正确理解线性映射的象与核的概念及...

第七章 线 性 变 换
第一节 线 性 映 射
教学目的:
1．准确地运用线性映射的定义等价命题判断给定的法则是否是一个线性映
射。

2．正确理解线性映射的象与核的概念及相互间的联系，并能求出它们的基
和维数。

教学内容:
1. 定义和例子：
设F 是一个数域，V 和W 是F 上向量空间。

定义1 设σ是V 到W 的一个映射，如果下列条件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射：
（1） 对于任意ξ，,V ∈η()ηξσ+=()()ησξσ+； （2） 对于任意a ()()ξσξσξa a V F =∈∈,,. 例1 对于R 2的每一向量()21,x x =ξ定义
()()∈+-=21211,,x x x x x ξσR 3
σ是R 2到R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射。

例2 令H 是V 3中经过原点的一个平面.对于V 3的每一向量ξ,令()ξσ表示向量ξ在平面H 上的正射影.根据射影的性质,()ξσξσ :是V 3到V 3的一个线
性映射.
例3 令A 是数域F 上一个n m ⨯矩阵,对于n 元列空间F m 的每一向量
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 321ξ,
规定
()ξξσA =
()ξσ是一个1⨯m 矩阵,即是空间F m 的一个向量,σ是F n 到F m 的一个线性映射.
例4 令V 和W 是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量,ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W 的一个线性映射，叫做零映射。

例5 令V 是数域F 上一个向量空间，取定F 的一个数K ，对于任意,V ∈ξ定义
()ξξσk =
容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V 的一个位似。

特别，取1=k ，那么对于每一,V ∈ξ都有(),ξξσ=这时σ就是V 到V 的恒等映射，或者叫做V 的单位映射，如果取0=k ，那么σ就是V 到V 的零映射。

例6
取定F 的一个n 元数列()n a a a 21。

对于F n 的每一向量
()n x x x 21=ξ，规定
()F x a x a x a n n ∈+++= 2211ξσ
容易验证，σ是F n 到F 的一个线性映射，这个线性映射也叫做F 上一个n
元线性函数或F n 上一个线性型。

例7 对于F []x 的每一多项式()x f ，令它的导数()x f '与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是[]x F 到自身的一个线性映射。

例8 令C []b a ,是定义在[]b a ,上一切连续实函数所成的R 上向量空间，对于每一()[]b a C x f ,∈，规定
()()()dt t f x f x
a ⎰=σ
()()x f σ仍是[]b a ,上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C []b a ,到
自身的一个线性映射。

2线性映射的基本性质.
首先,定义1里的条件(i),(ii)与以下的条件等价: (iii) 对于任意F b a ∈,和任意V ∈ηξ, +=+)()(εσηεσa b a )(ησb
事实上，如果映射 W V →:σ满足条件()i 和()ii ，那么对于任意F b a ∈,和任意 ,,V ∈ηξ，
).()()()()(ησεσησεσμεσb a b a b a +=+=+
反过来，假设（iii ）成立，取1==b a ，就得到条件()i ；取0=b ，就得到条件()ii 。

在条件()ii 里，取0=a ，就得到
()00=σ (1)
换句话说，线性映射将零向量应成零向量。

由()iii ，对n 作数学归纳法，容易推出
()()()221111ξσξσξξσa a a a n n ++=++ (2)
对于任意F a a n ∈,,1 和任意V n ∈ξξ,,1 成立。

设σ是向量空间V 到W 的一个线性映射。

如果V V ⊆'，那么 (){ξσ}V '∈ξ
是W 的一个子集，叫做 V '在σ 之下的象，记作()V 'σ 。

另一方面，设W W ⊆' 。

那么
{V ∈ξ()}W '∈ξσ 是V 的一个子集，叫做W ' 在σ之下的原象。

我们有
定理7.1.1 设V 和W 是数域 F 上向量空间，而W V →:σ是一个线性映射，那么V 的任意子空间在σ 之下的象是W 的一个子空间。

而W 的任意子空间在 σ 之下的原象是V 的一个子空间。

证 设V '是V 的一个子空间。

如果ηξ,是()V 'σ 的任意向量，那么总有V '∈ηξ, 使
()().,ησηξσξ== 因为σ 是线性映射，所以对于任意,,F b a ∈ ，
()()ησξσηξb a b a +=+
=()ηξσb a +
但V '是V 的子空间，所以V b a '∈+ηξ ，因而
),(V b a '∈+σηξ
这就证明了W ' 是 W. 的一个子空间。

现在设 w ' 是 w 的一个子空间。

令 'v 是 'w 在 σ 之下的原象。

显然0'v ∈',v ∈ηξ ，那么 ')(),(w ∈ησξσ 。

因为 σ 是线性映射而 'w 是子空间，所以对于任意 ,,F b a ∈ 。

,')()()(w b a b a ∈+=+ησξσηξσ
即 'v b a ∈+ηξ 。

这就证明了 'v 是 v 的一个子空间。

特别，向量空间v 在σ 之下的象是w 的一个子空间，叫做σ 的象，记做Im()σ 。

即
Im ).()(V σσ=
另一方面， w 的零子空间{}0 在σ 之下的原象是v 的一个子空间，叫做 σ 的核，记做Ker )(σ ,即
Ker {}.0)()(=∈=ξσξσV .
定理7.1.2 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而W V →:;σ 是一个线性映射，那么
(1) W =⇔)Im(σσ是满射 (2) {}0)(=⇔σσKer 是单射
证 论断(i) 是显然的。

我们只证论断 (ii) 。

如果 σ 是单射，那么 Ker ）（σ 只能含有唯一的零向量。

反过来设
Ker {}0=）（σ。

如果 v ∈ηξ， 而 )()(ησξσ= 。

那么
0)()()(=-=-ησξσηξσ。

从而{}0)(=∈-σηξKer 。

所以,ηξ= 。

即 σ 是单射。

现在设 V U , 和W 都是数域 F 上向量空间。

w v v u →→,:;τ 是线性映射，考虑合成映射
.:w u →τσ 我们证明，τσϕ =是U 到W 的一个线形映射。

令τσϕ =。

那么对于任意的 a,b ∈F 和U ∈ηξ,,
()()()()()()ητξτσηξτσηξϕb a b a b a +=+=+ =()()()()ητσξτσb a + = ()().ηϕξϕb a + 这就证明了τσϕ =是一个线形映射。

如果U ，V ，W ，X 都是F 上，而
X W W V V U →→→:,:,:ρστ
是线形映射。

那么由上面的证明可知,()τσρ 和()τσρ 都是U 到X 的线形映射，并且
（3） ()τσρ =()τσρ
如果线形映射W V →:σ有逆映射1-σ，那么1-σ是W 到V 的一个线形映射。

事实上，如果σ有逆映射1-σ，那么对于任意a,b ∈F 和
,,W ∈ηξ()()V b a ∈+--ησξσ11.由于σ是V 到W 的线形映射，所以
()()()()()()()
ησσξσσησξσσ1111----+=+b a b a =ηξb a +
两端同时施行1-σ，就得到
()()().111ησξσηξσ---+=+b a b a
即 V W →-:1σ 也是线形映射。

布置作业:P320.1.2.3.4.
第二节 线 性 变 换 的 运 算
教学目的:
1．准确理解线性变换的定义 2．掌握线性变换的定义 教学内容:
令v 是数域F 上一个向量空间。

v 到自身到一个线性映叫做的一个线性变换。

我们用L(V)表示向量空间V 的一切线性变换所成的集合。

设σ，τ∈L(V).对于中每一向量ξ。

令)()(ξτξσ+与它对应。

这样得到到V 自身的一个映射，叫做σ与τ的和，记作.τσ+
τσ+: ξ )()(ξτξσ+. V 的线性变换σ与τ的和τσ+也是V 的一个线性变换。

事实上，令 τσϕ+=。

那么对于任意a,b F ∈和任意V ∈ηξ, ,
++=+)()(ηξσηξϕb a b a )(ηξτb a +
=)()()()(ητξτησξσb a b a +++ =b a ++))()((ξτξσ))()((μτησ+ =).()(ηϕξϕb a + 所以V 是τσ+的一个线性变换。

线性变换的加法满足交换律和结合律。

容易证明，对于任意),(,,V L ∈τσρ 以下等式成立：
（1） ;σττσ+=+ （2） （).()τσρτσρ++=++
令θ表示V 到自身的零映射，称为V 的零变换，它显然具有以下性质：对于任意)(V L ∈σ都
(3) .σσθ=+ 设σσσ-∈的负变换),(V L 指的是V 到V 的映射
).(:ξσξσ-- 容易证明，σ-也是V 的线性变换，并且.
(4) .)(θσσ=-+
我们定义V 的线性变换σ与τ的差
).(τστσ-+=-
这样，在L(V)里，加法的逆运算——减法可以施行。

现在定义F 中的数与V 的线性变换的一个“纯量乘法”。

设
k ).(,V L F ∈∈σ。

对于每一,V ∈ξ，令k )(ξσ与它对应。

这样得到V 到V 的一个映射，记作k .σ
k σ也是V 的一个线性变换。

事实上，令,σϕk =，那么对于a ，b F ∈ 和,,V ∈ηξ
))(()(ηξσηξϕb a k b a +=+ ))()((ησξσb a k +=
)()(ησξσbk ak +=
).()(ηϕξϕb a +=
容易证明，下列算律成立：
（5） ,)(τστσk k k +=+
（6） ,)(σσσl k l k +=+
（7） ),()(σσl k kl = (8) ,1σσ=
这里k,l 是F 中任意数，τσ,是V 的任意线性变换。

定理7。

2。

1 L(V) 对于加法和纯量乘法来说作成数F 域上一个向量空间。

现在设)(,V L ∈τσ。

我们已经看到，合成映射),(V L ∈τσ ，我们也把合成映射τσ 叫做σ与τ的积，并且记作στ。

算律
(9) ρτρστσρ+=+)(, (10) τρσρρτσ+=+)(,
(11) ),()()(στστσk kl k == 对于任意)(,,,V L F k ∈∈τρσ成立。

我们只验证一下等式（9），其余两个等式可以类似地验证。

设V ∈ξ。

我们有
())((ρξτσρ=+)))((ξτσ+
))()((ξτξσρ+=
))(())((ξτυξσρ+=
)()(ξρτξρσ+=
))((ξρσρσ+=,
应而（9）成立。

7．1中等式（3）表明，线性变换的乘法满足结合律；对于任意),(,,,V L ∈τσρ，都有
（).()στρτρσ= 因此，我们可以合理的定义一个线性变换σ的n 次幂
n
σ n σσσ=, 这里n 是正整数.
令ι表示V 到V 的单位映射，称为V 的单位映射。

我们再定义
0σ.ι= 这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。

设
f()χ=0a 1a +n a ++ χ 是上一个多项式，而)(V L ∈σ，以σ代替χ，以0a ι代替0a ，得到V 的一个线性变换
0a 1a +ισ+n a + n σ,
这个线性变换叫做当σχ=时的值，并且记作f()σ。

因为对于V ∈ξ任意，0a 0)(a =ξιξ，我们也可将简记作，这时可以写
f(0)(a =σ1a +n a ++ σn σ.
如果f(][)(),χχχF g ∈，并且 ),()()(χχχμg f += ),()()(χχχνg f =
那么根据中运算所满足的性质，我们 u(σ)=f(σ)+g(σ), v(σ)=f(σ)g(σ).
布置作业:P326.补充题1.1). 2) 3.1).2).3).
第三节 线 性 变 换 和 矩 阵
教学目的：
1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A ，以及n 阶矩阵A 和基，求出关于这个基的矩阵 为A 的线性变换。

2、 由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标。

3、 已知线性变换关于某个基的矩阵 ，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。

教学内容：
1、 线性变换的矩阵
现在设V 是数域F 上一个n 维向量空间.令是V 的一个线性变换.取定一个基
1α,2α,⋯,n α. 考虑V 中任意一个向量
ξ=.2211n n x x x ααα+++
σ(ξ)仍是V 的一个向量.设
σ(ξ)=.2211n n y y y ααα+++ 自然要问,如何σ(ξ)计算的坐标()n y y y ,,,21 . 令
(),12211111n n a a a αααασ+++=
(),22221122n n a a a αααασ+++= (2) ……………………………………………
(),2211n nn n n n a a a a ααασ+++= 这里ij α,i,j=1,…,n ,就是()j ασ关于基n αα,,1 的坐标.
令
11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a
n 阶矩阵 A 叫做线性变换σ关于基{}n ααα,,,21 的矩阵.矩阵A 的第j 列元素就是这样,取定F 上n 维向量空间V 的一个基之后,对于V 的每一个线性变换,有唯一确定的
F 上n 阶矩阵与它对应. 为了计算()ξσ关于基{}n ααα,,,21 的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式
(3) ()()()()n ασασασ,,,21
=()A n ααα,,,21 . 设
=ξn n x x x ααα+++ 2211
=()n ααα,,,21 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21
因为σ是线性变换,所以
(4) ()()()()n n x x x ασασασξσ+++= 221
=()()()()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛n n x x x 2121,,,ασασασ 将(3)代入(4)得
()=ξσ()n ααα,,,21 A .21⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n x x x
最后等式表明,()ξσ关于()n ααα,,,21 的坐标所组成的列是
A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n x x x 21
比较等式(1),我们得到
定理7.3.1 令V 是数域F 上一个n 维向量空间,是V 的一个线性变换,而关于V 的一个基的矩阵是
. ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211
如果V 中向量ξ关于这个基的坐标是()n x x x ,,,21 ,而()ξσ的坐标是
()n y y y ,,,21 ,那么
(5)
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121 在空间2V 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量21,εε作为2V 的基.令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是2V 的一个线性变换.我们有
()().
cos sin ,
sin cos 212211θεθεεσθεθεεσ+-=+=
所以σ关于基{}21,εε的矩阵 是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos
设2V ∈ξ,它关于基{}21,εε的坐标()21,x x 是,而()ξσ的坐标是()21,y y .那么
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21x x
例1 令
V 是数域F 上一个n 维向量空间。

ξξσk :是V 的一个位似。

那么σ关于V 的任意基的矩阵是
例2 ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛k k k
00
2、线性变换的性质：
引理7.3.2 设V 是数域F 上一个n 维向量空间，{}n ααα,,,21 是V 的一个基。

那么对于V 中任意n 个向量n βββ,,,21 ，恰有V 的一个线性变换σ，使得
().,,2,1,n i i i ==βασ
证 设
n n x x x αααξ+++= 2211 是V 中任意向量。

我们如下地定义V 到自身的一个映射σ： ()n n x x x βββξσ+++= 2211 我们证明，σ是V 的一个线性变换。

设
V y y y n n ∈+++=βααη 2211 那么
()()()n
n n y x y x y x αααηξ++++++=+ 2
22111
于是
()()()()()
()()()
ησξσββββββββηξσβ+=+++++++=++++++=+n n n n
n n y y y x x x y x y x y x n 22112211222111
设F a ∈，那么
()()()()
ξσβββσβββααασξσa x x x ax ax ax ax ax ax a n n n
n n n =+++=+++=+++= 221122112211
这就证明了σ是V 的一个线性变换。

线性变换σ显然满足定理所要求的条
件：
()n i i i ,,2,1, ==βασ
如果τ是V 的一个线性变换，且
()n i i i ,,2,1, ==βατ 那么对于任意n n x x x αααξ+++= 2211V ∈，
()()
()()()()
ξσβββατατατααατξτ=+++=+++=+++=n n n n n n x x x x x x x x x 22112211221
从而.στ=
定理7.3.3 设V 是数域F 上一个n 维向量空间，{
}n ααα,,,21 是V 的一个基。

对于V 的每一线性变换σ，令σ关于基{
}n ααα,,,21 的矩阵A 与它对
应。

这样就得到V 的全体线性变换所成的集合()V L 到F 上全体n 阶矩阵所成的集合()F M n 的一个双射。

并且如果()V L ∈τσ,，而
,,B A τσ 那么
（6） .,,F a aA a B A ∈++ στσ （7） .AB στ 证 设线性变换σ关于基{}n ααα,,,21 的矩阵是A 。

那么 A σ
是()V L 到()F M n 的一个映射。

反过来，设
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a
a a a A
212222111211 是F 上任意一个n 阶矩阵。

令
.,,2,1,2211n j a x a x a n nj j j j =+++=αβ
由引理7.3.2，存在唯一的()V L ∈σ使 ()
.,,2,1,n j j j ==βασ
显然关于基{}n ααα,,,21 的矩阵就是A 。

这就证明了如上建立的映射是
()V L 到()F M n 的双射。

设()()
ij ij b B A == τασ,。

我们有
()()()()n ασασασ,,,21 =()A n ααα,,,21 ()()()()n ατατατ,,,21 =()B n ααα,,,21
由于σ是线性变换，所以 ().
,,2,1,11n j b b n
i i ij n i i ij ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==ασασ 因此
()()()()n αστασταστ,,,21 =()()()()n ασασασ,,,21 A=()AB n ααα,,,21
所以στ关于基{
}n ααα,,,21 的矩阵就是AB 。

（7）式成立。

至于（6）式成立，是显然的。

这个定理说明，作为F 上的向量空间()V L 与()F M n 同构。

由（7），我们说，这个同构映射保持乘法。

由此进一 步得到
推论7.3.4 设数域F 上 n 维向量空间V 的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A 。

那么σ可逆必要且只要A 可逆，并且1-σ关于这个基的矩阵就是1-A
证 设σ可逆。

令1-σ关于所取定的基的矩阵是B 。

由（7），
AB l 1-=σσ
然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I 。

所以AB=I 。

同理BA=I 。

所以B= 1-A
反过来，设A σ，而A 可逆。

由定理7.3.3，有()V L ∈τ使1-A τ。

于
是
I AA =-1 στ
注意到（5），可看出στ=l 。

同理l =τσ。

所以σ有逆1-σ，而τ=1-σ
3.一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：
设V 是数域F 上一个n 维向量空间。

σ是的V 一个线性变换。

假设σ关于
V 的两个基{}n ααα,,,21 和{}n βββ,,,21 的矩阵分别是A 和B 。

即
()()()()n αστασταστ,,,21 =()A n ααα,,,21 ，
()()()()n βσβσβσ,,,21 =()B n βββ,,,21
令T 是由基{}n ααα,,,21 到基{}n βββ,,,21 的过渡矩阵：
()n βββ,,,21 =()T n ααα,,,21
于是 ()B n βββ,,,21 =()()()()n βσβσβσ,,,21 =()()()()T n αστασταστ,,,21
=()AT n ααα,,,21 =()AT T n 121,,,-βββ
因此 （8） AT T B 1-=
等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。

设A ，B 是数域F 上两个n 阶矩阵。

如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使等
式（8）成立，那么就说B 和A 相似，并且记作A~B
n 阶矩阵的相似关系具有下列性质：
1自反性：每一个n 阶矩阵A 都与它自己相似，因为A=AI I 1-
2对称性：如果A~B ，那么B~A
因为由AT T B 1-=得().11
11----==BT T TBT A
3传递性：如果A~B 且B~C ，那么A~C
反过来，设A 和B 是数域F 上两个相似的n 阶矩阵。

那么由定理7.3.3，
存在F 上n 维向量空间V 的一个线性变换σ，它关于V 的一个基{
}n ααα,,,21 的矩阵就是A 。

于是
()()()()n ασασασ,,,21 =()A n ααα,,,21
因为B 与A 相似,所以存在一个可逆的矩阵T,使得
AT T B 1-=
令
()n βββ,,,21 =()T n ααα,,,21
那么由定理6.5.3，{}n βββ,,,21 也是V 的一个基。

容易看出，σ关于这
个基的矩阵就是B 。

因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换关于两个基的矩阵。

下令等式成立: (),12111211T A T T A T T A T T A A A T r n ----+++=+++
布置作业:P321.7.8.9.11.14.15.
第四节 不 变 子 空 间
教 学 目 的:
1. 掌握验证一个子空间是某线性变换的不变子空间的方法。

2.会求某些向量空间的线性变换的不变子空间的。

教 学 内 容:
1定义和例子
令V 是数域F 上的一个向量空间，σ是V 的一个线性变换。

定义 V 是一个子空间W 说是在线性变换σ之下不变（或稳定），如果
σ （W ）⊆W 。

如果子空间W 在σ之下不变，那么W 就叫做σ的一个不变子空间。

V 本身和
零空间{}0显然在任意线性变换之下不变。

令σ是V 的一个线性变换。

那么σ的核Ker(σ)和象Im(σ)都在σ之下不
变。

事实上，对于任意)(σξKer ∈,都有σ(ξ)=0)(σKer ∈,所以)(σKer 在σ之
下不变。

至于Im(σ)在σ之下不变，是显然的。

例1 V 的任意子空间在任意位似变换之下不变。

例2 令σ是V 3中以某一过原点的直线L 为轴，旋转一个角θ的旋转，那
么旋转轴L 是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L 垂直的平面H 是σ的一
个二维不变子空间。

例3 令F[x]是数域F 上一切一元多项式所成的向量空间，σ：f(x)→
f '(x)是求导数运对于每一自然数n ，令F n [x]表示一切次数不超过n 的多项式
连同零多 项式所成的子空间。

那么F n [x]在σ不变。

设 W 是线性变换σ的一个不变子空间，只考虑σ在W 上的作用，就得到子
空间W 本身的一个线性变换，称为σ在W 上的限制，并且记作σ/w ︱︳∣∣。

这样，对于任意W ∈ξ， ).()(ξσξσ=w
然而如果,W ∉ξ那么)(ξσ
w 没有意义。

2．不变子空间和简化线性变换矩阵关系：
设V 是数域F 上的一个 n 维向量空间， 是V 的一个线性变换。

假
设 有一个非平凡子空间W ，那么取W 的一个基1α，2α ， ，r α 。

再补充成为V 的一个基1α ，2α ， ，r α ，1+r α ， ，n α 。

由于W 在 之下不
变，所以 σ(1α)，σ (2α) ， σ(n α)仍在W 内，因而可以由基1α ，
2α ， ，n α 线性表示，我们有：
,)(12221111r r a a a αααασ+++=
=
,2)(2121r rr r a r a a αααασ+++=
)(1+r σσn r n r r r r r r a a a a αααα1,11,11,11,1+++++++++++= .
)(n ασn n n r n r r rn n a a a a αααα,1,1,11+++++=++
因此，σ 关于这个基的矩阵有形状
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=331A O A A A 这里 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=rr r r A αααα 11111
是w \σ关于W 的基r ααα,,,21 的矩阵，而A 中左下方的O 表示一个(n-
r)⨯r 零矩阵。

由此可见，如果线性变换σ 有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V 的
基 ，可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零。

特别，如果V 可以写成两个非
平凡子空间1W 和2W 的直和：
,21W W V ⊕=
那么 选取1W 的一个 基r ααα,,,21 和2W 的一个基,1,,n r αα + 凑成 V
的一个基n ααα,,,21 。

当 1W 和 2W 都在σ 之下不变时，容易 看出，σ
关于 这样选取的基的矩阵 是
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=21A O O A A
这里 1A 是一个r 阶矩阵 ，它是2/w σ 关于 基r αα,,1 的矩阵，而2A 是
一个r n - 阶矩阵它是2/w σ关于基n r αα,,1 + 的矩阵。

例6 令 σ 是例4所给出的3V 的线性变换。

显然 3V 是一维子空间L
与二维子空间H 的直和，而L 与H 在 σ 之下不变。

取L 的一个非零向量1α，
取 H 的两个彼此正交的单位长度向量,,32αα，那么321,,ααα 是3V 的一个
基，而σ关于这个基的矩阵是
.cos sin 0sin cos 0001⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθ 一般地，如果向量空间V 可以写成s 个子空间W 1,W 2s W ,的直和，并且每
一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的
一个别基σ，σ关于这个基的矩阵就有形状
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛s A A A 0..021, 这里A i 是wi σ关于所取的的基的矩阵。

因此，给了n 维向量空间V 的一个线性变换，只要能够将V 分解成一些在
σ之下不变的子空间的直和，那么就可以适当地选取V 的基，使得σ关于这个
基的矩阵具有比较简单的形状。

显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩
阵的形状就越简单。

特别，如果能够将V 分解成n 个在σ之下不变的一维子空
间的直和，那么与σ相当的矩阵就有对角形式。

在以下两节，我们将对这个问
题进行讨论。

一般地，如果向量空间V 可以写成s 个子空间W 1,W 2s W ,的直和，并且每
一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的
一个别基σ，σ关于这个基的矩阵就有形状
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛s A A A 0..021, 这里A i 是wi σ关于所取的的基的矩阵。

因此，给了n 维向量空间V 的一个线性变换，只要能够将V 分解成一些在
σ之下不变的子空间的直和，那么就可以适当地选取V 的基，使得σ关于这个
基的矩阵具有比较简单的形状。

显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩
阵的形状就越简单。

特别，如果能够将V 分解成n 个在σ之下不变的一维子空
间的直和，那么与σ相当的矩阵就有对角形式。

在以下两节，我们将对这个问
题进行讨论。

布置作业:P325.20.21.22.23.24.
P326.补充题6.7.8.
第五节 特 征 根 和 特 征 向 量
教学目的：
1． 熟悉掌握线性变换（矩阵）的特征根与特征向量的方法。

2． 掌握特征根与特征向量的一些常用的性质。

教学内容:
1．线性变换的特征根与特征向量：
一维不变子空间和所谓特征根的概念有着密切的联系，后者无论在理论上
还是在应用上都是非常重要的。

设V 是数域F 上一个向量空间。

σ是V 的一个线性变换。

定义1 设λ是F 中一个数。

如果存在V 中非零向量ξ，使得
（1） ()λξξσ=
那么λ就叫做σ的一个特征根，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个特征向
量。

显然，如果ξ是σ的属于特征根λ的一个特征向量，那么对于任意a ∈F ，
都有
)()()(ξλλξξσξσa a a a ===
这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；
反过来，如果V 的一个一维子空间U 在之下不变，那么U 中每一个非零向量都
是的属于同一特征根的特征向量。

例1 令H 是的一个过原点的平面，而是把的每一向量变成这个向量在
H 上的正射影的线性变换（参看7.1,例题）。

那么H 中每一个非零向量都是的
属于特征根深蒂固的特征向量，而过原点与平面H 垂直的直线上每一个非零向
量都是的属于特征根的特征向量。

例2 令D 表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量
空间。

)()(:x f x f ' δ是求导数运算。

δ是D 的一个线性变换。

对于每一个实
数λ，我们有
x x e e λλλδ=)(
所以任何实数λ都是δ的特征根，而x e λ是属于λ的一个特征向量。

例3 令F[x ]是数域F 上一切一元多项式所成的向量空间。

容易证，
)()(:x xf x f σ
是F[x ]的一个线性变换。

比较次数可知，对于任何F ∈λ，都不存在非零
多项式)(x f ，使)()(x f x xf λ=，因此σ没有特征根。

设V 是数域F 上一个n 维向量空间。

取定V 的一个基{}n ααα,,,21 ，令线
性变换σ关于这个基的矩阵是
.)(nn ij a A =
如果n n x x x αααξ+++= 2211是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向
量，那么由（1）和定理7.3.1，我们有
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 2121λ, 或
(2)
.000)(21⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- n x x x A I λ 因为0≠ξ，所以齐次线性方程组（2）有非零解。

因而系数行列式 (3)
0212222111211=---------=-nn
n n n n
a a a a a a a a a A I λλλλ
反过来，如果满足等式（3），那么齐次线性方程组（2）有非零解
()n x x x ,,,21 ，因而n n x x x ξξξξ+++= 2211满足等式（1），即λ是σ的一个
特征根。

等式（3）中出现的行列式很重要。

我们引入以下
定义2 设是数域F 上一个阶矩阵。

行列式
nn
n n n n
A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=
212222111211)( 叫做矩阵A 的特征多项式。

显然，][)(x F x f A ∈。

等式（3）表明，如果A 是线性变换σ关于V 的一个基的矩阵，而λ是σ的
一个特征根，那么λ是A 的特征多项式)(λA f 的根：
0)(=λA f
现在设线性变换σ关于V 的另一个基的矩阵是B 。

我们证明A 与B 有相同的
特征多项基本式。

也就是说，相似的矩阵有相同的特征多项式。

事实上，设存
在可逆矩阵T 使
AT T B 1-=
因为I IT T =-1，所以
.)(111T A xI T AT T IT XT B xI -=-=----
于是由定理5.2.7，
)()()(11x f A xI T A xI T T A xI T B xI x f A B =-=-=-=-=--
3．求线性变换σ特征根与特征向量的一般步骤：
定理7.5.1 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换.F ∈λ是
σ的一个特征根必要且只要λ是σ的特征多项式)(x f σ的一个根.
现在来研究一下矩阵A 的特征多项式
（4） .)(212222111211nn
n n n n
A a x a a a a x a a a a x x f ---------=
将这个行列式展开，得到][x F 中一个多项式。

它的最高次项是n x ，出现在
主对角线上元素的乘积
（5） ()()()nn a x a x a x --- 2211
里。

行列式的展开式其余的项至多含有2-n 个主对角线上的元素。

因此，
)(x f A 是乘积（5）和一个至多是x 的一个2-n 次多项式的和。

因此，)(x f A 中
次数大于2-n 的项只出现在乘积（5）里，所以
,)()(12211 ++++-=-n nn n A x a a a x x f
这里没有写出的项的次数至多是2-n 。

在
中，
的系数乘以-1就是矩阵A 的主对角线上元素的和，叫做
矩阵A 的迹。

并且记作Tr(A):
其次，在（4）式里，令得
也就是说，特征多项式的常数项等于A的行列式乘以。

例4 设
那么
阶矩阵A的特征多项式在复数域C内的根叫做矩阵A的特
我们把
征根。

设是矩阵A的一个特征根，那么齐次线性方程组（2）的一个非零解
的一个特征向量。

由于F上每一个阶矩阵都可
叫做矩阵A的属于特征根
以看成F上一个
的特征根，而A的属于的特征向
阵，所以矩阵A的属于F的特征根就是
量就是
的属于的特征向量关于所给定基的坐标。

设是矩阵A的全部特征根。

那么
因此我们有
即矩阵A的迹等于 A的全部特征根的和，A的行列式等于A的全部特征根的乘积。

设
是数域F上
维向量空间V的一个线性变换，它关于V
的一个基
的矩阵是A。

要求出
的待征根，只要求出A的属
于F的待征根，设
是矩阵A的一个待征根，这时齐次线性方程组（2）
有非零解，每一个非零解都是
的属于
的一个待征向量关于基
的坐标。

例5 设R上三维向量空间的线性变换关于一个基的矩阵是
求
的待征根和相应的待征向量。

先写出矩阵A的待征多项式
=(x - 4)(x
+ 4)
它只有一个实根x=4。

为了求出属于待征根
的待征向量，我们需要解齐次线性方程组
即
,
-,
.
这个方程组的解是(a, a, -a),a。

因此,属于待征根4的待征向量是
例6 求矩阵
的待征根和相应的待征向量。

所以矩阵A的待征根是1和5。

矩阵A的属于待征根1的待征向量是齐次线性方程组
-4x = 0,
,
, ）,
的非零解，即（0，
0x= 0,
的非零解，即(
, b, -b), ,b且不全为零。

布置作业:P325.24.25.26.
P327.补充题4.5.
第六节 可以对角化的矩阵
教学目的：
1． 掌握矩阵与对角矩阵相似的几个条件。

2． 熟练掌握矩阵对角化方法步骤。

3． 将可对角化的矩阵A 对角化后，求A 的高次方幂。

教学内容：
1． 线性变换（矩阵）可对角化的概念。

设σ是数域F 上n （n 1）维向量空间V 的一个线性变换。

如果存在V 的一
个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式
λ1 0 0 0
0 λ2 0 0
（1） ………………………………
0 0 0 …… λn 那么就说，σ可以对角化。

类似地，设A 是数域F 上一个n 阶矩阵。

如果
存在F 上一个n 阶可逆矩阵T ，使得T 1-AT 具有对角形式（1），那么就说矩阵
A 可以对角化。

定理7.6.1 令σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换。

如
果1ξ，2ξ……n ξ分别是σ的属于互不相同的特征根1λ,2λ,……n λ的特征向
量，那么1ξ，2ξ……n ξ线性无关。

证 我们对n 用数学归纳法来证明这个定理。

当n=1时，定理成立。

因为特征向量不等于零。

设n>1并且假设对于n-1
来说定理成立。

现在设1λ，2λ，……n λ是σ的两两不同的特征根，i ξ 是属于
特征根i λ的特征向量：
（2） σ（i ξ）=i λi ξ，i=1，2，……，n.
如果等式
（3） a 11ξ+a 22ξ+……+a n n ξ=0，a i ∈F ，
成立，那么以n λ乘（3）的两端得
（4） a 1n λ1ξ+a 2n λ2ξ+……
+a n n λn ξ=0。

另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有
（5） a 11λ1ξ+a 22λ2ξ+……+a n n λn ξ=0
（5）式减（4）式得
a 1（1λ-n λ）1ξ+ ……+a 1-n （ 1-n λ-n λ）1-n ξ=0
根据归纳法假设，1ξ，2ξ，……，1-n ξ线性无关，所以
a i （i λ-n λ）=0，I=1，2，……，n-1。

但1λ,2λ,……n λ两两不同，所以a 1=a 2=……=a 1-n =0。

代入（3），因为
n ξ≠0，所以a n =0。

这就证明了1ξ，2ξ……n ξ线性无关。

推论7.6.2 令σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换。

如果σ的特
征多项式f σ（x ）在F 内有n 个单根，那么存在V 的一个基，使σ关于这个基
的矩阵是对角形式。

证 这时σ的特征多项式f σ（x ）在F [x ]内可以分解成为线性因式的乘
积：
f σ（x ）=（x-1λ）（x-2λ） (x)
n λ），
i λ∈F ，且两两不同。

对于每一个i λ，选取一个特征向量i ξ,I=1,……，n.
由定理7.6.1，1ξ，2ξ……n ξ线性无关，因而构成V 的一个基。

σ关于这个基
的矩阵是
1λ 0 0 …… 0 0 2λ 0 …… 0 …………………… 0 0 0 …… n λ
和推论7.6.2平行，用矩阵的说法是 推论7.6.3 令A 是数域F 上一个
n 阶矩阵。

如果A 的特征多项式fA (x)
在F 内有n 个单根，那么存在一个n 阶可逆矩阵T ，使
T -1AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛λλλn 00000000021。

注意，推论7.6.3的条件只是一个n 阶矩阵可以对角化的充分条件，但不
是必要条件。

例如，n 阶单位矩阵I n 本身就是对角形式，但它的特征根只有n
重根1。

2.n 阶矩阵可以对角化的充分必要条件。

设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换，λ是σ的一个特征根。

令
V λ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ}
我们有V λ=Ker （λ-σ），因而是V 的一个子空间。

这个子空间叫做σ的
属于特征根λ的特征子空间。

V λ中每一非零向量都是σ的属于特征根λ的特征
向量。

设ξ∈V λ，那么σ(σ(ξ))=σ(λξ)=λσ(ξ),因而V A 在σ之下不变。

现在令V 是数域F 上一个n 维向量空间，而σ是V 的一个线性变换。

设λ
是σ的一个特征根，V A 是σ的属于特征根λ的特征子空间。

任意取V A 的一个余
子空间V '。

那么
V=V λ⊕V '。

取V λ的一个基1α ，……，s α和V '的一个基1+s α，……，n α，凑成V 的
基，由7.4，σ关于这个基的矩阵有形状
λI ， A 1 A=
O ， A 2
这里I s 是一个s 阶单位矩阵。

因此，A 的特征多项式是
（x-λ）I s -A 1 f A （x ）= O xI s n --
A 2
=（x-λ）s xI s n --A 2=（x-λ）s g （x ）。

由此可见，λ至少是f A （x ）的一个s 重根。

如果线性变换σ的特征根λ是σ的特征多项式f σ（x ）的一个γ重根，那么
就说，λ的重根数是γ。

设λ是σ的一个γ重特征根，而σ的属于特征根λ的特
征子空间的维数是s 。

由以上的讨论可知，s ≤r ，即σ的属于特征根λ的特征
子空间的维数不能大于λ的重数。

如果σ的特征多项式在F 内有n 个单根，那么σ的每一个特征子空间的维
数都等于1，也就是等于特征根的重数。

根据推论7.6.2可以证明，这时向量
空间V 是σ的一切子空间的直和：
V=V 1λ⊕V 2λ⊕……⊕V n λ。

一般，如果向量空间V 的一个线性变换σ的特征多项式的根都在F 内，
并且V 可以写成σ的属于不同特征根的特征子空间的直和：
V=V 1λ⊕V 2λ⊕……⊕V t λ
这里1λ，2λ……，t λ是σ的一切互不相同的特征根，那么从每一个特征子
空间各取一个基，凑起来就得到V 的一个基，σ关于这个基的矩阵就有对角形
式：
1λ s 1个 0
2λ t λ
s t 个
t λ
0 推论7.6.4 设 σ是属于F 上n 维向量空间V 的一个线性变换。

令
1λ,2λ,…t λ ∈F 是σ的互不相同的特征根，V I λ是σ的属于特征根i λ的特征子
空间。

那么子空间的和
W=V 1λ+V 2λ+…+V I λ
是直和，并且W 在σ之下不变。