最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）
A ．29
B ．10
C ．241
D ．213 2．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论： ①三棱锥1A D PC -的体积不变；
1//A P ②平面1ACD ；
1DP BC ⊥③；
④平面1PDB 平面1ACD ．
其中正确的结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）
A 25
B 5
C ．45
D ．1
4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
5．已知在平行六面体
1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．6
6．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )
A ．2
B ．-4
C ．-2
D ．4 7．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，
E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( )
A ．105-
B ．105
C ．155-
D ．155
8．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线
1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．15
B ．5
C ．5
D ．2 9．如图，在空间四边形OABC 中，点
E 为BC 中点，点
F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）
A ．121+232OA O
B O
C - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +-
D ．211322
OA OB OC -- 10．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．74
11．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ）
A ．111222OM OA O
B O
C =
++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--
12．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）
A ．5
B ．23
C ．5
D ．5 二、填空题
13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.
14．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）
15．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．
16．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.
17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.
18．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若的方向向量是的法向量，则实数_____．
19．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则
λ=_________．
20．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．
三、解答题
21．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥
（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ；
（2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.
22．如图所示，在七面体ABCDEFG 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，////BE CF DG ，BE ⊥底面ABCD ，2BE CF DG ===.
（1）求证：//AG 平面BCFE ；
（2）在线段BC 上是否存在点M ，使得平面AGE 与平面MGE 所成锐二面角的余弦值为2114，若存在求出线段BM 的长；若不存在说明理由﹒ 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.
（1）求证：GF //平面PDC ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．
（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；
（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．
（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．
（2）点A 到平面BDM 的距离．
26．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .
（1）证明：//MN 平面PAD ；
（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得
2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可得出．
【详解】
解：CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
1cos12066182
CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-． ∴222264621852CD =++-⨯=，
∴213CD =．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
2．C
解析：C
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，
故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，
所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；
对于②，连接1A B ，11AC ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，
所以11//BAC 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC ⊥平面11BCBC ，所以1DC BC ⊥，
若1DP BC ，则1BC ⊥平面DCP ，
1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，
可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直
的判定，要注意使用转化的思想．
3．A
解析：A
【分析】
建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.
【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有
()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故
()0,2,PB a b =--=
PBC 的面积为
(122
BC PB ⨯⨯==126105a ==时，面积取得最小值为2
655⎛⎫=⎝⎭
，故选A. 【点睛】
本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.
4．D
解析：D
【分析】
可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M
与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2，
则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，
(0,N 2，1)，
1
(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ，
则11cos 0A M DN
A M DN θ⋅==⋅，90θ∴=．
∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．
故选D ．
【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．
5．D
解析：D
【分析】
由()2211
+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果 【详解】
∵()2211
+BC CC AC AB =+ =222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6．
∴AC =6
故选D ．
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
6．D
解析：D
【分析】
根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.
【详解】
因为//αβ，所以12122//24n n k
-=
=--，，解之得4k =，应选答案D 【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.
7．B
解析：B
【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．
【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220 20x y z --=⎧⎨=⎩
，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,n BE
n BE n BE ⋅=
=⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，
则10sin cos ,5
n BE θ==
B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题． 8．C
解析：C
【详解】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z
轴建立空间直角坐标系，则
11(0,0,0),(1,0,0),(1
,1,3),D A B D ,
所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=, 因为111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅=
==⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
9．D
解析：D
【解析】
分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.
详解：由题意可得21
()32
EF OF OE OA OB OC =-=-
+ 211322
OA OB OC =--，故选D.
点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 10． C 解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P
的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．
【详解】
建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0
），S （0，0
M （0，0，P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，1MP =（x ，y ， 由于AM ⊥MP ，所以（0，1•（x ，y ，0，
即y
3
4
=，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为22
37
1()
4
-=．
故选C．
【点睛】
本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题
11．C
解析：C
【分析】
由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM xAB yAC
=+，即(1)
OM x y OA xOB yOC
=--++，判断标准是验证OA，OB，OC三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M，A，B，C一定共面，由此规则即可找出正确的条件．
【详解】
由题意,,
A B C三点不共线，点O是平面ABC外一点，
对于A由于向量的系数和是3
2
，不是1，故此条件不能保证点M在面ABC上；
对于B，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,
A B C一定共面
对于C，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M与
,,
A B C一定共面
对于D，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,
A B C一定共面
综上知，能得到点M与,,
A B C一定共面的一个条件为C.
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要
熟练记忆．
12．A
解析：A
【分析】
先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.
【详解】
如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，
∴(),22,MN m n n m =---，
又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，
∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，
又 //MN 面11AACC ，
∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()222
2222941MN m n n m m m =+-+-=-+，
∴MN 最小值为5 故选：A.
【点睛】
本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 二、填空题
13．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考 解析：3π
【分析】
利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．
【详解】
先把三棱锥P ABC -所以球的半径为
所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭
．
【点睛】 本题主要考查了球的体积公式：343
V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长
公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．
14．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平
解析：①③④
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
【详解】
解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；
对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；
对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；
对于④，设AE x =，则2DE x =-，PE EC ∴+=
由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值
为④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 15．【解析】∵∴∴故答案为 解析：111,,633
【解析】
∵ O G OM MG =+，1
2OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13
y z ==，故答案为111,,633
16．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)
解析：()003，
， 【解析】
设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3). 17．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理 解析：122333a b c ++ 【解析】
试题分析：
()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()
21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理
18．【解析】试题分析：由题意得：即考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时如果所给直线方程含有字母系数时要注意利用两
直线平行与垂直的充要条件：(1)l1∥l2⇔
A1B2－A2B1＝0 解析：2-
【解析】
试题分析：由题意得：12l l ⊥，即5(3)302a a a ++-=⇒=-
考点：两直线垂直
【名师点睛】
在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：
(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；
(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C ++='，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C -+='
19．3【解析】试题分析：由于三个向量共面所以存在实数使得即有解得考点：空间向量的正交分解及其坐标表示
解析：3
【解析】
试题分析：由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，即有13=2{6323m n
m n m n λ-=-+=-，解得9{53
m n λ===. 考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.
20．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616
-
【详解】
以AB
的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,(0,4,0),(,0,0)(33)2D C M a a --<<， 平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，
设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则963(0,,),(,4,0)2DC
MC a =-=-，则229002040n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩
⎪-+=⎩
， 令9,,63z x y
a ===，所以平面DMC 的一个法向量为2463(n =，
所以1222cos ,1663
166********n n a a ==⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以
2166316631441442569a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <，即二面角的余弦值的取值范围是99(,)1616
-.
点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）
4214
. 【分析】
（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．
【详解】
解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，
所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥，
又,BC BE ⊥BE EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，
所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE
所以平面ABED ⊥平面;BCFE
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =，
以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
()()(
)13330,1,3,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,22P A C F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()131,1,0,0,2,0,1,,2DF BA BF ⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭
设平面ABF 的法向量为,,,n x y z
由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有01302y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()
3,0,2n =-. 42sin 14||||
n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法
（1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；
（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值．
22．（1）证明见解析；（2）存在，
4
3 BM=.
【分析】
（1）根据//
DG CF和ABCD是菱形得到//
AD BC，利用面面平行的判定定理证明.（2）取BC中点为H，则DA，DH，DG三线两两垂直，以D为坐标原点，以DA，DH，DG 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，假设存在M满足条件，设
(01)
BM BC
λλ
=≤≤，分别求得平面AGE的一个法向量()
1
111
,,
x
n y z
=和平面MGE的
一个法向量()
2222
,,
n x y z
=，利用12
12
12
21
cos
14
n n
n n
n n
⋅
⋅==求解.
【详解】
（1）∵//
DG CF，CF⊂面BCFE且DG⊄面BCFE
∴//
DG面BCFE
又∵//
AD BC，BC⊂面BCFE且AD⊄面BCFE
∴//
AD面BCFE
∵AD⊂面ADG，DG⊂面ADG，且AD DG D
=
∴面//
ADG面BCFE
∵AG⊂面ADG，
∴//
AG面BCFE.
（2）取BC中点为H，则DA，DH，DG三线两两垂直
以D为坐标原点，以DA，DH，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D xyz
-，
假设存在M满足条件，则(01)
BM BC
λλ
=≤≤，
由题得：()
2,0,0
A，()
3,0
B，()3,0
C-，()3,2
E，()
0,0,2
G，
∵BM BC
λ
=，
∴点M坐标为：()
123,0
λ
-，
∴(2,0,2)
AG=-，()3,2
AE=-，()
21,3,2
MGλ
=--，()
2,0,2
MEλ
=，
设平面AGE 的一个法向量为：()1111,,x n y z =，
平面MGE 的一个法向量为：()2222,,n x y z =，
则111111122020
n AG x z n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
，令1x 11y =-
，1z ，
∴1(3,1n =-
，
同理可得21,n λ⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，
由题意得：12121243cos 147n n n n n n ⋅⋅===， 解得：23λ=
或269λ=（舍）， ∴43
BM =
. 【点睛】 方法点睛：证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
23．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）连结
EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；
（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD
与平面GBC 所成锐二面角的余弦值.
【详解】
解：（1）连结EC ， DC ∥AB ∴2AF AB FC CD
==， 2AG GE
=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .
（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥，
平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，
∴PO ⊥平面ABCD ，
连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知平面PAD 的法向量1
(0,1,0)n →=， 易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,0)2
C ， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22
GC →=--， 设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →
=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩
，令2y =，则236,3z x ==- ∴223(3
n →=- . 设所求锐二面角的平面角大小为θ，则 12
1293cos 31
n n n n θ→→→→⋅=
= 所以平面PAD 与平面GBC 93 【点睛】
方法点睛：二面角的求法 方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n →→
；再代入公式cos m n
m n α→→→→=±（其
中,m n →→
分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角
的大小选择“±”号）
24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III ）存在，()1,0,1.
【分析】
（1）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出G 、P 、A 、B 、C 、F 的坐标，根据法向量的性质求得平面PCB 的法向量n ，证得//GF n 即可；
（2）由（1）知，平面PCB 的法向量为(0n =，1，1)，同（1）可求得平面PAB 的法向量m ，由cos m <，||
||
m n n m n >=即可得解； （3）设AM AP λ=，则(22M λ-，0，2)λ，故有
,|cos 60|cos D t M →
︒=><·=||·DM t DM t ，解之得λ的值即可． 【详解】
（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F
(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-
设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则00
m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=
∴//GF m ，
故GF ⊥平面PCB ．
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，
(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-
设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，
则2222222200
,2200x y z n PB x z n PA +-=⎧⎧⋅=⎨⎨-=⋅=⎩⎩即， 令21z =，则221,0,x y ==，
所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n = 1cos ,||||222m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯ 平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．
（III ）假设线段AP 上存在一点M ，设AM AP λ=，[]01λ∈，
，则(22,0,2)M λλ-， (22,0,2)DM λλ∴=-，
设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z =，
(2,0,0),(1,1,1)DA DF ==，由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-，
DM 与平面ADF 所成角为30︒，
DM ∴与t 所成角为60︒，
22||cos60|cos ,|(22)42||||DM t DM t DM t λλ→
︒→⋅∴=<>=
=-+⋅⋅
解得12λ=， 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，
点M 的坐标为(1,0,1)．
【点睛】
关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点M ，设AM AP λ=，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的λ，即存在，否则不存在.
25．（1222）22 【分析】
（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.
（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式
n n AM ⋅，即
可求出点A 到平面BDM 的距离.
【详解】
（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，
又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，
∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，
(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，
设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，
00
n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=， 22cos 5||||25
n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅， ∴直线PB 与平面BDM 22 （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，
∴点A 到平面BDM 的距离|||cos |22||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=
== ∴点A 到平面BDM 的距离为22
【点睛】
方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||
n PB n PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解； （2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式
|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.
26．（1）证明见解析；（2）6-
【分析】
（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；
（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN .
因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC .
所以//ME PA ，//EN AD .
因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，
所以//ME 平面PAD ，
同理，//EN 平面PAD .
又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ，
所以平面//MNE 平面PAD .
因为MN ⊂平面MNE ，
所以//MN 平面PAD ；
（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ，
所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥.
因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥，
因为PB AB B ⋂=，PB 、AB 平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥. 又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =.
所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.
以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ，
所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-.
设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则
1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111
113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；
设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则
2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222
228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.
所以1212212cos ,4n n n n n n
⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角，
所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】
方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。