高中数学导数知识点归纳总结材料与例题

导数
考试内容：
导数的背影．导数的看法．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的
最大值和最小值．考试要求：（1）认识导数看法的某些本质背景．（2）理解导数的几何意义．（ 3）掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n ∈ N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（ 4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的看法，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大
值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（ 5）会利用导数求某些简单实诘责题的最大值和最
小值．
§14. 导数知识要点
导数的看法导数的几何意义、物理意义
常有函数的导数
导
数导数的运算
导数的运算法规
函数的单调性
导数的应用函数的极值
函数的最值
1.导数（导函数的简称）的定义：设 x0是函数y f (x) 定义域的一点，若是自变量 x 在 x0处有增量x，则函数值 y也引起相应的增量y f (x0x) f (x0 ) ；比值
y f ( x0x) f ( x0 ) 称为函数y f (x) 在点x0到 x0x 之间的平均变化率；若是极限
x x
lim y lim f ( x0x) f ( x0 ) 存在，则称函数y f (x) 在点x0处可导，并把这个极限叫做x0x x0x
y f (x) 在x0处的导数，记作f'
''
(x0 ) = lim
y f ( x0x) f ( x0 ) ( x0 ) 或y|x x0，即f lim.
x 0
x x0x
注：①x 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x 可正，可负，但不为零 .
②以知函数 y f (x) 定义域为 A ，y f'( x)的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .
2.函数 y f (x) 在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数 y f ( x) 在点x0处连续是y f (x) 在点x0处可导的必要不充分条件.
可以证明，若是y f (x) 在点x0处可导，那么y f (x) 点x0处连续 .
事实上，令x x0x ，则 x x0相当于x0 .
于是 lim f (x) lim f ( x0x) lim [ f ( x x0 ) f (x0 ) f ( x0 )]
x x0x 0x 0
lim [ f (x 0 x) f ( x 0 )
x f (x 0 )]
lim f ( x 0
x)
f ( x 0 ) lim
lim f ( x 0 ) f '
(x 0 ) 0 f ( x 0 ) f ( x 0 ).
x 0
x
x 0
x
x
0 x 0
⑵若是 y f ( x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .
例： f (x) | x |在点 x 0
0 处连续，但在点 x 0 0 处不可以导，因为 y
| x | ，当 x ＞ 0 时，
x x
y 1 ；当 x ＜0 时， y 1 ，故 lim y
不存在 .
x x x 0 x
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .
3. 导数的几何意义：
函数 y
f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线
y f ( x) 在点 ( x 0 , f (x)) 处的切线的斜率，
也 就 是 说 ， 曲 线 y f ( x) 在 点 P ( x ,
( ))
f '
( x ) ， 切 线 方 程 为
f x 处 的 切 线 的 斜 率 是
y y 0
f ' (x)( x x 0 ).
4. 求导数的四则运算法规：
(u v)'
u ' v '
y f 1 (x)
f 2 (x) ... f n (x)y '
f 1 ' (x) f 2' (x)
... f n ' (x)
( uv) '
vu ' v 'u
( cv) '
c 'v cv ' cv ' （ c 为常数）
'
vu '
v ' u
u
0 )
v
v
2
( v
注：① u, v 必定是可导函数 .
②若两个函数可导， 则它们和、 差、积、商必可导； 若两个函数均不可以导， 则它们的和、 差、
积、商不用然不可以导 .
比方：设 f ( x)
2sin x 2 ， g (x) cos x 2
，则 f (x), g( x) 在 x
0 处均不可以导，但它们和
x x
f ( x)
g( x) sin x cos x 在 x 0 处均可导 .
5. 复合函数的求导法规：
f x ' ( (x))
f ' (u)
'
( x) 或 y ' x
y ' u u ' x
复合函数的求导法规可实行到多此中间变量的状况 .
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判断方法： 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 若是 f ' ( x) ＞ 0，则 y f (x) 为
增函数；若是
f ' (x) ＜0，则 y f (x) 为减函数 .
⑵常数的判断方法；
若是函数 y f (x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0，则 y
f ( x) 为常数 .
注：① f (x)
0 是 f （ x ）递加的充分条件，但不是必要条件，如
y
2x 3 在 ( , ) 上其实不是
都有 f (x) 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f （ x ） = 0，同样 f (x)
0 是 f （ x ）递减的充分非必
要条件 .
②一般地， 若是 f （x ）在某区间内有限个点处为零，
在其余各点均为正（或负），那么 f （ x ）
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的鉴识方法：（极值是在x0周边所有的点，都有f (x)＜f ( x0)，则f (x0)是函数f ( x)的极大值，极小值同理）
当函数 f (x) 在点x0处连续时，
①若是在x 0周边的左侧 f ' ( x) ＞0，右侧f
②若是在x 0周边的左侧 f ' ( x) ＜0，右侧f '
'
(x) ＜0，那么 f ( x0 ) 是极大值；(x) ＞0，那么 f ( x0 ) 是极小值 .
也就是说 x 0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f '
①
( x) =0 .其余，函数不
可导的点也可能是函数的极值点②. 自然，极值是一个局部看法，极值点的大小关系是不确
定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点周边的点不同样样）.
注①：若点 x 0是可导函数 f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不用然成立. 对于可导函数，其一点 x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
比方：函数 y f (x)x 3，x 0使 f ' ( x) =0，但x 0不是极值点.
②比方：函数 y f (x)| x | ，在点 x 0 处不可以导，但点 x 0 是函数的极小值点 .
8.极值与最值的差异：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进
行比较 .注：函数的极值点必定有意义 .
9.几种常有的函数导数：
I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '1
x 2
1
(x n )'nx n 1（n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1
x2
1 II. (ln x) '1(log a x)'1log a e(arctan x) '1
1 x x x
2
( e x) ' e x(a x ) ' a x ln a(arc cot x) '1
1
x 2 III.求导的常有方法：
①常用结论：(ln | x |)'1
.②形如 y(x a)(x a)...(x a) 或 y
( x a1 )( x a2 )...(x a n )
两x12n( x b1 )( x b2 )...( x b n )
边同取自然对数，可转变求代数和形式.
③无理函数或形如 y x x这类函数，如y x x取自然对数此后可变形为ln y xln x ，对两边
求导可得 y 'ln x x 1
y 'y ln x y y 'x x ln x x x.
y x
导数中的切线问题
例题 1：已知切点，求曲线的切线方程
32
曲线 y x3x 1在点 (1， 1) 处的切线方程为（
）
例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程
与直线 2 x y 4 0 的平行的抛物线y x2的切线方程是（）
注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y 2 x b ，代入 y x2，得 x2 2 x b 0 ，又因为0 ，得 b 1 ，应选Ｄ．
例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
求过曲线 y x3 2 x 上的点 (1， 1) 的切线方程．
例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程
1 相切的直线方程．
求过点 (2，0) 且与曲线 y
x
练习题：已知函数y x33x ，过点 A(0，16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程．
看看几个高考题
1.（ 2009全国卷Ⅱ）曲线y
x
在点1,1 处的切线方程为2x1
2.（ 2010江西卷）设函数 f ( x)g( x)x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g (1)) 处的切线方程为y 2x1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为
3.（ 2009宁夏海南卷）曲线 y xe x2x 1 在点（0,1）处的切线方程为。

4（. 2009 浙江）（此题满分15 分）已知函数f ( x) x3(1a) x2a(a 2) x b (a, b R)．（ I）若函数f ( x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3 ，求a, b的值；
5.（ 2009北京）（本小题共14 分）
设函数
f ( x)x33ax b(a0) .
（Ⅰ）若曲线y f(x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y8相切，求 a, b 的值；
.1函数的单调性和导数
1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数y f (x) 在某个区间可导，
若是在这个区间内f'( x)0，则 y f ( x)若是在这个区间内f'( x)0，则 y f ( x)为这个区间内的；为这个区间内的。

2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1)确定函数 f(x)的定义域；
(2)求出函数的导数；
(3)解不等式 f (x)＞ 0，得函数的单调递加区间；
解不等式 f (x)＜ 0，得函数的单调递减区间．【例题讲解】
a)求证： y x3 1 在 ( ,0) 上是增函数。

32
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
b)确定函数 f (x)=2x－6x+7
【课堂练习】
1．确定以下函数的单调区间
(1) y=x3－ 9x2+24x(2) y=3x－ x3
２．已知函数 f ( x)x ln x ，则（）
A．在(0,) 上递加B．在(0,) 上递减
1
上递加 D ．在0,1
上递减
C．在0,
e
e
３．函数 f ( x)x33x 2 5 的单调递加区间是_____________．
函数图象及其导函数图象
合用标准文案
1. 函数y
3
,3) 内可导，其图象如f (x) 在定义域(
2
图，记 y f ( x) 的导函数为y f / (x) ，则不等
式f / ( x) 0 的解集为_____________
2.函数 f ( x) 的定义域为开区间( 3 ,3) ，导函数
2
f ( x) 在(
3 ,3) 内的图象以以下列图，则函数f ( x)
2
的单调增区间是_____________
y f (x)
y
3. 如图为函数 f (x) ax3bx2cx d 的图象， f '( x)为函数
f (x) 的导函数，则不等式x f '( x)0的解集为______- 3o3x
4.若函数 f ( x) x2bx c 的图象的极点在第四象限，则其导函数 f '( x) 的图象是（）
5.函数 y f ( x) 的图象过原点且它的导函数 f '(x ) 的图象是以以下列图的一
条直线，则 y f (x) 图象的极点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
6.(2007年广东佛山)设f ( x)是函数 f ( x) 的导函数, y f (x) 的图y
y f ( x)
象如右图所示，则y f (x) 的图象最有可能的是（）
y y y yO 1 2x
2xO12x O 12
O 1 2
O1x x
A B C D
7. 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f (x)的图象以下左图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为 ()
8. （安微省合肥市2010 年高三第二次授课质量检测文科）函数y f (x) 的图像以下右图
所示，则 y f (x) 的图像可能是（）
9. (2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科) 已y
知函数 f ( x) 的导函数 f ( x) ax2bx c 的图象如右图，则
o f( x) 的图象可能是()
x
10.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一
容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间 t
正视图侧视图变化的可能图象是（）
h h h h
俯视图O t O t O t O t
(A)(B)(C)(D)
11. (2008广州二模文、理)已知二次函数f x 的图象如图1所示 , 则其导函数 f ' x 的图
象大体形状是（）
12. （ 2009 湖南卷文）若函数y f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数，则函数 y f ( x)
．．．
在区间 [ a, b] 上的图象可能是()
y y y
y
o
a b x o
b
x o
b
x o
b
x
a a a
A． B ．C．D．
13.（福建卷 11）若是函数y f ( x)的图象如右图，那么导
函数 y f (x) 的图象可能是()
14.（2008年福建卷12) 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么
y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）
15.(2008 珠海一模文、理)设f ' (x)是函数 f (x) 的导函数，将y f (x) 和 y f ' ( x) 的图
像画在同一个直角坐标系中，不可以能正确的选项是（）
合用标准文案
A ．
B ．
C ．
16. ( 湖南省株洲市2008
届高三第二次质检
) 已知函数
y f (x) 的导函数 y f ( x) 的图像以下，则（
）
函数 f (x) 有 1 个极大值点， 1 个极小值点 函数 f (x) 有 2 个极大值点， 2 个极小值点 函数 f (x) 有 3 个极大值点， 1 个极小值点
函数 f (x) 有 1 个极大值点， 3 个极小值点
x
1x
2
17. (2008 珠海质检理 ) 函数 f ( x) 的定义域为
(a, b) ，其导函数 f (x)在 (a,b) 内的图象以以下列图，则函 数 f (x) 在区间 ( a, b) 内极小值点的个数是（ ）
(A). 1
(B). 2
(C). 3
(D). 4
18. 【湛江市 ·文】 函数 f ( x) ln x
1 x
2 的图象大体是
2
y
y
y
O
x O
x
O
x
A ．
B ．
C ．
19. 【珠海· 文】如图是二次函数
f ( x) x 2 bx a 的部分图 象，则函数
g (x) ln x f
( x) 的零点所在的区间是 （ ）
A. ( 1 , 1
)
B. ( 1
,1)
4 2 2
C. (1,2)
D. (2,3)
20. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) 1．
f ( x) 为 f (x) 的导函
数，已知函数
y f ( x) 的图象如右图所示 .若两正数 a, b 满足
f (2a b)
1，则
b
2
的取值范围是
（ ）
a 2
D ． y
x 3O
x 4 x
y
O
x
D ．
y
O
x
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合用标准文案
1 1 B ． ( 1 3, 1 A ． ( , ) , ) C ． ( , 3)D ． ( , 3)
3 2 ax 3 bx 2 2 2
21. 已知函数 f ( x) cx 在点 x 0 处获取极大值 5 ，
其导函数 y f '(x) 的图象经过点 (1,0) ， (2,0) ，如图所
示 . 求：
（Ⅰ） x 0 的值；
（Ⅱ） a, b,c 的值 .
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