2023-2024学年四川省成都市高一下学期开学考试数学(理)检测试卷(有解析)

2023—2024学年四川省成都市高一下学期开学考试数学（理）
检测试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，能表示集合与关系的图是( )
U =R A ={x ∈N|x 2
−3x⩽0}B ={1,2}Venn
A. B.
C. D.
2.已知向量，，则在方向上投影为( )a =(−1,2)⃗b =(3,2)
a +
b a−b A. B. C. D. 4
−2
2
−4
3.技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了5G 5G 最近个月手机的实际销量，如表所示： 5时间x
12345
销售量千只y()0.50.81.01.21.5
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )y x
y =0.24x +
a A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数y x r <1B. 线性回归方程中
y =0.24x +
a
a =0.26C. 残差的最大值与最小值之和为
e i (i =1,2,3,4,5)0D. 可以预测时该商场手机销量约为千只x =65G 1.72()
4.方程表示双曲线的必要不充分条件可以是( )
x 2
m +3
+
y 2m−1
=1
A. B. m ∈(−3,1)m ∈(−3,−1)∪(−1,1)
C. D. m ∈(−3,+∞)
m ∈(−3,−1)5.执行如图所示的程序框图，若依次输入，
，
m =
ln2
2n =
ln33，则输出的结果为( )
p =
ln5
5
A. ln22
B. ln33
C. ln55
D. 以上都不对
6.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，
△ABC A B C a b c △ABC S △ABC =
3，则( )
S △ABC =
34
(a 2+c 2−b 2)
⃗AB ⋅⃗BC
=
A. B. C. D.
3
−
3
2
−2
7.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为( )n S n S 6=36S n−6=144S n =324n A. B. C. D. 15
16
17
18
8.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为( )A. 1B. 2
C. 2 5
5D.
4 55
9.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为x 2
=4y F l A B AF ⊥BF P 线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是( )
AB P l Q |PQ|
|AB|A. B. C. D.
2
3
3
3
2
2
3
2
10.如图，正方体的棱长为，线段上有两ABCD−A 1B 1C 1D 11CD 1个动点，，且
，点，分别为，的中点，
E F EF =1
2
P Q A 1B 1BB 1在侧面上运动，且满足平面，以下命题错G CDD 1C 1B 1G//CD 1PQ 误的是( )A. AB 1⊥EF
B. 多面体的体积为定值
AEFB 1
C. 侧面上存在点，使得CDD 1C 1G B 1G ⊥CD 1
D. 直线与直线所成的角可能为B 1G BC π
6
11.已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：l 1x +y−4=0M(0,1)3A B l 2与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是( )
2mx +2y−3m−5=0M C D ACBD A. B. C. D. 9
3
9
2
6
2
9(
2+1)
12.已知函数在区间上有且仅有个极值点，给出下列四个结
f(x)=sin(ωx +π
4)(ω>0)
[0,π]4论：
在区间上有且仅有个不同的零点；①f(x)(0,π)3的最小正周期可能是；②f(x)π
2的取值范围是；③ω(134,17
4]在区间上单调递增．④f(x)(π23,π
19)其中正确结论的个数为( )A. B. C. D. 1
2
3
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，则的共轭复数为______．
(2−i)⋅z =3i z 14.在的展开式中，含的项的系数是______用数字作答x(x +1)(x−1)3x 2
.()
15.已知为等腰三角形，其中，点为边上一点，以点、为焦△ABC AB =AC D AC cosB =1
3.
B D 点的椭圆经过点与，则椭圆的离心率的值为______．
E A C E 16.若函数与的图像在实数集上有且只有个交点，则实数
f(x)=a x (a >0,a ≠1)g(x)=x 2
R 3的取值范围为______．
a 三、解答题：本题共7小题，共82分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题分(12)
已知数列的首项为，且满足，数列满足．{a n }a 1=1na n +1=(n +1)a n {b n }b n =
1
3n−1Ⅰ求的通项公式；
(){a n }Ⅱ设数列的前项和为，求．
(){2a
n b n }
n T n T n 18.本小题分(12)
某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为，，，员工隶属于甲部门现在医
6912A .务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，
1
2且每个人血检是否呈阳性相互独立．
现采用分层抽样的方法从中抽取人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中(1)9分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率；
A 将甲部门的名员工随机平均分成组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，(2)62则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望．.X X 19.本小题分(12)
如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，CDEF △ADE AD ⊥DE CD ⊥DE AB/​/CD/​/EF ，，，，连接，．AE =2DE =8AB =3EF =9CD =12BC BF Ⅰ若为边上一点，
，求证：平面；
()G AD DG =1
3DA
EG/​/BCF Ⅱ求二面角的余弦值．
()E−BF−C
20.本小题分(12)已知椭圆
的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交
E ：x 2
a 2+
y 2b
2
=1(a >b >0)
2
22E F l E 于、两点，与直线相交于点．
A B x =−2M 若，求证：；
(1)M(−2,−1)|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点求
(2)F l m E C D x =−2N.的最大值．
1
|MA|
+1|MB|+1|NC|+1
|ND|
21.本小题分(12)
已知函数，．
f(x)=x 2
−ax +1g(x)=lnx +a(a ∈R)若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；(1)a =1f(x)>g(x)(0,t)t 若函数和有公切线，求实数的取值范围．(2)f(x)g(x)a 22.本小题分(10)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为
为参数以坐标原点为极点，轴的xOy C {
x =
2(1−t 2)1+t 2y =
2 3t
1+t 2
(t
)O x 正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程．
l 3ρcosθ−ρsinθ−
3=0Ⅰ求和的直角坐标方程；
()C l Ⅱ，直线与交于，两点，其中点在第一象限，求点的极坐标及点的()θ∈[0,2π)l C M N N M N 极径．
23.本小题分(12)
已知函数，．f(x)=|2x +3|+|2x−2|g(x)=sin2x 求函数的最小值；
(1)f(x)+g(x)设，，求证：．
(2)a b ∈(−1,1)|2a +1|−|1−2b|<|2ab +2|
答案和解析
1.【正确答案】
B 解：全集，集合，，
U =R A ={x ∈N|x 2
−3x⩽0}={x ∈N|0⩽x⩽3}={0,1,2,3}B ={1,2}所以，所以能表示集合、关系的图是选项B ．B⫋A A B Venn 故选：．
B 解不等式得出集合，由此判断集合、关系即可．A A B 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【正确答案】
B 解：，，a =(−1,2)⃗b =(3,2)
则，，
⃗a
+⃗b
=(2,4)
⃗a
−⃗b
=(−4,0)
故在方向上的投影向量为：．
a +
b a−b (⃗a −⃗b
)⋅(⃗a
+⃗b
)
|⃗a −⃗b
|
=⃗a
2−⃗b
2
|⃗a −⃗b
|=
−8
4
=−2
故选：．
B 根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．3.【正确答案】
B 解：从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数y x y x ，故A 正确；
r <1由已知数据易得，代入中得到，−x =3,−
y =1
y =0.24x +
a
a =1−3×0.24=1−0.72=0.28故B 错误；
，，，
y =0.24x +0.28
y 1=0.24+0.28=0.52
y 2=0.24×2+0.28=0.76，，， y 3=0.24×3+0.28=1.00
y 4=0.24×4+0.28=1.24
y 5=0.24×5+0.28=1.48，，，， e 1=0.5−0.52=−0.02
e 2=0.8−0.76=0.04
e 3=1−1=0
e 4=1.2−1.24=−0.04，
e 5=1.5−1.48=0.02残差的最大值与最小值之和为，故C 正确；
e i (i =1,2,3,4,5)
e 2=0.04
e 4=−0.040
时该商场手机销量约为，故D 正确．x =65G
y =0.24×6+0.28=1.72故选：．
B 根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定；根据残差定义求A B 得各个残差，进而得到残差的最大值与最小值，从而判定；利用回归方程预测计算即可
C 判定．
D 本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．4.【正确答案】
C 解：如果方程表示双曲线，
x 2
m +3
+
y 2m−1
=1
则，解得：，
(m +3)(m−1)<0−3<m <1则：方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含
x 2
m +3
+
y 2m−1
=1
．{m|−3<m <1}只有选项C 满足题意．故选：．
C 利用双曲线方程，求解的范围，然后判断充要条件，推出选项．m 本题考查双曲线的简单性质的应用，充要条件的判断，属于基础题．5.【正确答案】
C 解：根据题意，该流程图的作用是求出、、中的最小数，m n p ，25>52⇔ln 25>ln 52⇔5ln2>2ln5⇔ln22>ln55，
32>23⇔ln 32>ln 23⇔2ln3>3ln2⇔ln33
>
ln22，
∴p <m <n 即输出的结果为．
ln5
5故选：．
C 根据题意，该流程图的作用是求出、、中的最小数，再结合对数的运算性质比较出，m n p m ，的大小关系即可．
n p 本题主要考查了程序框图的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．6.【正确答案】
D
解：的面积，
∵△ABC S △ABC = 3=1
2acsinB
，∴acsinB =2 3，
S △ABC =
3
4
(a 2+c 2−b 2)则
，
3
4
(a 2+c 2−b 2)=1
2acsinB ，
∴tanB =sinB
cosB = 3，∵B ∈(0,π)，
，
∴B =
π
3sinB =
32
．
∴ac =4∴⃗AB ⋅⃗BC
=accos(π−B)=−2
故选：．
D 根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．7.【正确答案】
D 解：因为等差数列中，，，，S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=36S n−6=144S n =324则，S n −S n−6=a n +a n−1+a n−2+a n−3+a n−4+a n−5=180两式相加得，，即，6(a 1+a n )=216a 1+a n =36因为
，
S n =
n(a 1+a n )
2
=18n =324
所以．n =18故选：．
D 由已知可求出，，然后结a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6a n +a n−1+a n−2+a n−3+a n−4+a n−5合等差数列的性质可求，再由等差数列的求和公式可求．a 1+a n 本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．8.【正确答案】
D
解：由题意几何体是四棱锥，过作P−ABCD P 于，
PE ⊥AD E 在正方体中有平面，所以，CD ⊥PAD CD ⊥PE 又因为，所以平面，AD ∩CD =D PE ⊥ABCD 所以四棱锥的高为，
PE
由三视图可知，，解得．
5PE ×
5=2×2PE =
4 55
所以该四棱锥的高为：．
4 5
5
故选：．
D 画出几何体的直观图，利用三视图的数据转化求解即可．
本题考查三视图求解几何体的高，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．9.【正确答案】
C
解：设，，，在上的射影分别为|AF|=a |BF|=b A B l ，，则，，M N |AF|=|AM||BF|=|BN|故．
|PQ|=
|AM|+|BN|
2
=
a +
b 2又，所以，
AF ⊥BF |AB|=
|AF |2+|BF |2=
a 2+
b 2因为
，
a 2+
b 2=(a +b )2
−2ab ≥(a +b )2−(a +b )
2
2
=
(a +b )2
2所以，
a 2
+b
2≥
2(a +b)2
当且仅当时等号成立，a =b 故
．
|PQ||AB|
=
a +
b 2 a 2+b
2
≤a +b 2×
2(a +b)
2
=
22
故选：．
C 设，，，在上的射影分别为，，则，，求|AF|=a |BF|=b A B l M N |AF|=|AM||BF|=|BN|出，求出，然后得到比例关系，利用基本不等式转化求解最值即可．
|PQ||AB|本题给出抛物线的弦对焦点所张的角为直角，求中点到准线的距离与比值的取AB F AB M AB 值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．10.【正确答案】
D 解：对于，正方体中，，，、是线段上有两A ABCD−A 1B 1C 1D 1AB 1⊥A 1B A 1B/​/CD 1
E
F CD 1个动点，，故A 正确；
∴AB 1⊥EF 对于，，到的距离为定值，
是定值，B ∵EF =1
2B 1EF ∴S △B 1EF 点到平面的距离为定值，多面体的体积为定值，故B 正确；
∵A B 1EF ∴AEFB 1
对于，，当为中点时，，故C 正确；C ∵B 1C =B 1D 1∴G CD 1B 1G ⊥CD 1对于，取中点，中点，当与或重合时，
D C 1D 1M CC 1N G M N
直线与直线所成的角最大，B 1G BC ∠MB 1C 1，故D 错误．
tan∠MB 1C 1=1
2<
33
=tan π
6
故选：．
D 利用线线垂直的定义判断；利用多面体的体积判断；利用异面直线所成角判断．AC B D 本题以命题的真假判断为载体，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．11.【正确答案】
B 解：根据题意，圆的圆心为且半径为，
M M(0,1)3所以圆的方程为，即，
M x 2+(y−1)2=9x 2+y 2
−2y−8=0直线：与圆相交于，两点，
l 1x +y−4=0M A B 则有
，解得或，所以、的坐标为，，{x 2+y 2−2y−8=0x +y−4=0{x =3y =1{x =0
y =4A B (3,1)(0,4)则，且的中点为，
|AB|=
9+9=3
2AB (32,5
2)直线：，变形可得，直线恒过定点，l 22mx +2y−3m−5=0m(2x−3)+2y−5=0l 2N(32,5
2)
当与垂直时，四边形的面积最大，CD AB ACBD 此时的方程为
，变形可得，经过点，
CD y−5
2=x−3
2
y =x +1M(0,1)所以，
|CD|=2r =6故的最大值，
S 四边形ACBD =S △ACB +S △ADB =1
2×6×3 2=9 2故，
S 四边形ACBD ⩽9
2所以四边形的面积的最大值为．
ACBD 9
2故选：．
B
由已知可得圆的方程，求得交点，坐标，进而可得与中点坐标，求得直线恒过M A B |AB|l 2定点，当与垂直时，四边形的面积最大，可求得四边形的面积的最大N CD AB ACBD ACBD 值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．12.【正确答案】 B 解：根据题意，函数，f(x)=sin(ωx +π
4)(ω>0)
令
，，解可得
，，
ωx +π
4=π
2+kπ
k ∈Z x =
π+4kπ
4ωk
∈Z 因为在区间上有且仅有个极值点，即不等式有且仅有个整数解符
f(x)[0,π]40≤
π+4kπ4ω
≤π
4合题意，解得
，即，可得，，，，
0≤
1+4k 4ω
≤1
0≤1+4k ≤4ωk =0123即，解得
，即错误；
1+4×3≤4ω<1+4×4ω∈[134,17
4)
③对于，当时，，即可得①x ∈(0,π)ωx +π
4∈(π
4,ωπ+π4)ωπ+π
4∈[7π2,9π
2),
显然当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
ωπ+π
4∈(π4,7π
2]
f(x)(0,π)3当
时，在区间上有且仅有个不同的零点；即错误；
ωπ+π
4∈(π4,9π2)
f(x)(0,π)4①对于，的最小正周期为
，易知②f(x)T =
2π
ω
∈(8π17,8π
13]
π
2
∈(8π17,8π
13],
所以的最小正周期可能是，即正确；
f(x)π
2②对于，当
时，
；
④x ∈(π23,π
19)
ωx +π4∈(ωπ23+π4,ωπ19+π
4)
由
可知
，
ω∈[134,17
4)
(ωπ
23+π
4,ωπ
19+π
4)∈(9π23,9π
19)
由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即正确；
f(x)(π23,π
19)
④即可得正确．②④故选：．B 根据题意，令
，，则
，，结合条件可得
有
ωx +π
4=π
2+kπ
k ∈Z x =
π+4kπ
4ωk
∈Z 0≤
π+4kπ4ω
≤π
个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结4k ω论．
本题考查三角函数的图象、性质以及应用，注意求解三角函数中的取值范围时，经常利ω用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，属于基础题．13.【正确答案】 −3
5−6
5i
解：依题意，
z =3i
2−i =3i(2+i)
(2−i)(2+i)=−3
5+6
5i.
所以的共轭复数为z −3
5−6
5i.
故−3
5−6
5i.
化简复数，可得的共轭复数．z z 本题考查复数的运算，属于基础题．14.【正确答案】
2解：因为展开式的通项为，所以令，则其常数项为
(x−1)3
T r +1=C r
3⋅x
3−r
⋅(−1)r r =3；
T 4=−1令，则其含的项为，r =2x T 3=C 2
3⋅x =3x 又因为，
x(x +1)(x−1)3=(x 2+x)(x−1)3
所以原展开式中含的项的系数为：．x 2
1×(−1)+1×3=2故．
2首先得出展开式的通项为，然后分别令和得出其
(x−1)3
T r +1=C r
3⋅x
3−r
⋅(−1)r r =3r =2展开式的常数项和含的项，分两类情形即可得出所求的答案．x 本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
15.【正确答案】
3
3解：如图，设，则，
|AD|=x |AB|=2a−x =|AC|
，，∴|CD|=2a−2x ∴|CB|=2x ，
，
∴cos∠ABC =
1
2
|BC||AB|
=x 2a−x =1
3
∴x =a
2
，
，
∴|AB|=2a−x =
3a
2|AD|=x =a
2
，，∴|CD|=2a−2x =a ∴|CB|=2x =a 为椭圆的短轴上的顶点，∴C ，
∴cos∠BCA =∠ABC =1
3，
∴
a 2+a 2−4c 2
2a 2
=1
3
，，∴a 2=3c 2∴a = 3c 椭圆的离心率的值为．
∴
E c
a
=
33
故．
3
3画出图形，根据椭圆的几何性质，余弦定理，即可求解．本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，属中档题．16.【正确答案】
(e −2
e
,1)∪(1,e 2e
)解：依题意，仅有个解，
a x =x 2
3显然不是该方程的解，则，即仅有个解，
x =0lna x =lnx 2lna =lnx 2
x 3设，定义域关于原点对称，且满足
．
ℎ(x)=
lnx 2
x
,(x ≠0)
ℎ(−x)=
lnx 2−x
=−ℎ(x)
即为奇函数，ℎ(x)考虑时的情况，
，
，
x >0ℎ(x)=
2lnx
x ℎ'(x)=
2(1−lnx)
x 2
当时，，即在上单调递减，x >e ℎ'(x)<0ℎ(x)(e,+∞)当时，，即在上单调递增，0<x <e ℎ'(x)>0ℎ(x)(0,e)则函数极大值为
，且当时，；当时，；
ℎ(e)=2
e
x >1ℎ(x)>00<x <1ℎ(x)<0作出函数的大致图像如图所示：
ℎ(x)
由于
仅有个解，
lna =
lnx 2
x 3故与函数
的图像仅有个交点，
y =lna ℎ(x)=
lnx 2
x 3结合图像可得或，
−2
e <lna <0
0<lna <2
e 解得或．
e
−2
e
<a <11<a <e 2e
故．
(e −2
e
,1)∪(1,e 2e
)问题等价于仅有个解，进一步可等价于
仅有个解，设
，
a x =x 23lna =
lnx 2
x 3ℎ(x)=
lnx 2
x
,(x ≠0)
利用导数研究函数的性质，作出其图像，利用图像即可得解．ℎ(x)本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【正确答案】解：Ⅰ，()∵na n +1=(n +1)a n ，
∴a n +1
n +1=
a n n
=a n−1n−1=...=
a 22
=
a 11
=1
；
∴a n =n(n ∈N ∗)Ⅱ由Ⅰ得，
()()2a
n
b n
=2n ×(3n−1)
，∴T n =2×21+5×22+8×23+⋯+(3n−4)×2n−1+(3n−1)×2n ①，∴2T n =2×22+5×23+8×24+⋯+(3n−4)×2n +(3n−1)×2n +1②得，
∴①−②−T n
=4+3×(22+23+24+⋯+2n )−(3n−1)×2n +1=4+3×22×(1−2n−1)
1−2
−(3n−1)×2
=−8−(3n−4)×2n +1
，
．
∴T n =8+(3n−4)⋅2n +1Ⅰ由数列的递推式推得为常数列，可得所求通项公式；
(){a n
n }Ⅱ由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
()
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【正确答案】解：由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为：(1)6：：：，
912=234所以分层抽样抽取的人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为人，人，人，9234记事件为“员工被抽到”，则
．
M A P(A)=2
6=1
3
甲部门的名员工随机平均分成组，每组人，(2)623记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，则，
B P(B)=(1−12)3=1
8
所以的所有可能取值为，，，X 258，
P(X =2)=(P(B ）2=1
64
，P(X =5)=C 1
2P(−B )⋅P(B)=2×(1−18)×18=1464=732
，
P(X =8)=C 22(P(−
B ）2=(1−1
8)2
=49
64
所以的分布列如下，X X 2 5
8
P
1
64
732 4964
所以数学期望
．
E(X)=2×1
64+5×7
32+8×49
64=
294根据分层抽样的特点，可得抽取的人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数；再由古典(1)9概型，得解；
记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，则，而的所有可能取值为，，，(2)B P(B)=1
8X 258再由独立事件的概率公式，求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期X 望的计算公式，得解．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，分层抽样，独立事件和对立事件的概率，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
19.【正确答案】Ⅰ证明：如图，作，交于点，连接，作，交()GM/​/CD BC M MF BH//AD 于点，交于点．
GM N DC H
，∵AB/​/CD ．
∴GM//AB ，，∴GN =DH =AB =3HC =9，∵AB/​/GM//DC ．
∴
NM HC
=
BM BC
=AG AD =2
3
．
∴NM =6．∴GM =GN +NM =9，，∵EF/​/CD GM/​/CD ，∴GM//EF ．
∴GM //
=EF 四边形为平行四边形．∴GMFE ．
∴EG//MF 又平面，平面，MF ⊂BCF ⧸EG⊄BCF 平面．
∴EG//BCF Ⅱ解：平面平面，，，平面，
()∵ADE ⊥CDEF 平面ADE ∩平面CDEF =DE AD ⊥DE AD ⊂ADE 平面．
∴AD ⊥CDEF 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐D DC DE DA x y z 标系．
D−xyz 则，，，E(0,4,0)F(9,4,0)C(12,0,0)B(3,0,4
3).
，∴⃗EF
=(9,0,0)
⃗EB
=(3,−4,4 3).
设平面的法向量为EBF ⃗n 1
=(x 1,y 1,z 1).
由
得
{⃗n 1⋅⃗EF
=0,
⃗n 1⋅⃗EB
=0,
{
9x 1=0,
3x 1−4y 1+4
3z 1=0,取，得．
y 1=
3⃗n 1
=(0, 3,1)
，⃗FC
=(3,−4,0)
⃗FB
=(−6,−4,4 3).
设平面的法向量为BCF n 2=(x 2,y 2,z 2).
由
得{
⃗n 2⋅⃗FC
=0,
⃗n 2⋅⃗FB
=0,
{
3x 2−4y 2=0,
−6x 2−4y 2+4
3z 2=0,
取，得x 2=4n 2=(4,3,3
3).
．
∴cos ⟨⃗n 1,⃗n 2
⟩
=
⃗n 1⋅⃗
n 2
|⃗n 1
|⋅|⃗n 2
|
=
0×4+ 3×3+1×3 3
2× 16+9+27
=6 3
2×2
13
=
3 3926
二面角为钝二面角，∵E−BF−C 二面角的余弦值为．
∴E−BF−C −
3 3926
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
Ⅰ作，交于点，连接，作，交于点，交于点，证得()GM/​/CD BC M MF BH//AD GM N DC H ，利用线面平行的判定定理可得结果；
EG//MF Ⅱ求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦()BEF BFC E−BF−C 值．
20.【正确答案】解：证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，(1)F 1(−c,0)F 2(c,0)E 22c =2解得．
c =1又因为椭圆的离心率
，所以，所以，
E e =c
a =
22
a =
2b 2=a 2−c 2=2−1=1所以椭圆的方程为．
E x 2
2
+y 2=1
因为直线经过、，，
l M(−2,−1)F(−1,0)k MF =−1−0
−2−(−1)=1
所以，直线的方程为，
l y =x +1设点、，联立可得，
A(x 1,y 1)B(x 2,y 2){y =x +1l
x 2
+2y 2=2l 3x 2
+4x =0由，得
，．
3x 2
+4x =0x 1=−4
3
x 2=0
所以
，
|MA|⋅|BF|= 2|x 1+2|⋅ 2|x 2+1|=2×23×1=4
3
，
|MB|⋅|AF|= 2|x 2+2|⋅ 2|x 1+1|=2×2×1
3=4
3因此，．
|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不(2)l m x =−2合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，l l y =k(x +1)则直线方程为
，其中．
m y =−1
k (x +1)
k ≠0联立，可得，
{y =k(x +1)x 2+2y 2=2(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2
−2=0设、，则，A 1(x 1,y 1)B(x 2,y 2)Δ=16k 4−8(2k 2+1)(k 2−1)=8(k 2
+1)>0由韦达定理可得
，，
x 1+x 2=−
4k 2
2k 2+1x 1x
2
=
2k 2−22k 2+1易知且，将代入直线的方程可得，即点，x 1>−2x 2>−2x =−2l y =−k M(−2,−k)所以
1|MA|
+1|MB|=
 1
1+k 2|x 1+2|+
 1
1+k 2|x 2+2|=
 1
1+k
2(1x
1+2
+1
x
2+2
)=
 1
1+k
2⋅x 1+x 2+4
x 1x
2+2(x 1+x 2)+4
，
=
 1
1+k
2
⋅−
4k 21+2k 2
+4
2k 2
−21+2k 2
+
−8k
2
1+2k 2
+4
=
 1
1+k
2
⋅4k 2+42k 2
+2=
 2
1+k 2
同理可得，
1|NC|
+1|ND|=
 2
1+(−1k )2
= 2|k|
1+k 2
所以
，
1
|MA|
+1|MB|+1
|NC|+1
|ND|=
 2(1+|k|)
1+k
2
=2
k 2+1+2|k|k 2
+1
 =2 1+2|k|+1|k|
≤2 1+2
2
|k|⋅1
|k|
=2 2
当且仅当时，等号成立，
k =±1因此，的最大值为．
1
|MA|
+1|MB|+1|NC|+1
|ND|
2
2根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横(1)l l E A B 坐标，再利用弦长公式可证得成立；
|MA|⋅|BF|=|MB|⋅|AF|分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为(2)l l y =k(x +1)m ，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长y =−1
k (x +1)
k ≠0l E 公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得
1
|MA|+1
|MB|
1
|NC|
+ 1
|ND|
的最大值．
1|MA|
+1
|MB|+1
|NC|+1|ND|
本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【正确答案】解：由题意，当时，设，(1)a =1ℎ(x)=f(x)−g(x)则，
，
ℎ(x)=x 2
−x +1−lnx−1=x 2
−x−1lnx(x >0)ℎ'(x)=2x−1−1
x =
2x 2−x−1
x
=
(2x +1)(x−1)
x 令，得舍负在上单调递减，在上单调递增，ℎ'(x)=0x =1()ℎ(x)(0,1)(1,+∞)．∴ℎ(x )min =ℎ(1)=0根据题意的取值范围为．
t (0,1]设函数在点处与函数在点处有相同的切线，(2)f(x)(x 1,f(x 1）g(x)(x 2,g(x 2）则
，
，
f'(x 1)=g'(x 2)=
f(x 1)−g(x 2)x 1−x 2∴2x 1−a =
1
x 2
=
x 21−ax 1+1−lnx 2−a
x 1−x 2
，代入
，
∴x 1=1
2x 2
+a
2
x 1−x 2
x 2
=x 21−ax 1+1−lnx 2−a
得问题转化为：关于的方程
1
4x 2
2
+
a 2x 2
+lnx 2+
a 2
4
+a−2=0.∴
x 有解，
14x 2
+a 2x
+lnx +
a 24
+a−2=0
设
，则函数有零点，
F(x)=14x 2+
a 2x
+lnx +a 24
+a−2(x >0)
F(x)，当时，，，∵F(x)=14(1
x +a )2+lnx +a−2
x =e 2−a
lnx +a−2=0∴F(e
2−a
)>0问题转化为：的最小值小于或等于．，
∴F(x)0F'(x)=−1
2x 3−a
2x
2+1x
=
2x 2−ax−1
2x 3
设，
2x 20−ax 0−1=0(x 0>0)则当时，，当时，，0<x <x 0F'(x)<0x >x 0F'(x)>0在上单调递减，在上单调递增，∴F(x)(0,x 0)(x 0,+∞)的最小值为
，
∴F(x)F(x 0)=
14x 20
+
a
2x 0
+lnx 0+
a 24
+a−2
由知
，2x 20−ax 0−1=0a =2x 0−1
x
0故，
F(x 0)=x 20+2x 0−1
x 0
+lnx 0−2
设，
φ(x)=x 2+2x−1
x +lnx−2(x >0)则
，
φ'(x)=2x +2+
1x
2
+1
x >0故在上单调递增，
φ(x)(0,+∞)，当时，，的最小值等价于．∵φ(1)=0∴x ∈(0,1]φ(x)≤0∴F(x)F(x 0)≤00≤x 0≤1又函数
在上单调递增，
．
∵y =2x−1
x
(0,1]∴a =2x 0−1
x 0
∈(−∞,1]
设，用导数法解即可；
(1)ℎ(x)=f(x)−g(x)ℎ(x )min >0
设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由(2)f(x)(x 1,f(x 1）g(x)(x 2,g(x 2），可得，化简得到
f'(x 1)=g'(x 2)=
f(x 1)−g(x 2)x 1−x 22x 1
−a =1x 2
=
x 21−ax 1+1−lnx 2−a
x 1−x 2
，然后将问题转化为关于的方程
14x 22+a
2x 2+lnx 2+
a 2
4
+a−2=0
x 有解求解．
14x 2
+
a 2x
+lnx +a 24
+a−2=0
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
22.【正确答案】解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，
()C {
x =
2(1−t 2)1+t 2y =
2 3t 1+t 2
(t
)则，即
，
x =−2+41+t 2x +2=
41+t 2
①
故，t =
2
3⋅y
x +2
②联立，解得；
①②x 2
4
+
y 2
3
=1(x ≠−2)
直线的极坐标方程．
l 3ρcosθ−ρsinθ−
3=0，，
x =ρcosθy =ρsinθ则，
3x−y−
3=0故直线的直角坐标方程为；
l 3x−y−
3=0Ⅱ设，，
()M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)联立
，解得或，{
x 2
4+y 23
=1
3x−y− 3=0{
x 1=0y 1=− 3{x 2=8
5
y 2
=3
3
5点在第一象限，N 则点的坐标为，点的坐标为，
M (0,−
3)N (85,3 3
5)故点的极坐标为，M ( 3,3π
2)
点的极径为
．
N
(8
5)2
+
(3 35)
2=
915
Ⅰ根据已知条件，消去参数，即可求出曲线的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可()t C 求解；
Ⅱ联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．()本题主要考查参数方程的应用，以及极坐标公式，属于中档题．
- 21 -23.【正确答案】解：由题设
，(1)f(x)=
{−4x−1,x ≤−325,−32<x ≤14x +1,x >1而在
，，上均能取到最小值，
g(x)=siℎ2x (−∞,−32](−32,1](1,+∞)−1在上递减，在上为常数，在上递增，
∵f(x)(−∞,−32](−32,1](1,+∞)所以的最小值在上取得，即时，最小值为；
f(x)+g(x)(−32,1]x =−π44由，仅当取等号，(2)|2a +1|−|1−2b|≤|2a +1−1+2b|=2|a +b|(2a +1)(1−2b)≥0要证，即证，即，|2a +1|−|1−2b|<|2ab +2||a +b|<|ab +1|(a +b)²<(ab +1)²需证，而，，即，，(ab)²−a²−b²+1=(a²−1)(b²−1)>0a b ∈(−1,1)a²b²∈[0,1)所以恒成立，故得证．
(a²−1)(b²−1)>0|2a +1|−|1−2b|<|2ab +2|写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；
(1)f(x)f(x)g(x)利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即(2)|a +b|<|ab +1|(a²−1)(b²−1)>0可．
本题考查函数和不等式的综合应用，熟练掌握函数最值的求法、不等式的证明方法及反证法的应用是解题关键．。