高二数学期中试卷附答案解析

高二数学期中试卷附答案解析
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.在中，若，则等于 （ ） A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 ( )． A ．
B ．
C ．
D ．
3. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )
A ．直线AC
B ．直线B 1D 1
C ．直线A 1
D 1 D ．直线A 1A
4.将直线沿轴的负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得直线，此时直线与重合，则直线的斜率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.下列给出的赋值语句中正确的是（ ） A ．5 = M B ．x =－x C ．B=A=3 D ．x +y = 7
6.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
7.正四面体中，为棱的中点，则与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
8.等差数列中，已知为（）
A．48 B．49 C．50 D．51
9.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）
①是三角函数；②三角函数的周期函数；③
是周期函数
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①10.设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是（）
A．2 B．-2 C． D．
11.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
12.在区间上的余弦曲线y=" cos" x与坐标轴围成的面积为（）A．4 B．5 C．9 D．3
13.将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是……………………………………………（）
①②③④
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
14.已知的值为
A． B． C． D．
15.设集合M="{x|2" －x>0}，N="{x|" l≤x≤3}，则M∩N=（）
A．[1,2） B．[1,2] C．（2,3] D．[2,3|
16.设是等差数列的前项和，，则的值为（）A．
B．
C．
D．
17.设是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（）A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
18.若直线与直线垂直，则的值为（）．
A． B． C． D．19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则角等于
A． B． C． D．
20.命题函数在区间上是增函数；命题
函数的定义域为．则是成立的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
21.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．
22.、与曲线对称的曲线的极坐标方程是
_____________。

23.各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为____．
24.函数在实数集上是单调函数，则m
的取值范围是 ．
25.如图，在正方体
中，
，
中点为，过、、
三点的截面面积为 ．
26.在刚刚结束的全国第七届全国农运会期间，某体育场馆橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆
“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示这
堆的乒乓球总数，则；
（
的答案用表示）
27.若向量，则_______________.
28.用火柴棒按图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ．
29.复数的虚部是____________．
30.已知函数若
则实数的取值范围是
_____________.
三、解答题
31.(本小题满分14分)． 求倾斜角是直线y ＝－x ＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直
线方程： (1)经过点(
，－1)；
(2)在y 轴上的截距是－5.
32.（本小题满分10分）如图甲，⊙的直径
，圆上两点
在直
径的两侧，使， ．沿直径折起，使两个半圆所
在的平面互相垂直（如图乙），为的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求点到平面的距离；
（2）如图:若的平分线交弧于一点,试判断是否与平面平行？并说明理由．
33.（本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个
代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队
赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3
人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．
（Ⅰ）求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
34.已知以点为圆心的圆过原点.
（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；
（2）在（1）的条件下，设，且分别是直线和圆
上的动点，求的最大值及此时点的坐标.
35.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形
数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.
参考答案
1 .D
【解析】主要考查正弦定理的应用。

解：由
可得，由正弦定理可知
，故可得
，故
或。

2 .B
【解析】y ′＝－x sin x ，当x ∈(π，2π)时，y ′＞0，则函数y ＝x cos x －sin x 在区间(π，2π)内是增函数． 3 .B
【解析】解：因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则利用三垂线定理可知，直线CE 垂直于直线B 1D 1，选B 4 .B 【解析】
试题分析：设直线的倾斜角为，则根据题意，有
，
，故选B.
考点：1、直线的平移变换；2、直线的斜率. 5 .B
【解析】
试题分析：5=M 中，赋值号的左边是常量，故A 错误； B=A=2中，赋值语句不能连续赋值，故C 错误； x+y=0中，赋值号的左边是表达式，故D 错误； 只有x=-x 是正确的赋值语句 考点：赋值语句 6 .A
【解析】分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k 的范围．
解答：解：解法1：圆心的坐标为（3．，2），且圆与x 轴相切． 当|MN|=2
时，弦心距最大，
由点到直线距离公式得≤1
解得k ∈[-，0]； 故选A ．
解法2：数形结合，
如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，
故选A．
7 .B
【解析】
试题分析：如图，
取中点，连接．为与所成的角（或所成角的补角），设，则，由余弦定理得：∴
；故选B．
考点：异面直线及其所成的角．
【方法点睛】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角．求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．
8 .C
【解析】设公差为d.则又，所以
故选C
9 .B
【解析】根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①
是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③，故选B.
10 .B
【解析】
试题分析：因为，所以选B.
考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的
值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
11 .B
【解析】，则。

依题意可得，当时，即，所以，故选B
12 .D
【解析】
试题分析：由题可运用定积分求面积即：
考点：运用定积分求面积．
13 .C
【解析】
试题分析：②折叠后N与Q重合，两直线相交；③折叠后两直线平行，因此异面直线是①④
考点：异面直线
点评：不同在任何一个平面内的直线是异面直线
14 .D
【解析】试题分析：角的拼凑，所以
考点：角的拼凑及两角和的正切公式
15 .A
【解析】
试题分析：首先求出结合M，然后根据交集的定义求出结果即可．解：∵集合M={x|2-x＞0}={x|x＜2}，N={x|l≤x≤3}，∴M∩N=[1，2）故选A
考点：一次不等式的解集,集合的交集
点评：本题考查一次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单
16 .A
【解析】
试题分析：由题意得，因为数列等差数列，所以，且，所以由，可得，所以，故选A．考点：等差数列的性质．
17 .C
【解析】
试题分析：选项A中.若则或.所以选项A不正确.由若则与可能是包含关系，也可能是平行关系.所以B选项不正确.C选项正确.若则与的位置关系三种都可以.所以D选项不正确.故选C.
考点：1.直线与平面的关系.2.平面与平面的关系.
18 .A
【解析】直线与直线垂直，
∴，
解得．故选A．
19 .B
【解析】，
由余弦定理得，故选B．
20 .D.
【解析】
试题分析：若函数在区间上是增函数，则
在区间上是增函数，且，则，解得；若
函数的定义域为，则即；所以是成立的既不充分也不必要条件.
考点：充分条件、必要条件.
21 .
【解析】
试题分析：不妨设三边依次为：．
考点：解三角形．
22 .
【解析】解：因为曲线对称的曲线的极坐标方程是
23 .
【解析】令等比数列的公比为，由题可得，利用通项公式代入可得，解得或 (舍去)．又
．故本题应填．
24 .
【解析】
试题分析： ,函数在R上单调，即恒大于等于0，
即,即．
考点：利用导数解决恒成立问题
25 .
【解析】
试题分析：取的中点,连,则过三点的截面，就是四边形,为等腰梯形，上底是,下底是,腰,
所以经计算，等腰梯形的高是，所以面积
考点：平面的基本知识
26 .10,
【解析】由题意，第三堆有三层，上层一个小球，第二层有1＋2＝3个小球，
第三层(底层)有1＋2＋3＝6个小球，
∴f(3)＝1＋3＋6＝10，第n堆有n层，从上往下各层小球的数量分别是1，(1＋2)，(1＋2＋3)，……，(1＋2＋3＋……＋n)，∴f(n)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋3＋……＋n)=
＝＋……＋＝
＝＝
＝＝……＝＝＝
＝
27 .4
【解析】
试题分析：因为，所以
==4.
考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。

点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。

28 .
【解析】
试题分析：由观察可知，且后一个图比前一个图多用2根火柴棒，即，所以数列是一个首项为，公差为2的等差数列。

则，即。

考点：1等差的定义；2等差的通项公式。

29 .
【解析】因为，所以该复数的虚部是，应填答案。

30 .
【解析】解：因为根据函数图像可知，分段函数在整个定义域上单调递增，因此原不等式等价于2-a2>a，解得a的范围是-2<a<1.
31 .(1)x－3y－6＝0.(2)x－3y－15＝0.
【解析】
试题分析：（1）因为直线的方程为y＝－x＋1，可知其斜率，从而得到其斜率。

由点斜式得到其方程。

（2）运用斜截式方程来表示处直线的方程。

解：∵直线的方程为y＝－x＋1，
∴k＝－，倾斜角α＝120°，
由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.
(1)∵直线经过点(，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝ (x－)，即x－3y－6＝0.
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x －5，
即x－3y－15＝0.
考点：本题主要考查了直线方程的求解，以及倾斜角与斜率的关系。

点评：解决该试题的关键是利用倾斜角的关系，得到直线的倾斜角，从而得到斜率。

熟练的运用点斜式方程和斜截式方程来表示方程。

32 .（1）（2）∥
【解析】
试题分析：（1）翻折问题着重注意翻折中不变的边角大小及位置关系，本题中翻折后两个半圆所在的平面互相垂直，因此点到的距离即为点D到AB的距离，通过解△ABD即可求解；（2）判定线面平行可通过线线平行或面面平行，本题中可以借助于中点F，取BD中点E,连结OE,OF,EF，借助于三角形中位线可得到OE∥AD，EF∥CD，从而实现面面平行，此时OE与弧BD的交点即为G点
试题解析：（1）中，，且，∴．
又是的中点，∴．又∵，且
，
∴．∴即为点到的距离．
又．∴点到的距离为．（2）∥．理由如下：
连结，则中，分别为的中点．∴∥．又∵，，∴∥
∵是的一平分线，且，令交于
则是的中点，连结,则∥
又∵，∴∥
且，．∴∥．
又∴∥．
考点：1．线面垂直的判定与性质；2．线面平行的判定
33 .（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，的所有可能取值为0，10，20，30．分别求出它们的概率，列出分布列，即可求出期望；（Ⅱ）由题意可知A与B互斥，利用互斥事件的加法法则，即可求出结果．
试题解析：解：（Ⅰ）由题意知，的所有可能取值为0、10、20、30的分布列为：
用A表示“甲得30分，乙得0分”，用B表示“甲得20分，乙得10分”，且A，B互斥
又
甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为
．
考点：1．离散型随机变量的分布列和数学期望；2．互斥事件．
34 .（1）；（2），.
【解析】
试题分析：（1），所以原点在的中垂线上.利用两条直线
斜率乘积等于，解得或，经验证不符合题意，所以，圆的方程为；（2）在三角形中，两边之差小于第
三边，故，又三点共线时最大，所以
的最大值为.线的方程为与
联立求得交点为.
试题解析：
（1）∵，所以，则原点在的中垂线上.
设的中点为，则，
∴三点共线.
∵直线的方程是，∴直线的斜率，解得或，∴圆心为或，
∴圆的方程为或.
由于当圆方程为时，圆心到直线的距离，此时不满足直线与圆相交，故舍去.
∴圆的方程为.
（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，
又三点共线时最大，
所以的最大值为.
∵，，∴直线的方程为，
∴直线与直线的交点的坐标为.
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题第一问考查了垂径定理，直径垂直弦，平分弦且平分
弦所对的弧，所以有原点在的中垂线上，将垂直转化为两条直线斜率相乘等于，即可求得的值.第一问考查了最值问题，利用了三角形
两边的差小于第三边，故三点共线时取得最大值，最后联立方程组求得
交点的坐标，这考查了化归与转化的数学思想方法.
35 .（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n2-2n+1
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，从而得出f（5）；
（Ⅱ）将（Ⅰ）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，
（Ⅲ）再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．
试题解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 2分
f(5)=25+4×4=41. 4分
（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 6分
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. 8分
（Ⅲ）f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) 10分
f(n)-f(1)="4[1+2+" +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,
f(n)=2n2-2n+1 12分
考点：归纳推理；进行简单的合情推理．。