教你运用三线合一性质

教你运用三线合一性质The document was prepared on January 2, 2021
教你运用“三线合一”性质
江西黄永源
“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.
（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD 是底边BC上的高线；
（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD 是底边BC上的高线；
（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD 是底边BC上的中线.
显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼.
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE ＝DF.
分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF.
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质.
例2 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝1
2
∠BAC．
分析：为了得到1
2
∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关
系转化为证明两角是相等关系．
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝1
2
∠BAC．
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E．
∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°，
∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°．
∴∠CBD＝∠１＝1
2
∠BAC．
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质.
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行.
证明：过A作AF⊥BC于F.
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
∴AF是等腰三角形△ABC底边BC上的高线.
∴AF平分∠BAC.
∴∠BAC＝2∠BAF.
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED.
∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D.
∴∠BAF＝∠D，DE∥AF.
∴DE⊥BC.
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF是顶角∠BAC的平分线的性质.。