统计量与抽样分布-PPT课件

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第6章 统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布 • 总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物 的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。 由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的 数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高…… • 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机 变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信 息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计 统计推断
假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
1 f( x , ,x ) n 1 i 1 2

n
2 x ( ) i 2 e 2
( 2 2 i1

n
第二节 统计量
• 一、统计量与统计量的分布
1 、统计量定义 设(X1,X2…,Xn)是总体X的样本,则由样本 （X1,X2…Xn）构成的且不含任何未知参数的函数
– 统计量的分布不一定和总体分布一致。
• 在统计推断中，一个重要的工作就是寻找统计量， 导出统计量的抽样分布或渐近分布。
2、常用统计量
设（X1，X2，…,Xn）为总体X的样本，则
1n ( 1 )X X 样本均值 i ni 1
__
1 n 2 ( 2 ) S ( X X ) i n 1 i 1
2
样本方差； 样本标准差 样本k阶(原点)矩
1 n 2 ( 3 ) S (X X ) i n 1i 1
1n k ( 4 ) M X 1 , 2 , k i ,k ni 1
1n k ( 5 ) M ( X X ) , k 1 , 2 , 样本k阶中心矩 k i n i 1 n 1 12 2 2 n k 2 时， M ( X X ) 称为样本的未修正方 ，记为 S S 2 i n n n i 1
• 统计量通常是随机变量，但统计量的观测值是确 定的，没有随机性。比如，如果（x1,x2,…,xn） 是样本（X1，X2，…,Xn）的观测值，那么 T(x1,x2,…,xn）为统计量T(X1,X2…Xn)的观测值。 则T(X1,X2…Xn)是随机变量。 • 统计量是随机变量，那么它应该有概率分布。统 计量的分布也称抽样分布。
• 由于统计推断是根据观察到的部分数据对总体作 出推测，因此推测就不可能绝对准确，有一定的 不确定性。这种不确定性的程度可以用概率的大 小来表示。
总体与样本
总体
X ?
这个企业员工的月 平均收入是多少？
由样本信息作为总体信息 估 计 值 n 信 x xi / n 息 i 1
统计学的重要意义就 是用样本统计量的性 质推断总体参数的特 征。
此外，还有
• 1、顺序统计量
(X1，X2，…，Xn)是总体X的一个简单随机样本，(x1， x2，…，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排 列，得到x(1)≤x(2)≤…≤x(n) ，取x(i)作为X(i)的观测值， 由此得到的统计量X(1)，X(2)，…，X(n)称为样本(X1， X2，…，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计 量．其中， 最大顺序统计量X(n)=max X1，X2，…，Xn 最小顺序统计量X(1)=min X1，X2，…，Xn
• 样本所包含的总体单位个数称为样本容量，一般 用ｎ表示。在实际工作中，人们通常把ｎ≥ 30 的 样本称为大样本，而把n<30的样本称为小样本。
,X , ,X 设X 是来自总体 1 2 n
X ~ F ( x) 的样本
X ,X , ,X 1 2 n是一堆“杂乱无章”的数据 X ,X , ,X 1 2 n包含了有关总体的“信息” X ,X , ,X 1 2 n是对总体进行推断的依据
T(X1,X2…Xn)称为统计量。
例：设(X1,X2)是总体N(,2) 的一个样本,其中 已知，
未知参数,则下列哪个不是统计量：
X1 X2 (A )X (B) 1 / 2 2 2 ( C ) X X 3 ( D ) X 2 X 1 2 1 2

推断统计研究的重点——寻找统计量及其分布 ——利用概率论对总体进行推断
在观察前 X 是一组独立同分布 r.v ,X , ,X 1 2 n ,x ,x 在观察后 x 是一组具体的数据 1 2, n
对象：某大学新生的身高
总体X 观察值
随机变量N(,2) 随机变量N(,2)的值
2、样本的联合分布
,X ,X n为来自总体 X ~ F(x)的样本，则样本的 1 2, 设 X n 联合分布函数为
F( x ,x , ,x ) F (xi) n 1 2
i1
,X , ,X n为来自总体 X ~ f (x) 的样本，则样本的 设 X 1 2 联合概率函数为 n f (xi) f( x ,x , ,x ) n 1 2
i1
,X , ,X 设X n为来自总体 X~N ( ,2) 的样本, 1 2 则样本的联合密度为
总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。
第6章 统计量与抽样分布
二、统计推断中的样本及其性质 按照随机原则，通过观测或实验的方法所获 得的总体中一部分个体的取值称为样本。每个个 体的取值称为样本点或样品。 样本是随机的，样本观测值是确定的。 • 如果样本满足同分布、独立性（iid）则为简单随 机样本。