广东省深圳市2020-2021年学高二下学期期末模拟考试数学试题(word版有答案)

深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试
数 学 2021.5
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{5}A x x =∈<Z ，{|2}x B y y ==，则A
B =
A.(,5)-∞
B. (0,5)
C. {1,234}，
， D.{0,1,234}，
， 2. 已知复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则z 的模为
C.2
D.3
3. 安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有
A.16种
B.18种
C.36种
D.81种
4. 的球O 中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为 A.π
B.2π
C.4π
D.8π
5. 某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为 A.0.1
B. 0.15
C.0.2
D.0.25
6. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮. 1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文
学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当||x 较小时，10x ≈
21 2.3 2.7x x ++，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为
A ．1.28
B ．1.26
C ．1.24
D ．1.22 7. 已知直角梯形ABCD ，090A =，AB //CD ，1
12
AD DC AB ===，P 是BC 边上的一点，则AP PC ⋅的取值范围为
A ．[1,1]-
B ． [0,2]
C ．[2,2]-
D ．[2,0]-
8. 设函数()ln(f x x x =，则不等式(2)(32)0f x f x -->的解集为
A. 2
(0)5-， B. (02)，
C. 2(,2)5
D. 2
(,2)(,)5
-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥曲线C 的一个焦点为(0,1)F ，则C 的方程可以为 A. 24y x =
B. 214
y x =
C. 22+1(01)1x y m m m =<<-
D. 22
+1(01)1x y m m m
=<<-
10．已知函数π
()sin()(,0,0,)2
f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A ．直线2π
3
x =
是()f x 图象的一条对称轴 B ．()f x 图象的对称中心为π
(π,0)12
k -
+，k ∈Z C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．将()f x 的图象向左平移
π
12
个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 11. 已知0a >，0b >，则下列结论正确的是
A. 若a b >，则3322a b a b ab +>+
B. 若21a b +=，则122
a b -≥
C. 若log 2020log 20200a b >>，则e a b a b
-< D. 若1a >，则1
31
a a +
≥- 12．如图，正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的所有棱长均为1，点M 为对角线A D '上的
动点，设过M 且与A D '垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有 A ．σ可以为△AB F '' B ．σ可以为四边形 C ．σ可以为五边形
D ．σ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知等差数列{}n a ，1523a a a +=+，则7S =_______．
14.椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点是圆22:(3)1M x y -+=的圆心，且C 的长轴长
为10，则该椭圆的离心率等于__________．
15.据气象台监测，在海滨城市A 附近的海面有一台风. 台风中心位于A 东偏南45方向、距离城市的海面P 处，并以25/km h 的速度向西偏北15方向移动，则台风中心_____小时后距离城市A 最近. 如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市_____（填“会”或“不会”）受台风侵袭.
16. σ3准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差，落在
σ3±之外的概率只有%27.0，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在σ3准则.
σ3准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其
n 次结果的平均值得)1
,
0(~2n
N n ε，为误差使n ε在)3.0,3.0(-的概率不小于0.9973，至少要测量___次.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）
在①B A sin 2sin =
；②3
1
tan =B ；③c A b B a =+-）（cos cos C cos 2这三个条
件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
问题：在△ABC 中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，3
24cos 222=
-+B bc a c b ，
且 ，
（1）求A tan ；
（2）若△ABC 的最大边长为4，求△ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +-=，其中*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，
求数列1n d ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前+1n 项的和+1n T .
2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局” .为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”. 根据所给数据，完成下面的22
⨯列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
附表及公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
如图，在四面体ABCD 中，△BCD 为等边三角形，点M ，N 分别为棱BD ，CD 的中点，且AD AM BM ==.
（1）证明：AN BD ⊥；
（2）若二面角A BD C --的大小为
2π
3
， 求二面角A MN D --的余弦值. （第20题图）
21．（12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p >=，动直线l 经过C 的焦点F ，且与C 交于A 、B 两点. 当F 为线段AB 中点时，4AB =.
（1）求抛物线方程；
（2）问：在x 轴上是否存在点Q （异于点F ），满足QB BF
QA AF
=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（12分）
设函数(
)π
sin()
x f x x -，ππ[,]44x ∈-. （1）求()f x 的极大值点；
（2）若()()12f x f x =，且12x x ≠，求证: 120x x +<.
深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试
数学答案及评分参考
一、单项选择题：
二、多项选择题：
12．如图，正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的所有棱长均为1，点M 为对角线A D '上的
动点，设过M 且与A D '垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有 A ．σ可以为△AB F '' B ．σ可以为四边形 C ．σ可以为五边形
D ．σ
解析：易知B F ''⊥平面A ADD ''，∴B F A D '''⊥， 设B F A D N ''
'=，考虑矩形A ADD ''，不难知道AN A D '⊥，
∴A D '⊥平面AB F ''，故选项A 正确；
显然截面σ与平面AB F ''平行或重合，亦可视为将平面AB F ''沿直线A D '方向平移， 若将平面AB F ''向点A '平移，则σ为三角形；
若将平面AB F ''向点D 平移，则σ的形状变化过程为：等腰三角形→六边形→矩形（四边形）→六边形→等腰三角形，从而易知选项B 正确，且选项C 错误；
显然截面σ与底面ABCDEF 所成的角相等，欲使截面σ的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF 的投影面积最大，不难知道，当截面σ为矩形时，其投影面积最大， 设B C ''和E F ''的中点分别为,P Q ，矩形BPQF 面积为
，即σ的面积最大值为2
，从而选项D 正确；
综上所述，应选ABD. 三、填空题：
13. 21； 14.
3
5
； 15. 12, 不会； 16. 10. 17. σ3准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。

对于正态分布的随机误差，落在
σ3±之外的概率只有%27.0，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在σ3准则。

σ
3准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其n 次结果的平均值得)1
,0(~2
n N n ε，为误差使n ε在)3.0,3.0(-的概率不小于0.9973，至少要测量_____次.
解析：由题意，正态分布的随机误差落在3σ±之外的概率只有%27.0，所以落在
(3,3)σσ-的概率为0.9973.根据正态曲线的对称性，要使误差n ε在)3.0,3.0(-的概率不小
于0.9973，则3
0.3n
≤，解得10n ≥.故答案为：10.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）
在①B A sin 2sin =
；②3
1
tan =
B ；③c A b B a =+-）（cos cos
C cos 2,这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
问题：在△ABC 中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，3
24cos 222=-+B bc a c b ，且 .
（1）求A tan ；
（2）若△ABC 的最大边长为4，求△ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：(1)由3
2
4cos cos 2cos 222=
=-+B bc A bc B bc a c b 有B A cos 22cos 3=（*），则B A 、都是锐角... ......2分
若选①B A sin 2sin =
，则2sin sin A B =
； 又由（*）有2
2cos 3cos A
B =， 由1cos 83sin 2122cos 32sin sin cos 22
2
2
22=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+A A A A B B ，
又1cos sin 22=+A A 且A 是锐角，可得55sin =
A ，5
5
2cos =A ， 所以2
1
tan =
A . .....................6分 若选②31tan =
B ，则10103cos =B ，又由（*）有5
52cos =A ， 又1cos sin 22=+A A ，可得5
5
sin =
A ，所以21tan =A . .....................6分
若选③c A b B a =+-）（cos cos C cos 2，
由正弦定理有C C C A B B A sin sin cos 2cos sin cos sin C cos 2-=-=+）（， 则2
2
C cos -
=，则 135=C ， 由（*）有()
A A A
B A sin 2cos 2135180cos 22cos 22cos 3+=--== ， 故2
1
tan =
A . .....................6分 (2) 由①②③都可得55sin =
A ，552cos =A ，10
10sin =B ， 10103cos =
B ，2
2
sin =C ， ................................8分 因为C B A sin sin sin <<，所以c b a <<，所以最长边4=c ， 由正弦定理有
C c B b A a sin sin sin ==，则5
5
45104==b a ，， ......................10分
所以ABC ∆的面积为5
822554510421sin 21=⨯⨯⨯=C ab . ..................12分
【命题意图】本题主要考察正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、方程等思想，意在考察学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．
18．（12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +-=，其中*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前+1n 项的和+1n T . 解：（1）（解法一）设等比数列{}n a 的公比为q ，已知
12n n a S +-=， ………………………1分
当2n ≥时，1=2n n a S --，
两式相减可得110n n n n a a S S +---
-=（）， 即12n n a a +=，则2q =， ………………………3分 当1n =时，得21=2a a -，
即11=2a q a -，解得12a =， ………………………4分
故等比数列{}n a 的通项公式为*
2n n a n N =∈，. ………………………5分
（解法二）设等比数列{}n a 的公比为q ，已知12n n a S +-=，……………………1分 当1n =时，得21=2a a -，即11=2a q a -， ………………………2分
当2n =时，得32=2a s -，即2
111q =2a q a a --， ………………………3分
两式相除可得2
2=0q q -，因为0q ≠，所以2q =，12a =，…………………4分 故等比数列{}n a 的通项公式为*
2n n a n N =∈，. ………………………5分
（2）若在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，
则()121n n n a a n d +=++-， ………………………6分 即为()+1
2
21n n n n d -=+， ………………………7分
整理得21n
n d n =+，所以112n n
n d +=， ………………………8分 （解法一）11231
11111n n n T d d d d d ++=
+++⋅⋅⋅++， 即1123n 12341222222
n n n n T ++++=
+++⋅⋅⋅++， ………………………9分 1234n+12123412
222222
n n n n T ++++=+++⋅⋅⋅++， ………………………10分 两式相减， 得
2n 12n+12
11
12312221+12222212
n n n n n T +++-++=-=---（1）， ………………………11分 故数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前+1n 项的和1n+14
32n n T ++=-. ………………………12分
（解法二）123-111111
n n n
T d d d d d =
+++⋅⋅⋅++， 即123n-1234122222
n n n n T +=
+++⋅⋅⋅++， ………………………9分 234n+112341222222
n n n n T +=+++⋅⋅⋅++， 两式相减得：2n-11n 111
11311221+
12222212
n n n n n T ++-++=-=---（1）， ………………………10分 所以n
3
32n n T +=-
， ………………………11分
故数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前+1n 项的和1n+14
32n n T ++=-. ………………………12分
【命题意图】本题主要考查数列通项n a 与前n 项和n S 的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养. 19．（12分）
2020年5月14日，中国经济“双循环 ”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局” .为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”. 根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
附表及公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为ξ千元，则ξ的可能取值为：2，6，10， ┈┈┈┈1分
依题意可得，3003(2)100010p ξ==
=，4002
(6)10005
p ξ===，3003
(10)100010
p ξ==
=， ┈┈4分 所以该客户的消费期望是：()323
2610610510
E ξ=⨯+⨯+⨯=千元. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
（2）2×2列联表如下：
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
()2
2
10003002001004007.937400600700300
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈10分
因为7.937 6.635>，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关. ┈┈┈┈┈┈┈12分
【命题意图】该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据。

本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及独立性检验。

并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。

20．（12分）
如图，在四面体ABCD 中，△BCD 为等边三角形，点M ，N 分别为棱BD ，CD 的中点，且AD AM BM ==.
（1）证明：AN BD ⊥；
（2）若二面角A BD C --的大小为
2π
3
， 求二面角A MN D --的余弦值. （第20题图） 解：（1）证明：如图1，不妨设O 为MD 的中点，且OD a =，则4BD a =，2AD BM a ==，
连接AO ，NO ，MC ，∵点M 为棱BD 的中点，且AM BM =， ∴BA AD ⊥，即π2
BAD ∠=，………………1分
∵
12AD OD
BD AD
==，且ADO BDA ∠=∠， ∴△~AOD △BAD ， ∴π
2
AOD BAD ∠=∠=
，即AO BD ⊥，
又∵△BCD 为等边三角形，点M 为棱BD 的中点， ∴MC BD ⊥，……………………………………………3分 ∵点O ，N 分别为MD ，CD 的中点， ∴//ON
MC ，
∴ON BD ⊥，…………………………………4分 ∵AO ON ⊂，平面AON ，且AO ON O =， ∴BD ⊥平面AON ，…………………………5分 又∵AN ⊂平面AON ，
∴AN BD ⊥. …………………………………6分
（2）（法一）建立如图2所示空间直角坐标系O xyz -， （图2） 由（1）可知，AON ∠为二面角A BD C --的平面角，且AO NO =， 若二面角A BD C --的大小为
2π
3，则2π3
AON ∠=，……………………7分 ∴不难知道3(0,,)22
a
A -
，(,0,0)M a ，,0)N ，……………………8分 ∴3(,)2
a
MA a =-，(,0)MN a =-，
不妨设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =
，则30,2
0,z
x x ⎧--
=⎪⎨⎪-+=⎩
解得,
,
x z ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 令1y =
，则(3,1,n =， ……………………10分
显然(0,0,1)m =为平面DMN 的一个法向量，
∴3cos ,||||1m n m n m n ⋅<>=
==⋅⨯ (11)
分
易知二面角A MN D --的大小即为,m n <>，
∴二面角A MN D --的余弦值亦为
7
. …………………12分 【命题意图】本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考察学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养.
21．（12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p >=，动直线l 经过C 的焦点F ，且与C 交于A 、B 两点. 当F 为线段AB 中点时，4AB =.
（1）求抛物线方程；
（2）问：在x 轴上是否存在点Q （异于点F ），满足QB BF
QA AF
=？若存在，求出点Q 的坐标. 若不存在，请说明理由.
解：（1）
4AB =且F 为线段AB 中点，
AB x ∴⊥轴， ……………………………1分 设(
,2)2
P
A ,代入2:2()C y px p >0=有24p =且0p >， ∴2p =， ……………………………………3分 抛物线方程为24y x =， ……………………………………4分
假设存在点(,0)Q m 满足题意，
设直线:1AB l x my =+，2
11(,)4
y A y ，222(,)4y B y ， ……………………………5分
由241y x x my ⎧=⎨
=+⎩
，
， 可
得
2440
y my --=， 所以
1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，
. ……………………………………6分 由
=
QB BF
QA
FA ，得BF FA
QB QA
=，
由抛物线定义可知AQF BQF ∠=∠,即0QA QB k k +=， ………………………8分
12
12122
222
12
124()(4)
0(4)(4)
4
4
QA QB y y y y y y t k k y y y t y t t t +-+=
+
=
=----， ………………………………10分
1244y y t ==-，1t =-， (1,0)Q ∴-，
综上所述，存在(1,0)Q -满足题意. ………………………………12分
【命题意图】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养. 22．（12分）
设函数(
)π
sin()
x f x x -，ππ[,]44x ∈-. （1）求()f x 的极大值点；
（2）若()()12f x f x =，且12x x ≠，求证: 120x x +<.
解：（1）因为()cos 1e
x x f x '=-，(
)π
)
4e x
x f x +''= ， ………………… 1分
由ππ,44x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，得πsin()04x +≥，故()0f x ''≤， ………………………2分
所以()f x '在ππ,44x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦单调递减，又()0=0f '， …………3分
所以()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，f (x )在π04⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，单调递减， ……………4分
所以0x =是()f x 的极大值点. ………………………………5分 （2）不妨设12x x <，则12ππ
044
x x -
≤<<≤， 要证12+0x x <，即证12x x <-，
又()()12f x f x =，且12x x ≠，()f x 在π,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
单调递增，
即证()()12f x f x =，2π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， ………………………………6分
令函数()()()g x f x f x =--，则()()()cos (e e )2x x g x f x f x x -'''=+-=+-, 记()cos (e e )2x x h x x -=+-，则()sin (e e )cos (e e )x x x x h x x x --'=-++-,
因为()2sin (e e )0x x h x x -''=--<, ………………………………8分 所以()h x '在π[0,]4
单调递增，且(0)0h '=, ………………………………9分
所以()0h x '<，()h x 在π[0,]4单调递减，且(0)0h =, ………………………………10分
即()0g x '<，()g x '在π
[0,]4
单调递减，且g(0)0=, ………………………………11分
所以()0g x <，即()()0f x f x --<，命题得证. ………………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性.。