3.1.1 空间向量及其线性运算(1)名师课件

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An1
A2
An
A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量：
数学建构
⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量．
⑵表示方法：
①空间向量的表示方法和平面向量一样；
相等的向量
②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量；
数学建构
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 加法结合律 算 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
范式演练
A' B 'C ' D ', M为CC '的中点,G为AC '靠近A的三等分点，
化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑷ 1 (AB AD AA' )． 3
解：
1 (AB AD AA' ) 3
1 AC' 3
AG．
D’ A’
G D A
C’ B’
M
C B
变式演练
已知三棱柱ABC-A1B1C1，M是BB1的中点 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
2、向量的表示 相等向量
3、思想方法渗透： 类比思想
4.对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍 然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加．
例1已知平行六面体ABCD
范式演练
A' B 'C ' D ', M为CC '的中点,G为AC '靠近A的三等分点，
化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' ⑷ 1 (AB AD AA' )．
2
3
D’
解：⑴AB BC AC
C’
A’
⑵AB AD AA'
B’
AC AA' AC CC' AC'
uuur uuur (1)BA1 CB
uuur uuur 1 uuur
(2) AC uuur

CB uuur

2uuAur A1
(3) AAu1uuurACuuurCB uuur
(4)2 AM AB BA1
A1
B1 C1
M
B
A
C
例2：已知平行六面体
范式演练
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
⒊平面向量的加法与数乘运算律
rr rr 加法交换律： a b b a
r r r r r r
加法结合律： a b c a b c
数乘分配律：
2AC1
x 2.
D A
C BΒιβλιοθήκη 1、空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD
边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D
B
M
G C
2、空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
(1) AB 1 (BC BD) (2) AG 1 (AB AC)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律 怎么证明？
(a b) c a (b c)
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
加法结合律：(a b) c a (b c)
数学建构
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 加法结合律 算 律 (a b) c a (b c)
⒉空间向量的加法、减法与数乘
数学建构
C
a+ b
B
b
O
A
空间向uu量ur 的加uu减ur 法uuur
a
OB OA AB
uuur uuur uuur
CA OA OC
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
数学建构
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
例2：已知平行六面体
范式演练
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1
解：(2) 2AD1 BD1
AD1 AD1 BD1
D1
AD1 (BC1 BD1)
A1
AD1 D1C1
C1 B1
AC1
x 1.
D A
D A
C B
例1已知平行六面体ABCD
范式演练
A' B 'C ' D ', M为CC '的中点,G为AC '靠近A的三等分点，
化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑶AB AD 1 CC'
解：
AB

AD

2
1
CC'
2
D’ A’
C’ B’
AC CM
M
AM
D A
C B
例1已知平行六面体ABCD
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
(2) 2AD1 BD1 xAC1
⑶AC AB1 AD1 xAC1
D1 A1
解(1) AB1 A1D1 C1C
uuur uuuur uuuur
uuAurB1 B1C1 C1C
D
AC
A
C1 B1
C B
x 1.
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
数学建构
rr rr ⑴加法交换律： a b b a
r r r r r r
⑵加法结合律： a b c a b c
r r r r
⑶数乘分配律： a b a b
r
r
（4）数乘结合律： a a
§ 3.1.1 空间向量及其线性运算
一、平面向量复习
复习回顾
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量(vector)．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
2
2
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
uuur ＝AG

uuuur AM
D
MG
G
B
M
C
3、课后练习 1，2，3
课堂小结
1、⑴空加法间交向换量律及：其arr 线rbr性r运br r算ar ：r r ⑵加法结合律： a b c a b c r r r r ⑶数乘分配律： a b a b

rr ab
rr
a b
推广
复习回顾
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量 的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A2
An
A3
A4
推广
复习回顾
(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则 它们的和为零向量．即：
C B
例2：已知平行六面体
范式演练
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
⑶AC AB1 AD1 xAC1
解： (3) AC AB1 AD1
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD) D1
C1
2(AD AB AA1)
A1
B1
③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
不唯一
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
⒉空间向量的加法、减法与数乘