▲立体几何中的外接球与内切球---模型知识点

立体几何中的外接球与内切球---模型
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
类型二、垂面模型1（顶点的射影在底面顶点上）
1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直
径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半
径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
r C c
B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2
11=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2
22)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；
②2
12
2
OO r R +=类型二、垂面模型2（顶点的射影为底面三角形的外心）
题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点
图2
图3
图7-1
图7-2
图5
解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：2
12
12
O O A O OA +=⇒2
22)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直，一个面为直角三角形）
1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 解题步骤：
第1步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第2步：在PAC ∆中，可根据正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，求出R 2．如图9-2，平面⊥PA
C 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 2
12
12
O O C O OC +=⇔2
122O O r R +=⇔2122O O R AC -=
3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点
解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：2
12
12
O O A O OA +=⇒2
22)(r R h R +-=，解出R
图8-1
图
8-2
图8-3
图9-1
图9-2
图9-3
图9-4
4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2
22)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；
②2
122OO r R +=⇔2
12OO r R +=
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
解题步骤： 第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2
1
2111==
（h AA
=1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：2
1212O O A O OA +=⇒2
22
)2
(r h
R +=⇒
R =
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图解题步骤：
第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：2
2
12
1OC CH OH =+
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，
图11
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+2
222
22222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=
++=，补充：abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=- 第三步：根据墙角模型，2
22
222
22z y x c b a R ++=
++=
，
8
2
222z y x R ++=，8
2
22z y x R ++=
，求出R ，例如，正四面体
的外接球半径可用此法。

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设：
90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2
1
=
===， ∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

类型八、锥体的内切球问题
1．题设：如图14，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其外接球的半径。

第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；
第二步：求CD DH 3
1
=
，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：
PD
PO
DH OE =，解出r 2．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r ，
建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒
r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+⋅+⋅+⋅=∆-31
313131 r S S S S PBC PAC PAB ABC ⋅+++=∆∆∆)(3
1
图13
图14
A。