,0 ) 例 如 , 点 是 函 数 的 驻 点 ， zxy 但 不 是 极 值 点 . 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？